VI Der Lehrsatz des Pythagoras

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VI Der Lehrsatz des Pythagoras

1. Wiederholung aus der 3. Klasse

543) a) Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein.

b) Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

544) Musteraufgabe

545) a) 𝑥 = 77 cm b) 𝑥 = 109 cm c) 𝑥 = 17 cm

546) a) b) c) d)

547) a) 28²+ 45²= 53² → 2 809 = 2 809 Der PLS ist erfüllt, daher ist das Dreieck rechtwinklig.

b) 20²+ 21²≠ 28² → 841 ≠ 784 Der PLS ist nicht erfüllt, daher ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

c) 53²+ 165²≠ 172² → 29 929 ≠ 29 584 Der PLS ist nicht erfüllt, daher ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

d) 51²+ 140²= 149² → 22 201 ≠ 22 201 Der PLS ist erfüllt, daher ist das Dreieck rechtwinklig.

548) Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen von 3 cm und 1 cm.

Die Hypotenuse misst dann √3²+ 1²= √10 cm.

549) a) 𝑑 = 15 cm b) 𝑑 ≈ 5,7 cm

550) Skizze: 𝑥²+ 𝑥²= 6²→ 𝑥 ≈ 4,24 → Die Brücke ist ca. 4,24 m hoch.

551) Marc hat nicht richtig gerechnet. Bei Summen von Quadraten darf man nicht einzeln die Wurzel ziehen. Richtige Rechnung: 𝑑 = √𝑥²+ 𝑦² bleibt unverändert.

552) 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑔 | 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑔 | 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑔 | 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑔 | 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑐ℎ

553) 𝑑 = 𝒂 ∙ √𝟐 → Nun wird a verdoppelt auf 2𝑎: 𝑑₁= 2 ∙ 𝒂 ∙ √𝟐 = 2 ∙ 𝑑

Bei einer Verdopplung von 𝑎 wird auch 𝑑 verdoppelt. Daher sind 𝑎 und 𝑑 zueinander direkt proportional.

554) Miss die Längen der Seiten a, b und c so genau wie möglich ab.

Berechne dann die Flächeninhalte 𝑎², 𝑏² und 𝑐² der Quadrate.

Überprüfe, ob gilt: 𝑎²+ 𝑏²= 𝑐².

Beachte: Durch Messungenauigkeiten kann das Ergebnis etwas abweichen.

555) a) 25 − 9 = 16 cm²

b) Die Seitenlängen der beiden Katheten betragen 3 cm bzw. 4 cm. 𝐴 = ^{3 ∙ 4}

2 = 6 cm².

a b y z x+5 x x b

a x 100 y

2. Der PLS in verschiedenen Dreiecken

556) Musteraufgabe

557) a) ℎ_𝐶²+ 𝑥²= 𝑏² → 𝑥 = 11 cm , ℎ_𝐶²+ 𝑦²= 𝑎² → 𝑦 = 91 cm , c = x + y → c = 102 cm 𝐴 = ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐}

2 = 3 060 cm²

b) c = x + y → y = 63 cm , ℎ𝐶2+ 𝑥²= 𝑏² → 𝑏 = 20 cm , ℎ𝐶2+ 𝑦²= 𝑎² → 𝑎 = 65 cm 𝐴 = ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐}

2 = 600 cm²

c) ℎ_𝐶²+ 𝑥²= 𝑎² → 𝑎 = 25 cm , (𝑥 + 𝑐)²+ ℎ_𝐶²= 𝑏² → 𝑏 = 26 cm 𝐴 = ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐}

2 = 36 cm²

558) a) halbiert b) a² c) ^{𝑎 ∙ ℎ𝑎}

2 | ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐}

2 . d) 𝑎 ∙ ℎ𝑎 | 𝑐 ∙ ℎ𝑐 e) ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐} 𝑎 559) a) (^𝒄

𝟐)^𝟐+ ℎ_𝐶² = 𝑎² → 𝑎 = 35 cm , 𝐴 = ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐}

