Versuch Erzwungene Schwingung
erneuert aus Studiengeb¨uhren
Vorbereitung:Drehschwingung, Ged¨ampfte Schwingung, Erzwungene Schwin- gung, Phasenraumdiagramme, Wirbelstrombremse
Literatur:
• Standard-Lehrb¨ucher der Experimentalphysik, z.B. Gerthsen, Vogel:
Physik, Springer-Verlag
1 Vorbereitung
In diesem Versuch werden ged¨ampfte Schwingung, erzwungene Schwingun- gen und Resonanzph¨anomene anhand von Drehschwingungen untersucht:
Beim Drehpendel (Kupferrad mit Tr¨agheitsmoment J) wirken als Dreh- momente das r¨uckstellende Drehmoment (erzeugt duch eine Schneckenfe- der mit Winkelrichtgr¨oße D∗) Mr = −D∗ϕ (mit ϕ: Winkelauslenkung), die D¨ampfung Md = −kϕ˙ und – im Fall der erzwungenen Schwingung – ein ¨außeres periodisches Drehmoment Mext = M0cosωt. Das resultierende Drehmoment Mres = Mr +Md+Mext verursacht eine zeitliche Drehim- puls¨anderungJϕ. Als resultierende Differentialgleichung f¨¨ ur das Drehpendel ergibt sich:
Jϕ¨+kϕ˙+D∗ϕ=M0cosωt bzw.
¨
ϕ+ 2δϕ˙+ω20ϕ=A0cosωt (1) mitω0 =pD∗/J Eigenfrequenz des unged¨ampften Systems,
δ =k/(2J) Abklingkonstante, A0 =M0/J.
Freie ged¨ampfte Schwingung
Bearbeiten Sie folgende Aufgaben schriftlich in der Vorbereitung:
1. L¨osen Sie Gleichung (1) f¨ur den Fall, dass kein ¨außeres Drehmoment vorliegt (homogene Differentialgleichung) und diskutieren Sie die ver- schiedenen auftretenden F¨alle (Schwingfall, aperiodischer Grenzfall, Kriechfall).
2. Zeigen Sie, dass f¨ur die Schwingungsdauer T folgender Zusammenhang gilt:
T = T0
r 1−
T
0δ 2π
2
(2) Dabei istT0 die Schwingungsdauer des unged¨ampften Systems.
Erzwungene Schwingung
Zur L¨osung der inhomogenen Differentialgleichung (1) n¨utzt man die Tatsa- che, dass ein schwingungsf¨ahiges System nach einer gewissen Einschwingzeit mit der Erregerfrequenz ω schwingt (nicht mit seiner Eigenfrequenz ω0).
Man verwendet daher den Ansatz
ϕ(t) =ϕacos(ωt−β).
β ist dabei die Phasenverschiebung zwischen der Schwingung des Systems und der ¨außeren Erregung,ϕaist die Amplitude der resultierenden Schwin- gung, die von der Erregerfrequenz ω abh¨angt. Einsetzen in Gleichung (1) liefert:
hω02−ω2sinβ−2δωcosβitanωt= A0
ϕa
−
ω20−ω2cosβ−2δωsinβ (3) Die linke Seite von Gleichung (3) ist zeitabh¨angig, w¨ahrend die rechte Seite zeitunabh¨angig ist. Gleichung (3) kann also f¨ur beliebige Zeiten nur erf¨ullt sein, wenn die Zeitabh¨angigkeit auf der linken Seite verschwindet, d.h. der Inhalt der eckigen Klammer Null ist; damit muss auch die rechte Seite von Gleichung (3) Null sein. Dies f¨uhrt zu
tanβ = 2δω
ω02−ω2 (4)
sowie
ϕa= A0
ω02−ω2cosβ+ 2δωsinβ
Unter Verwendung von Gleichung (4), des Zusammenhangscos1β =p1 + tan2β sowie der Abk¨urzung ϕ0=ϕa(ω= 0) = Aω02
0
ergibt sich:
ϕa= ϕ0
s 1−
ω
ω0
22
+2δωω2 0
2
(5)
