Harmonische Schwingung

(1)

Schwingungen

Außerplanmäßig nächste Woche

Dienstag, 8.4.08 7:30 Uhr Vorlesung, Kleiner Hörsaal Physik Mittwoch, 9.4.08 13 Uhr, Übung, Hörsaal Schutow

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Arbeitsgruppe Cluster und Nanostrukturen Grundkurs Physik 2

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(2)

Harmonische Schwingung

Zeitliche Änderung einer physikalischen Größe, die mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben

werden kann.

Harmonische Schwingungen sind die am häufigsten Oszillationen im Alltag

Alle System, die dem Hookschen Gesetz genügen, führen harmonische Schwingungen aus.

Jedes System, das nur geringfügig aus seiner Ruhelage verschoben wird, schwingt harmonisch

um den Ruhepunkt.

Stabiles Gleichgewicht

Kraftwirkung in Richtung Ruhelage

Labiles Gleichgewicht

Kraftwirkung in Richtung Ruhelage

Indifferentes Gleichgewicht

Keine Kraftwirkung bei Auslenkung

(3)

Beispiele für schwingende Systeme

Fadenpendel Torsionspendel Masse an Feder

Elektrischer Schwingkreis Flüssigkeit in U-Rohr

Masse durch Zugkräfte gehalten

(4)

Hase und Jäger

im ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert

Gegenseitige Abhängigkeiten

Schneehasen

S(t) Beutepopulation

dS(t)/dt zeitliche Änderung der Beutepopulation S₁(t)S(t) natürliche Entwicklung der Beutepopulation S₂S(t)L(t) Entwicklung der Beutepopulation in

Abhängigkeit von der Anzahl der Räuber Luchse

L(t) Räuberpopulation

dL(t)/dt zeitliche Änderung der Räuberpopulation L₁(t)L(t) natürliche Entwicklung der Räuberpopulation L₂S(t)L(t) Entwicklung der Räuberpopulation in

Abhängigkeit von der Anzahl der Beutetiere

) ( L ) ( ) ( ) L

(

) ( ) ( S ) ( ) S

(

2 1

t L t

L t dt S

t dL

t L t S t

dt S t dS

−

=

−

=

Gekoppelte Differentialgleichung

Zeitliche Entwicklung der Population A hängt von der Entwicklung der Population B ab und kann nicht unabhängig voneinander betrachtet werden

(5)

Hooksches Gesetz

Auslenkung aus der Ruhelage nach rechts x positiv

Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetzt F negativ

Gleichgewichtsposition Kraftwirkung verschwindet

Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetzt F positiv

kx F = −

Gesetz

Hooksches

(6)

Einfache harmonische Bewegung

Newtonsche Bewegungsgleichung

m x a k

kx ma

a m F

x x

−

=

−

=

∑ ^r = ^r

Experimentelle Beobachtung:

Beschleunigung a ist proportional der Auslenkung x Richtung von a ist entgegengesetzt zu x

Die Bewegung von Systemen, die sich in dieser Weise verhalten, nennt man einfache harmonische Bewegungen

oder

Ein Körper führt eine einfache harmonische Bewegung aus, wenn die Beschleunigung proportional der Auslenkung und

entgegengesetzt der Richtung der Auslenkung ist.

wechselt Vorzeichen

da , 0 bei

maximal gkeit

Geschwindi

bei maximal g

chleunigun Anfangsbes

a x

m A k

A x

=

−

=

Vertikale Auslenkung reibungsfrei

Das Hooksche Gesetz beschreibt solche Bewegungsformen

(7)

Objekt an Feder, jetzt vertikal

macht es einen Unterschied, dass die Feder gespannt wird?