2 = 420 cm² → ℎ_𝑎≈ 22,7 cm b) (^𝒄

𝟐)^𝟐+ ℎ_𝐶² = 𝑎² → 𝑎 = 120 cm , ℎ_𝑎= ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐}

𝑎 ≈ 100,18 cm c) 𝐴 = ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐}

2 → ℎ_𝑐 = 77 cm , (^𝒄

𝟐)^𝟐+ ℎ_𝐶² = 𝑎² → 𝑎 = 85 cm d) 𝐴 = ^{𝑐 ∙ ℎ𝑐}

2 → c = 78 cm , (^𝒄

𝟐)^𝟐+ ℎ_𝐶² = 𝑎² → 𝑎 = 89 cm 560) a) a² b) 𝑎²− (^𝒂

𝟐)^𝟐 | 𝑎²−^𝑎2

4 c) ^{3 𝑎2}

4 d) √^{3 𝑎2}

4 =^√3𝑎

2 e) ^𝑎2∙√3

4

561) a) ℎ ≈ 8,7 cm , 𝐴 ≈ 43,3 cm² b) ℎ ≈ 6,9 cm , 𝐴 ≈ 27,7 cm² c) ℎ = 1,5 cm , 𝐴 ≈ 1,3 cm² 562) 𝑎 =^{2 ∙ ℎ}

√3

a) 𝑎 ≈ 23,1 cm , 𝐴 ≈ 230,9 cm² b) 𝑎 ≈ 57,7 cm , 𝐴 ≈ 1 443,4 cm² c) 𝑎 = 8 cm , 𝐴 ≈ 27,7 cm² 563) 𝐴 =^{4 ∙ 𝑎}

√3

a) 𝑎 = 2 cm , 𝐴 ≈ 1,73 cm² b) 𝑎 ≈ 33,98 cm , 𝐴 ≈ 29,43 cm² c) 𝑎 ≈ 1,36 cm , 𝐴 ≈ 1,18cm² 564) 𝐴_{𝑔𝑒𝑟𝑢𝑛𝑑𝑒𝑡} ≈ 5 726,59 cm² , 𝐴_{𝑒𝑥𝑎𝑘𝑡}≈ 5 773,50 cm² → Der Unterschied ist sehr gering.

565) 𝐴 = 6 ∙^{62 ∙ √3}

4 ≈ 93,53 cm²

566) 𝑎 = √^{𝐴 ∙ 4}

6 ∙ √3 a) 𝑎 ≈ 2,77 cm b) 𝑎 = 2 m c) 𝑎 ≈ 0,088 m = 8,8 cm

3. Der PLS in verschiedenen Vierecken

567) a) 𝑥²+ ℎ𝑎2

= 𝑏² → 𝑥 = 30 cm , 𝑒²= (𝑎 + 𝑥)²+ ℎ𝑎2

→ 𝑒 = 65 cm 𝑓²= (𝑎 − 𝑥)²+ ℎ𝑎2

→ 𝑓 ≈ 16,28 cm , A ≈ 528 cm² b) 𝑥 = 36 cm , 𝑒 ≈ 156,28 cm , f ≈ 100,12 cm , 7 700 cm²

c) 𝑥 = 27 cm , (𝑎 − 𝑥)²+ ℎ_𝑎²= 𝑓² → 𝑎 = √𝑓²− ℎ_𝑎²+ 𝑥 → 𝑎 = 75 cm 𝑒 ≈ 108,17 cm , 𝐴 = 2 700 cm²

d) (𝑎 + 𝑥)²+ ℎ𝑎2

= 𝑒² → 𝑎 = √𝑒²− ℎ𝑎2

− 𝑎 → 𝑥 = 6,5 cm 𝑏 = 9,7 cm , 𝑓 ≈ 20,31 cm , 𝐴 = 183,6 cm²

568) a) 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑔 | 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑐ℎ | 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑔 | 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑐ℎ | 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑐ℎ

b) → 𝑥 + ℎ = 𝑦 ist falsch, weil man bei Summen nicht teilweise Wurzelziehen darf bzw. weil in einem Dreieck zwei Seiten zusammen nicht genauso lang wie die dritte Seiten sein können. Zwei Seiten zusammen sind immer länger als die dritte Seite (Dreiecksungleichung).