3. Leiten Sie die Gleichungen (3) und (5) schriftlich in der Vor- bereitung her.
Phasenraumkurven (nur f¨ur Physiker)
Die Newtonschen Bewegungsgleichungen k¨onnen nur in einer geringen An- zahl von Ausnahmef¨allen analytisch gel¨ost werden. Es ist daher wichtig effi- ziente Verfahren zu kennen, die eine qualitative Charakterisierung von Bewe- gungstypen auch bei Abwesenheit geschlossener L¨osungen erlauben. Quali- tative Untersuchungen mechanischer Bewegungen f¨uhrt man zweckm¨aßiger- weise im sogenannten Phasenraum durch. Dabei wird der Impuls/Drehimpuls
(oder Geschwindigkeit/Winkelgeschwindigkeit) ¨uber Ortskoordinate/Winkel aufgetragen, und nicht ¨uber die Zeit wie in der ¨ublichen Darstellung. Um eine Bewegung analysieren und ein Phasenraumportrait erstellen zu k¨onnen, ist es n¨otig das zugrundeliegende Kraftgesetz bzw. die daraus resultierende potentielle Energie abh¨angig von Ortskoordinate oder Winkel zu kennen.
Abbildung 1 gibt f¨ur ein vorgebenes Potential V(x) und verschiedene Ener- gien Wi, die das System besitzt, die entsprechenden Phasenraumkurven.
In der N¨ahe des Minimumsx0 hat das Potential parabolischen Verlauf (es
Abbildung 1: a) Potential V(x); b) resultierendes Phasenraumportrait liegt dann eine harmonische Schwingung vor), und die entsprechende Pha- senraumkurve ist eine Ellipse (Kurve zu W1). F¨ur h¨ohere Energien (W2) werden Abweichungen vom parabolischen Verlauf bemerkbar, die Phasen- raumkurve ist eine verzerrte Ellipse. Ist die Energie gr¨oßer als V1 (z.B. im FallW4), ist die Bewegung nicht mehr gebunden und geht bis x→+∞.
2 Versuchsbeschreibung
Das schwingende System ist ein leichtgelagertes Rad aus Kupfer, an des- sen Achse eine Schneckenfeder befestigt ist, welche das r¨ucktreibende Dreh- moment liefert. Als Erreger der erzwungenen Schwingung dient ein klei- ner Gleichstromgetriebemotor, der ber einen Exzenter und einen Hebel die Schneckenfeder in periodischer Folge zusammendr¨uckt und auseinanderzieht.
Der Motor kann mit einer Gleichspannung bis max. 24V betrieben werden.
Die Stromaufnahme betr¨agt 0.5 A. Die Spannung wird dem Motor ¨uber ein regelbares Netzger¨at (Konstanter) zugef¨uhrt. Will man die Amplitude des Erregers verstellen, so braucht man nur die Verschraubung der Schubstange mit dem an der Feder befestigten Hebel zu l¨osen und die Schubstange in der F¨uhrung des Hebels zu verschieben. Verschieben nach oben ergibt gr¨oßere, Verschieben nach unten kleinere Amplituden des Erregers. Die eigentliche D¨ampfung des schwingenden Systems wird durch einen Elektromagneten bewirkt, zwischen dessen Polen das schwingende Rad l¨auft (Wirbelstrom- bremse). Die Spulen des Magneten sind mit 1000 mA belastbar. Die dazu n¨otige Gleichspannung wird aus einem Netzger¨at geliefert. Die Bewegun- gen des schwingenden Rades werden von einem Bewegungsmesswandler in elektrische Impulse ungewandelt und am Rechner dargestellt.