Gleichgewichtsposition der Feder ohne angehängtes Gewicht

k x mg x

kx F

S

S S

−

=

−

= mg kx

k x mg k F

F

_S _g

⎟ − = −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

−

=

−

Gleichgewichtsposition der Feder mit angehängtem Gewicht

x x

^S

Gleichgewichtsposition

Kein Unterschied in der Beschreibung der Bewegung

mit Gewicht

ohne Gewicht

(8)

Mathematische Beschreibung

x x

m k

m x x k

dt d

dt² ² d²

Definiere

²

2

ω ω

−

=

−

=

Gesucht:

Funktion, deren zweite Ableitung wieder sich selbst ergibt (mal einer Konstante)

( )

) (

² )

² (

²

cos

² )

² (

²

sin )

(

cos )

(

t x t

dt x d

t A

t dt x

d

t A

t dt x

d

t A

t x

ω

φ ω ω

φ ω

−

=

+

−

=

+

=

+

=

Ansatz cos

Newtonsche Bewegungsgleichung

Amplitude A

φ ω t +

Phase

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ =

s Einheit rad

m ω k

Kreisfrequenz

Sinus- und Kosinusfunktionen erfüllen solche Anforderungen

Phasenwinkel

[ ] rad Einheit

≠ 0 φ

= 0

φ

(9)

Harmonische Bewegung eines Oszillators

Oszillierender Körper schreibt Sinus- bzw

Kosinusfunktion auf gleichmäßig bewegtem Papier

(10)

Jupitermonde

Aus Sicht der Erde führen die Jupitermonde eine harmonische Schwingung aus

Hinweis auf heliozentrisches Weltbild

(11)

Amplitude

Die Amplitude definiert die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Auslenkung = Längenänderung

Auslenkung = Winkeländerung Der Grad der Auslenkung kann

unterschiedlich bestimmt werden

( ω + φ )

= A t t

x ( ) cos

(12)

Phase

Steve Reich - Violin Phase (1967) Musikstück für vier Violinen oder eine Violine und Tonband Durch die Phase φ wird das Schwingungsverhalten

unterschiedlicher Oszillatoren (gleicher Frequenz) verglichen

Position der größten Auslenkung ist gegenüber

dem anderen System um einen gewissen Betrag

verschoben Maximaler Unterschied

(Phasenwinkel) ist 2π

π 2

( ω + φ )

= A t t

x ( ) cos

(13)

Periode und Frequenz

Definition der Periode

Ein vollständiger Zyklus der Bewegung

Position des Körpers identisch bei t und t+T

Kosinusfunktion 2π

π 2

( )

( ) ( )

ω π

π ω

π φ

ω φ

ω

2 2

2 =

=

⇓

= +

− + +

T T

t T

t

π ω 2 1 =

= T f

Periode

SI Einheit [s]

Frequenz

SI Einheit [1/s=1 Hz]

f T π π

ω = 2 = ² Kreisfrequenz

SI Einheit [1 rad/s]

k k

T π m

ω π

1 1 2 2

=

Frequenz der Oszillation hängt nur von der Masse m des Körpers und der Federkonstante k ab und nicht von den Parameter der Schwingung

( ω + φ )

= A t t

x ( ) cos

(14)

Geschwindigkeit und Beschleunigung

( )

( ^ω ^φ )

ω

φ ω +

−

=

+

=

t A

t dt A

x d dt

d

sin v

cos v

Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation Beschleunigung des Körpers bei der Oszillation

m A k

A

±

=

±

=

max max

v

v ω

m A k a

A a

±

=

±

=

max

ω ²

( )

( ^ω ^φ )

ω

φ ω +

=

+

=

t A

a

t dt² A

x d² dt² a d²

cos

²

cos

x(t)

v(t)

a(t)

für eine willkürlich gewählte Phase

Beschleunigung maximal, wenn Auslenkung maximal Geschwindigkeit maximal wenn Beschleunigung minimal

( ^ω ⁺ ^φ )

= A t t

x ( ) cos

(15)

Anfangsbedingung I

Feder gespannt

0 sin

) 0 (

cos 0

ung Randbeding

=

−

=

φ ω

φ A v

A A

) x(

Als Phase wählen wir φ=0,

damit die Gleichung oben erfüllt ist

t=0

x(0)=Α v=0

t A

x = cos ω

Lösung

( ω + φ )