→ 𝑧²+ 𝑦²= 𝑒² ist falsch, weil zwischen 𝑧 und 𝑦 kein rechter Winkel ist.

→ 𝑧 + 𝑦 = 𝑒 ist aufgrund der nicht erfüllten Dreiecksungleichung falsch.

569) a) (^𝑒

2)²+ (^𝑓

2)²= 𝑎² → 𝑎 = 65 mm , 𝐴 =^{𝑒 ∙𝑓}

2 → 𝐴 = 3 696 mm² , 𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ𝑎 → ℎ𝑎≈ 56,86 mm b) 𝑎 = 61 mm , 𝐴 = 1 320 mm² , ℎ𝑎≈ 21,64 mm

c) 𝑎 = 41 mm , 𝐴 = 720 mm² , ℎ_𝑎≈ 17,56 mm d) 𝑎 = 17 mm , 𝐴 = 240 mm² , ℎ_𝑎≈ 14,12 mm

570) a) 𝑥²+ ℎ_𝑎²= 𝑎² → 𝑥 = 28 cm , 𝑒²= (𝑎 + 𝑥)²+ ℎ_𝑎²→ 𝑒 ≈ 92,66 cm 𝑓²= (𝑎 − 𝑥)²+ ℎ_𝑎² → 𝑓 ≈ 31,48 cm , 𝐴 =^{𝑒 ∙𝑓}

2 → 𝐴 = 2 385 mm² b) 𝑥 = 8 cm , 𝑒 ≈ 17,34 cm , 𝑓 ≈ 4,0025 cm , 𝐴 = 34,71 cm² c) 𝑥 = 8,8 cm , 𝑒 ≈ 24,83 cm , 𝑓 ≈ 11,59 cm , 𝐴 = 143,85 cm² d) 𝑥 = 9,1 cm , 𝑒 ≈ 20,88 cm , 𝑓 ≈ 6,26 cm , 𝐴 = 65,4 cm² 571) Lösungsvariante 1:

𝑟 =^ℎ𝑎

2 ≈ 31 cm

(𝑎 + 𝑥)²+ ℎ_𝑎²= 𝑒² und ℎ_𝑎²= 𝑎²− 𝑥² → (73 + 𝑥)²+ 73²− 𝑥²= 110²

→ 𝑥 ≈ 9,88 cm → ℎ_𝑎≈ 72,33 cm → r ≈ 36,16 cm Lösungsvariante 2:

(𝑒 2)

2

+ (𝑓 2)

2

= 𝑎² → 𝑓 ≈ 48 cm , 𝐴 =𝑒 ∙ 𝑓

2 → 𝐴 = 2 640 cm² 𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ_𝑎→ ℎ_𝑎≈ 62,00 cm

𝑟 =^ℎ𝑎

2 ≈ 36,16 cm

572) a) 𝑥²+ ℎ²= 𝑑² → 𝑥 = 7 cm , 𝑦²+ ℎ²= 𝑏² → 𝑦 = 143 cm , 𝑎 = 𝑥 + 𝑐 + 𝑦 → 𝑐 = 30 cm (𝑥 + 𝑐)²+ ℎ²= 𝑒² → 𝑒 ≈ 44,10 cm , (𝑐 + 𝑦)²+ ℎ²= 𝑓² → 𝑓 ≈ 164,76 cm