3 Versuchsdurchf¨ uhrung
ged¨ampfte Schwingung
4. Nehmen Sie die Bewegung des frei schwingenden Rades auf (Programm
’erzschwingung’ im CASSYlab laden). Bestimmen Sie die Schwingungs- dauer T aus dem zeitlichen Abstand des n- und (n+10)-ten Maximums;
bestimmen Sie die Abklingkonstanteδ durch Fit einer exponentiellen Einh¨ullenden an den gemessenen Verlauf (rechte Maustaste: Anpas- sung durchf¨uhren: Einh¨ullende e−x). Sch¨atzen Sie mit Hilfe von Glei- chung (2) ab, wie stark die gemessenen Schwingungsdauer T aufgrund unvermeidbarer Reibung von der tats¨achlichen freien Schwingungsdau- erT0 abweicht.
5. Wiederholen Sie die Messung aus Aufgabe 4 (nur Bestimmung vonδ) f¨ur verschiedene D¨ampfungen (ID= 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700 und 800 mA). Tragen Sieδuber den D¨ampfungsstrom¨ IDauf. Welchen Verlauf erwarten Sie? Begr¨undung!
erzwungene Schwingung
6. Bestimmen Sie f¨ur verschiedene D¨ampfungen (ID = 200, 400 und 800 mA) die Amplitudenresonanzkurven: Ver¨andern Sie dazu die Erreger-
frequenz am Motor (mindestens 15 Messpunkte pro Kurve, im Be- reich der Resonanz in kleineren Schritten messen) und nehmen Sie nach gen¨ugend langem Einschwingen jeweils die Schwingung mit dem Rechner auf. Bestimmen Sie die Amplitudeϕ der Schwingung durch Fit einer exponentiellen Einh¨ullenden wie oben; die Erregerfrequenz ν wird aus der Schwingungsdauer T ermittelt (Bestimmung wie in Aufgabe 4).
(a) Tragen Sie bei der Auswertung das Amplitudenverh¨altnisϕϕ0 uber¨
ν
ν0 auf, wobei ν0 = T10 die Eigenfrequenz des unged¨ampften Sy- stems ist. ϕ0 muss als Grenzwert von ϕ f¨ur ν → 0 extrapoliert werden.
(b) Zeichnen Sie die theoretisch erwarteten Amplitudenkurven (Glei- chung 5) in die Diagramme mit Ihren Messwerten ein. Verwenden Sie dazu die in Aufgabe 5 bestimmten Werte f¨ur δ, sowie das in Aufgabe 4 bestimmteT0, umω0 zu berechnen.
(c) Skizzieren Sie qualitativ die Phasenverschiebung zwischen Erre- ger und schwingendem System abh¨angig von der Erregerfrequenz f¨ur zwei verschiedene D¨ampfungen.
Phasenraumkurven (nur f¨ur Physiker)
7. Nehmen Sie f¨ur zwei verschieden ged¨ampfte Schwingungen (ID= 0 mA und ID= 400 mA) die Phasenraumkurven auf (Programm ’pha- senkurve’ laden). Beschreiben Sie den Verlauf. Was erwarten Sie f¨ur eine unged¨ampfte harmonische Schwingung (Rechnung!)?
8. Nehmen Sie f¨ur eine erzwungene Schwingung (ID= 300 mA) in der N¨ahe der Resonanz die Phasenraumkurven einmal nach dem Ein- schwingen und einmal mit Einschwingvorgang auf. Beschreiben Sie den Verlauf!
9. Bringen Sie am Rad des Drehpendels eine Zusatzmasse von 25 g an.
(a) Bestimmen Sie die neuen Gleichgewichtslagen. Wie wird die Ei- genfrequenz des Systems durch Anbringen des Gewichts ver¨andert?
Skizzieren Sie die potentielle Energie des Systems abh¨angig von der Auslenkungϕ(qualitativ).
(b) Nehmen Sie mehrere Phasenraumkurven f¨ur erzwungene Schwin- gungen (ID= 0 mA) in der N¨ahe der Resonanz (Spannung am Er- regermotor im Bereich 4.5 V - 5.5 V) und weit von der Resonanz entfernt auf. Veranschaulichen Sie sich die beobachteten F¨alle, indem Sie f¨ur den Verlauf der potentiellen Energie in Teilaufgabe a) ein Phasenraumportrait analog Abbildung 1 zeichnen.