= A t t

x ( ) cos

(16)

Anfangsbedingung II

Durchgang durch die Gleichgewichtslage

φ ω ω

φ π φ

i

A

A A ) x(

v v sin

) 0 ( v

0 2 cos

0 = m

⇒

=

−

=

±

=

⇒

=

t=0

x(0)=Α v=0

t=0

x(0)=0 v=v

₀

- 2 -1

sin

positiv A

und 0 v

ung Randbeding

φ π φ = ⇒ =

↓

i

>

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= v cos ω π 2

ω ^t

x

ⁱ

Lösung

resultierende Amplitude

Phase um π/4 verschoben

Anfangsbedingung I

( ω + φ )

= A t t

x ( ) cos

(17)

Schlagloch

Masse des Trabant 620 kg

Federkonstante der Einzelfeder 15000 N/m

Fall B

Zusätzlich Fahrer und drei Mitfahrer insgesamt 250 kg

Hz 2 3 . 1

250kg 620kg

m 00 N 600 2

1 2

1 =

= +

voll

Personen Trabi

eff voll

f

m m

f k

π π

Hz 7 5 . 1

620kg m 00 N 600 2

1 2

1 =

=

leer Trabi

eff leer

f m f k

π π

( )

m 00 N 600

m 00 N 150 4

=

⋅

=

−

=

−

=

−

= ∑ ∑

eff eff

eff res

k k

x k x k kx

F

Fall A

Oszillationsfrequenz des leeren Trabant

(18)

Energie des einfachen harmonischen Oszillators

Erinnerung an die Vorlesung MECHANIK

Viele Probleme lassen sich unter Verwendung des Energiesatzes leichter lösen

Kinetische Energie des harmonischen Oszillators

( )

( ) ( )

( )

2 1 cos sin

2 2

2

2 2 2

2 1

cos 2 sin

1 2 cos 1 2

1 2 sin

² 1 2 v 1

2 2

kA E

t t

kA E

PE KE

E

t kA

kx PE

t A

m m

KE

=

⇓

+ +

+

=

+

=

+

=

+

=

= Θ + Θ

φ ω φ

ω

φ ω

φ ω ω

Gesamtenergie des harmonischen Oszillators

( )

( ω φ )

ω

Elastische Energie des harmonischen Oszillators

φ ω

+

=

+

=

t A

t

t A

t x

sin )

( v

cos )

Ausgangslage

(

schon berechnet

Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist eine Konstante der Bewegung und ist proportional zum Quadrat der Amplitude

Bemerkung

Sowohl die kinetische Energie als auch die elastische Energie sind stets positiv

(19)

Energie des harmonischen Oszillators

2

2 2

2 ax

2 1

2 1 2

v 1 2 1

0 0 Position Betrachte

kA E

m A m k A

m m

E

PE

x

m

=

= ω

= 0 x

Austausch von kinetischer und elastischer Energie im harmonischen Oszillator

(20)

Energie des harmonischen Oszillators

= 0 x

x 2

2 1 4

1 2

2 1 2 1

gilt der bei Amplitude Suche

2 2

Bedingung 2 2

A kx kA

E PE kx PE

kA E

=

⇓

=

(21)

Potentielle vs kinetische Energie

PE max

PE max KE max KE max

(22)

Geschwindigkeit v(x)

( )

(

² ²

)

²

2 2

2

v

m v k

2 v 1 2 1 2

1 x A

x A

mx m

kA

PE KE

E

m k

−

±

=

⇓

−

±

=

= +

=

⇓ +

=

ω

A x

± ω

=

⇓

= v

0 ( ) ⁰

v = ±

²

−

²

=

⇓

=

A A A

A x

ω

Check für Extremalpositionen

Nutze Energiesatz um Geschwindigkeit des Körpers an beliebiger Position zu berechnen

Geschwindigkeit an Position x

Maximal am Gleichgewichtspunkt Minimal am Umkehrpunkt

(23)

Hooksches Gesetz

einfacher Ansatz für globale Probleme

Für geringe Auslenkungen ist die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung x Für größere Auslenkung aus der

Gleichgewichtslage ist diese einfache lineare Beziehung nicht notwendigerweise erfüllt

Für nahezu ALLE physikalischen Systeme in der Natur, die in irgendeiner Weise aus ihrer Gleichgewichtslage bewegt werden, kann in erster Näherung ein Ansatz zur Beschreibung

gewählt werden, der dem Hookschen Gesetz entspricht.