𝐴 =^{(𝑎+𝑐) ∙ℎ}

2 = 2 520 cm²

b) 𝑥 = 0,7 cm , 𝑦 = 2 cm , 𝑒 = 4 cm , 𝑓 = 5,1 cm , 𝐴 = 9,24 cm²

c) 𝑦 ≈ 1,11 cm , x ≈ 1,89 cm , 𝑑 ≈ 3,54 cm , 𝑒 ≈ 4,91 cm , 𝑓 ≈ 4,32 cm , 𝐴 = 10,5 cm² d) x = 0,9 cm , 𝑦 ≈ 5,99 cm , c ≈ 2,11 cm , 𝑒 ≈ 5,00 cm , 𝑓 ≈ 9,03 cm , 𝐴 ≈ 22,22 cm² 573) a) 𝑥 =^𝑎−𝑐

2 → 𝑥 = 25 cm , (𝑥 + 𝑐)²+ ℎ²= 𝑒² → 𝑒 ≈ 29,24 cm b) 𝑥²+ ℎ²= 𝑏² → 𝑥 = 48 cm , 𝑒 ≈ 110,44 cm

574) a) 𝑥²+ (^𝑓

2)²= 𝑎² → 𝑥 = 14 mm 𝑦²+ (^𝑓

2)²= 𝑏² → 𝑦 = 55 mm 𝑒 = 𝑥 + 𝑦 → 𝑒 = 69 mm 𝐴 =^{𝑒 ∙ 𝑓}

2 → 𝐴 = 3 312 mm²

b) 𝑥 ≈ 66,49 mm , 𝑦 ≈ 8,51 mm , 𝑏 ≈ 16,38 mm , 𝐴 = 1 050 mm² c) 𝑦 ≈ 50,16 mm , 𝑎 ≈ 54,00 mm , 𝐴 = 1 200 mm²

d) 𝑒 = 30 mm , 𝑎 ≈ 19,90 mm

4. Der PLS im Raum

575) a) 𝑑₁²= 𝑎²+ 𝑏² → 𝑑₁≈ 8,54 cm , 𝑑₂²= 𝑏²+ 𝑐² → 𝑑₂≈ 5,83 cm , 𝑑₃²= 𝑎²+ 𝑐² → 𝑑₃≈ 9,43 cm b) 𝑑₁≈ 1,88 cm , 𝑑₂≈ 1,44 cm , 𝑑₃≈ 2,08 cm

c) 𝑑1≈ 5,66 cm , 𝑑2= 𝑑3≈ 6,40 cm d) 𝑑₁= 𝑑₂= 𝑑₃≈ 7,07 cm

576) 𝑑₁²= 𝑎²+ 𝑏² | 𝑑²= 𝑑₁²+ 𝑐² | 𝑑²= 𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐² | 𝑑 = √𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐²

577) a) 𝑑 = √𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐² → 𝑑 ≈ 8, 37 cm b) 𝑑 ≈ 7,23 cm c) 𝑑 ≈ 15,59 cm 578) 𝑑₁²= 𝑎²+ 𝑎²= 2 𝑎² → 𝑑₁= √2 ∙ 𝑎

𝑑₁²+ 𝑎²= 𝑑² → 2 𝑎²+ 𝑎²= 𝑑² → 3 𝑎²= 𝑑² → √3 𝑎 = 𝑑

579) a) 𝑑₁≈ 4,24 cm , d ≈ 5,20 cm b) 𝑑₁≈ 8,49 cm , d ≈ 10,39 cm c) 𝑑1= 2 cm , d ≈ 2,45 cm d) 𝑑1≈ 2,45 cm , d = 3 cm

580) Sowohl a und d1 als auch a und d sind zueinander direkt proportional, da jeweils gilt: Wird a verdoppelt, verdreifacht, ..., so wird auch d1 bzw. d verdoppelt, verdreifacht, ... .

581) a) 𝑎 =^𝑑1

√2 → 𝑎 ≈ 7,07 cm b) 𝑎 = 3 cm c) = ^𝑑

√3 → 𝑎 ≈ 5,02 cm d) 𝑎 = 4 cm

582) a) b) c)

583) a) 𝑎²+ 𝑎²= 𝑑² → 𝑑 ≈ 127,28 cm , (^𝑎

2)²+ ℎ²= ℎ_𝑎² → ℎ_𝑎= 51 cm , (^𝑎

2)²+ ℎ_𝑎²= 𝑠² → 𝑠 ≈ 68,01 cm b) 𝑑 ≈ 29,70 cm , ℎ𝑎= 23,3 cm , 𝑠 ≈ 25,57 cm

c) 𝑑 ≈ 7,07 cm , ℎ_𝑎≈ 5,59 cm , 𝑠 ≈ 6,12 cm 584) a) (^𝑎

2)²+ ℎ_𝑎²= 𝑠² → ℎ_𝑎= 4 cm , (^𝑎

2)²+ ℎ²= ℎ_𝑎² → ℎ ≈ 2,65 cm , 𝑎²+ 𝑎²= 𝑑² → 𝑑 ≈ 8,49 cm b) ℎ_𝑎= 77 cm , ℎ ≈ 68,07 cm , 𝑑 ≈ 101,82 cm

c) ℎ_𝑎≈ 11,72 cm , ℎ ≈ 10,88 cm , 𝑑 ≈ 12,30 cm 585) a) 𝑎²+ 𝑎²= 𝑑² → 𝑑 ≈ 8,49 cm , (^𝑑

2)²+ ℎ²= 𝑠² → ℎ ≈ 2,64 cm b) 𝑑 = 8 cm , ℎ ≈ 9,17 cm

586) Wenn ℎ = 0, dann gilt:

(𝑑 2)

2

= 𝑠² →𝑑²

4 = 𝑠² → 𝑑

2= 𝑠 → 𝑑 = 2 ∙ 𝑠 Also muss für ℎ > 0 𝑑 < 2 𝑠 sein!

587) a) 𝑑 ≈ 47,52 m , ℎ ≈ 21,73 m

b) Mona Lisa ist ein berühmtes Ölgemälde von Leonardo da Vinci.

588) a) 𝑎²+ 𝑏²= 𝑑² | (^𝑏

2)²+ ℎ²= ℎ_𝑎² | (^𝑎

2)²+ ℎ²= ℎ_𝑏² | (^𝑑

2)²+ ℎ²= 𝑠² b) 𝑑 ≈ 11,66 cm , ℎ_𝑎≈ 8,54 cm , ℎ_𝑏≈ 9,43 cm , 𝑠 ≈ 8,90 cm

B B

B

B B

5. Innermathematische Überlegungen

589) a) ... Mathematik ... Definition ... b) ... Satz ... c) ... Beweis ... Gültigkeit ... fehlerfrei ...

d) ... q.e.d. ... e) ...Was zu beweisen war.

590) a) ... deckungsgleich. b) ... rechter ... c) ... grünen ... weißen ...

d) ... 𝑏 ... 𝑎 + 𝑏 ... 𝐴 =^{(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)}

2 ... e) ... Dreiecken ... 𝐴 = 2 ∙^{𝑎 ∙ 𝑏}

2 +^{𝑐 ∙ 𝑐}

2 ...

f) ... (𝑎 + 𝑏)²= 2𝑎𝑏 + 𝑏² ... g) ... 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² ... h) ... 𝑎²+ 𝑏²= 𝑐² ...

591) a) 𝑎²= 𝑝 ∙ 𝑐 → 𝑐 = 84,5 mm , c = q + p → q = 12,5 mm 𝑏²= 𝑞 ∙ 𝑐 → 𝑏 = 32,5 mm , ℎ²= 𝑝 ∙ 𝑞 → ℎ = 30 mm

b) 𝑏²= 𝑞 ∙ 𝑐 → 𝑐 ≈ 203,10 mm , 𝑎²+ 𝑏²= 𝑐²→ 𝑎 ≈ 182,56 mm 𝑎²= 𝑝 ∙ 𝑐 → 𝑝 ≈ 164,10 mm , ℎ²= 𝑝 ∙ 𝑞 → ℎ ≈ 80,00 mm c) 𝑐 = 75 mm , 𝑝 = 69,12 mm , 𝑞 = 5,88 mm , ℎ = 20,16 mm d) 𝑏 = 11 mm , 𝑝 ≈ 59,02 mm , 𝑞 ≈ 1,98 mm , ℎ ≈ 10,81 mm e) 𝑎 = 60 mm , 𝑝 ≈ 55,38 mm , 𝑞 ≈ 9,62 mm , ℎ ≈ 23,08 mm