Man muß sich aber darüber klar sein, dass diese Näherung möglicherweise nur in einem

engen Bereich gültig ist.

Einige Beispiele außerhalb der Mechanik

Vibration von Molekülen

akustische Schwingungen im Festkörper (Phononen), Metallische Elektronen in Metallen

Elektronen in einem Plasma

Schwingungen der Kernbausteine (Protonen und Neutronen)

(24)

Harmonische Näherung

In der Nähe der Gleichgewichtslage entspricht die Potentialkurve einer Parabel Typischer Potentialverlauf

(25)

Anwendung

Lennard-Jones Potential für Moleküle

Harmonische Näherung

Lennard-Jones Potential

von einfach zu komplex Wechselwirkungspotential

zwischen zwei Molekülen

Wechselwirkungspotential zwischen vielen Atomen wie

(26)

Harmonische Schwingung vs Kreisbewegung

Schwingungsbewegung Objekt rotiert

auf Scheibe

Schatten führt Oszillation aus Kreisbewegung

(27)

Harmonische Schwingung vs Kreisbewegung

Konstante Winkelgeschwindigkeit

( ω + φ )

= A t x cos A

x A

<

−

( ) φ cos A x =

Oszillation von x in den Grenzen

Referenzkreis

Eine einfache harmonische

Schwingung kann angesehen werden als Projektion einer Kreisbewegung

auf einen Referenzkreis

Eine Kreisbewegung kann dargestellt werden als Kombination von

ω r

= v

Mechanik

r r r

r ² ² ² ² a v

Mechanik ω ₌ ω

=

( ω φ )

ω +

−

= A t

x

sin

x-Komponente

v

( ^ω ^φ )

ω +

−

= A t

x

² cos

a

(28)

Mathematisches Pendel

Oszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation

Θ

− Θ =

= Θ Θ

⇓

Θ

−

=

Θ

=

sin sin

2 2

2 2 2

L g dt

d

dt mL d dt

L m d

dt mg s m d F

L s t

Näherung für geringe Auslenkungen Bewegungsgleichung für

die Tangentialkomponente

Θ

− Θ =

⇓ Θ

≈ Θ

L g dt

d

2 2

sin

( ^ω ⁺ ^φ )

Θ

=

Θ

_max

cos t

Lösungsansatz harmonische Schwingung

( )

L g

L g dt

d dt t d

=

⇓

Θ

−

= Θ

− Θ =

+ Θ

− Θ =

ω ω

φ ω ω

2 2

2

max 2 2

2

cos

Einsetzen des Lösungsansatzes

g

T π L

ω π 2 2 =

=

Die Frequenz und die Periode eines mathematischen Pendels hängt nicht

von der Masse sondern nur von der Länge des Fadens und der Gravitation

ab. Am selben Ort (gleiches g) und gleichem L schwingen alle Objekte mit

derselben Periode!

(29)

Eine-Sekunde Pendel

Gravimetrie

Geophysikalische Verfahren zur Auffindung von Bodenschätzen Christian Huygens Idee:

Ein Pendel mit einer Periode von einer Sekunden als Zeitnormal

0.248m 4ππ

s² 1s 9.81 m

4

1

1 2

⋅ =

=

s

L

L gT

π

Länge der Pendelschnur etwa ein Viertel eines Meters

2 m . m 39

4π 1 4

2

=

planet

= g

T

g π L

Gesucht ein Planet auf dem die Periode des Pendels mit einem Meter Aufhängung genau eine Sekunde beträgt

Harmonische Schwingung

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