f) ℎ = 80 mm , 𝑎 ≈ 102,45 mm , 𝑏 ≈ 128,06 mm , 𝑐 = 𝑝 + 𝑞 → 𝑐 = 164 mm g) nicht möglich, da a kleiner als h

h) 𝑞 ≈ 96,05 mm , 𝑐 ≈ 162,68 mm , 𝑝 ≈ 66,63 mm , ℎ ≈ 104,11 mm 592) Da durch das Messen immer eine Unschärfe entsteht.

593) a) ... 𝑎 + 1 ... Thaleskreis. b) ... Höhe ... √𝑎 c) Konstruktionsschritte für √5:

Zeichne die Strecke 𝐴𝐵 mit der Länge 5 +1 = 6 cm.

Errichte über dieser Strecke einen Thaleskreis mit 𝑟 = 3 cm.

Zeichne im Teilungspunkt 𝐹 die Höhe des Dreiecks 𝐴𝐵𝐶 ein.

Die Länge der Strecke 𝐶𝐹 ist √5.

d) Höhensatz allgemein: ℎ²= 𝑝 ∙ 𝑞 (Das Quadrat der Höhe im rechtwinkligen Dreieck = Produkt der Hypotenusenabschnitte); hier gilt 𝑝 = 𝑎 und 𝑞 = 1. Daher: ℎ²= 𝑎 ∙ 1 → ℎ²= 𝑎 → ℎ = √𝑎.

6. Kompetenztraining

594) Die nicht beschrifteten Seiten werden jeweils mit y bezeichnet.

a) 𝑦²+ 63²= 87² → 𝑦 = 60 cm , 𝑥²+ 60²= 109² → 𝑥 = 91 cm b) 33²+ 65²= 𝑦² → 𝑦 = 65 cm , 𝑥²+ 65²= 97² → 𝑥 = 72 cm c) 𝑦²+ 40²= 50² → 𝑦 = 30 cm , 𝑥²+ 30²= 36² → 𝑥 = 19,90 cm

595) rechts oben: Deltoid , von links nach rechts: Parallelogramm , Raute , Trapez , gleichschenkliges Trapez a) 𝑥²+ ℎ_𝑎²= 𝑏² → 𝑥 ≈ 3,46 m , (𝑎 + 𝑥)²+ ℎ_𝑎²= 𝑒² → 𝑒 ≈ 11,63 m

(𝑎 − 𝑥)²+ ℎ_𝑎²= 𝑓² → 𝑓 ≈ 4,96 m b) (^𝑒

2)²+ (^𝑓

2)²= 𝑎² → 𝑎 ≈ 3,91 m , 𝐴 =^{𝑒 ∙ 𝑓}

2 = 𝑎 ∙ ℎ_𝑎≈ 3,84 m c) 𝑦²+ ℎ²= 𝑏² → 𝑦 ≈ 2,65 m , (𝑐 + 𝑦)²+ ℎ²= 𝑓² → 𝑓 ≈ 6,40 m 𝑎 = 𝑥 + 𝑐 + 𝑦 → 𝑥 ≈ 4,35 m , (𝑥 + 𝑐)²+ ℎ²= 𝑒² → 𝑒 ≈ 7,94 m

𝑒 = 𝑥 + 𝑦 ≈ 13,14 m , 𝐴 =^{𝑒 ∙ 𝑓}

2 ≈ 27,59 m

e) 𝑏²= 𝑥²+ ℎ² → 𝑥 ≈ 4,14 m , a = 2x + c ≈ 11,58 m , 𝑒²= (𝑥 + 𝑐)²+ ℎ² → 𝑒 ≈ 7,95 m 596) a) 𝐴𝑏𝑙𝑎𝑢= 𝐴𝑔𝑒𝑙𝑏 bzw. 𝐴𝑤𝑒𝑖ß= 𝐴𝑔𝑟ü𝑛

Die Dreiecke haben jeweils die gleiche Grundkante und die gleiche Höhe.

b) 𝐴𝑔𝑒𝑙𝑏 hat eine längere Hypothenuse.c)

597) a) von links beginnend gegen den Uhrzeigersinn:

linker Stern: (2|0) , (4|2) , (6|0) , (5|3) , (7|4) , (5|4) , (4|6) , (3|4) , (1|4) , (3|3) bzw.

rechter Stern: (10|1) , (12|2) , (14|1) , (13|3) , (15|5) , (13|4) , (12|6) , (11|4) , (9|5) , (11|3) b) linker Stern: (√8 + √10 + √5 + 2 + √5) ∙ 2 ≈ 24,93 E (Einheiten)

rechter Stern: (√5 + √5 + √8 + √5 + √5) ∙ 2 ≈ 23,55 E 598) falsch | richtig | falsch | richtig

599) a) 𝑥²+ 12²= (𝑥 + 2)² → 𝑥²+ 144 = 𝑥²+ 4𝑥 + 4 → 𝑢 = 84 𝐸 b) 𝑥²+ 144²= (𝑥 + 1)² → 𝑥 = 10 367,5 → 𝑢 = 20 880 𝐸 c) 𝑥²+ (2,4 𝑥)²= 26² → 𝑥 = 10 → 𝑢 = 60 𝐸

600) a) ... horizontalen ... 100 ... 5 ...

b) ... Entfernung ... 500 ... 25 ...

c) 1 000²+ 50²= 𝑠² → 𝑠 ≈ 1 001,25 m

d) Weil dann die Hypotenuse mit 1 000 m genauso lang ist, wie die horizontale Entfernung.

601) 𝛽 = 90°: 𝑎²+ 𝑏²= 𝑒² → 𝑒 = 5 cm 𝛽 = 180°: 𝑎 + 𝑏 = 𝑒 → 𝑒 = 7 cm

e muss größer als 5 cm und kleiner als 7 cm sein.

602) a) 𝑥 =^𝑎−𝑐

2 → 𝑥 = 3 m , 𝑥²+ ℎ²= 𝑠² → 𝑠 = 7,8 m

b) 𝑀 = 1 ∶ 100 → 1 cm ≙ 100 cm = 1 m → a ≙ 150 𝑐m , c ≙ 90 𝑐m , h ≙ 72 𝑐m 603) Ja, es gilt: 𝑑 = 𝑎 ∙ √3 → 𝑎 =_√3^𝑑 ist eine eindeutige Zuordnung für jedes d

604) a) 𝑑₁= 𝑎 ∙ √2 → 𝑎 ≈ 2,12 cm , 𝑑 = 𝑎 ∙ √3 → 𝑑 ≈ 3,67 cm , V = 𝑎³= 9,55 cm³ b) 𝑎 = 1 cm , 𝑑 ≈ √3 cm , V = 𝑎³= 1 cm³

c) 𝑎 = 𝑥 cm , 𝑑 = 𝑥 ∙ √3 cm , V = 𝑥³ cm³ 605) 𝐴6−𝐸𝑐𝑘 = 6 ∙^{4,52 ∙ √3}

4 ≈ 52,61 cm² → 𝐴𝐼𝑛𝑠𝑒𝑙 = 19 ∙ 𝐴6−𝐸𝑐𝑘≈ 999,61 cm² 606) 𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ =^{𝑒 ∙𝑓}

2 und (^𝑒

2)²+ (^𝑓

2)²= 𝑎² → ℎ =^{𝑒 ∙𝑓}

2 ∙𝑎= ^{𝑒 ∙𝑓}

2 ∙√ (^𝑒₂)²+(^𝑓₂)²

= ^{𝑒 ∙𝑓}

2 ∙√¹₄ (𝑒²+𝑓²)

= ^{𝑒 ∙𝑓}

2 ∙√ 𝑒²+𝑓² 607) 𝑑 = 𝑎 ∙ √3 ≈ 15,59 cm. Da der Stift aus der Box herausragt, ist er länger als d.

608) 𝑙²+ 𝑏²= 14,5² → 𝑏 = √14,5²− 𝑙² z.B.: 𝑙 = 13,5 cm → 𝑏 = 5,29 cm z.B.: 𝑙 = 13,7 cm → 𝑏 = 4,75 cm ...

609) 𝐴 =^{(𝑎+𝑐) ∙ ℎ}

2 z.B.: 𝑎 = 4 𝑐𝑚 , 𝑐 = 2 𝑐𝑚 , ℎ = 2 𝑐𝑚 → 𝐴 = 6 cm² 𝑎 = 4 𝑐𝑚 , 𝑐 = 2 𝑐𝑚 , ℎ = 2,5 𝑐𝑚 → 𝐴 = 7,5 cm²

...

610) a) (^{𝑎 ∙ √2}

2 )

2

+ ℎ²= 𝑠² und 𝑎 = 𝑠 → ^{𝑎2 ∙ 2}

4 + ℎ²= 𝑎² → ^𝑎2

2 + ℎ²= 𝑎²→ ℎ²=^𝑎2

2 → ℎ = ^𝑎

√2

b) (³

2)²+ ℎ²= 3² → ℎ ≈ 2,6 cm

611) 𝐴𝐶̅̅̅̅ ≈ 4,24 km , 𝐵𝐷̅̅̅̅ = 5 km , 𝐷𝐹̅̅̅̅ = 2,24 km kürzester Weg: 𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐵𝐷̅̅̅̅ + 𝐷𝐹̅̅̅̅ ≈ 10,24 km 2.-kürzester Weg: 𝐴𝐶̅̅̅̅ + 𝐶𝐷̅̅̅̅ + 𝐷𝐹̅̅̅̅ ≈ 10,48 km

Der kürzeste Weg ist um 0,24 km kürzer als der zweitkürzeste Weg.

612) 𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 → 𝑡 =^𝑠

𝑣

Dora: 𝑡 =0,6+0,6+0,5

5 = 0,34 h Cecil: 𝑡 =^0,6

5 +^√0,62+0,52

3 = 0,38 h

Armin: 𝑡 =^√1,22+0,52

3 = 0,43 h 613) richtig | richtig | falsch | richtig | richtig

614) a) b) c)

d) Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist natürlich oder irrational.

615) a) b) Man erhält den Kathetensatz:

𝑏²= 𝑞 ∙ 𝑐

𝑎²= 𝑝 ∙ 𝑐

616) a) ℎ𝑎2

= 𝑠²− (^𝑎

2)² b) ℎ𝑏2

= ℎ𝑘2

− (^𝑎

2)² c) ℎ𝑘2

= 𝑠²− (^𝑓

2)² d) 𝑎²+ 𝑏²= 𝑓² → 𝑓 ≈ 10,77 cm , ℎ_𝑘²+ (^𝑓

2)²= 𝑠²→ 𝑠 ≈ 8,06 cm 617) a) 𝑂 = 4 ∙^𝑎2∙√3

4 = 𝑎²∙ √3 ≈ 43,30 cm² b) 𝑂 = 𝑎²∙ √3 → 𝑎 = √^𝑂

√3≈ 7,60 cm 618) a) ... 530 v. Chr. ... Kroton ... b) ... Pythagoreer ... Halbgott.

c) ... ins Auge ... Vorhang ... d) ... Pentagramm ... Vegetarier ... Bohnen.

619) a) 𝑎 + 𝑏 = √20²⁺10²+ √50²⁺40²≈ 86,39 m b) 𝑠 = √20²⁺20²+ √40²⁺40²≈ 84,85 m

x F1