Ged¨ ampfte harmonische Schwingung

Ged¨ ampfte harmonische Schwingung

Die Differentialgleichung

u

+ 2ru

+ ω

u = c cos(ωt)

mit r > 0 modelliert sowohl eine elastische Feder als auch einen elektrischen Schwingkreis.

Ged¨ampfte harmonische Schwingung 1-1

Kraft f

D¨ampfer c

Masse m

Feder k

2r = c

m , ω

= k m

Widerstand R

V Kondensator C

Spule L

2r = R

L , ω

= 1

LC

Je nach Typ der L¨ osungen u

der homogenen Differentialgleichung (c = 0) unterscheidet man

starke D¨ ampfung (r > ω

):

u

= a exp(λ

t) + b exp(λ

t) mit λ

= − r ± q

r

− ω

kritische D¨ ampfung (r = ω

):

u

= (a + bt) exp( − rt) schwache D¨ ampfung (r < ω

):

u

= exp( − rt) (a cos(λt) + b sin(λt)) mit λ =

q

ω

− r

.

Ged¨ampfte harmonische Schwingung 1-3

Eine partikul¨ are L¨ osung ist

u

(t) = c

cos(ωt + δ) mit der Amplitude

c

= c / q

(ω

− ω

)

+ (2r ω)

und der Phase

δ = arg(ω

− ω

− i2rω)

Die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung erh¨ alt man durch Addition von u

:

u = u

+ u

.

u

t u

t u

t

u

t u

t u

t

Das qualitative Verhalten von L¨ osungen kann sehr unterschiedlich sein.

Ged¨ampfte harmonische Schwingung 1-5

Beweis:

(i) L¨ osung der homogenen Differentialgleichung:

Der Typ der L¨ osungen ist durch das charakteristische Polynom λ

+ 2r λ + ω

bestimmt.

(ii) Partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung:

Einsetzen von

u

= Re c

exp(iωt + iδ) Re c

exp(iδ)( − ω

+ 2rωi + ω

) exp(iωt)

= c cos(ωt) cos(ωt) = Re exp(iωt) = ⇒

ω

− ω

+ 2rωi = c

c

exp( − iδ) , d.h.

c

= c

| ω

− ω

+ 2r ωi | , δ = arg ω

− ω

+ 2r ωi

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

+ 5u

+ 6u = 2 cos t 2r = 5, ω

= √

6, ω = 1, c = 2) starke D¨ ampfung: r > ω

Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ

+ 5λ + 6:

λ

= − 5 ± 1 2

allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung u

= a exp( − 3t) + b exp( − 2t)

Ged¨ampfte harmonische Schwingung 3-1

partikul¨ are L¨ osung

u

= c

cos(ωt + δ) mit

c

= c

q

(ω

− ω

)

+ (2rω)

= 2

p (6 − 1)

+ (5 · 1)

= 2 5 √

2 δ = arg(ω

− ω

− 2rωi) = arg((6 − 1) − (5 · 1)i) = − π

4 d.h.

u = u

+ u

= a exp( − 3t) + b exp( − 2t) + 2 5 √

2 cos(t − π/4)

Anfangsbedingungen

u(0) = 6

5 , u

(0) = 6 5 u (t) = − 3 exp( − 3t) + 4 exp( − 2t) + 2

5 √

2 cos(t − π/4)

0 π 2π 3π 4π

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

t u

starke D¨ ampfung schneller ¨ Ubergang in eine harmonische Schwingung

Ged¨ampfte harmonische Schwingung 3-3

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

+ 2ω

u

+ ω

u = 0 kritische D¨ ampfung: r = ω

u

= (a + bt ) exp( − ω

t) starkes Anfangswachstum m¨ oglich

t u

a=u(0) u(t_∗)

t

ω

= 1

u(t ) = (a + bt ) exp( − t) maximal f¨ ur t

=

und

| u(t

) |

| u(0) | = b a exp

a b − 1

→ ∞ f¨ ur a/b → 0

(hohe Spannungen beim Ausschalten von Stromkreisen!)

Ged¨ampfte harmonische Schwingung 4-2

Beispiel:

Schwingungsgleichung

u

+ 2u

+ 50u = e

schwache D¨ ampfung: 1 = r < ω

= √

50

charakteristisches Polynom λ

+ 2λ + 50 mit den komplex konjugierten Nullstellen λ

= − 1 ± 7i

allgemeine L¨ osung der homogenen Differentialgleichung u

= e

(a cos(7t) + b sin(7t))

partikul¨ are L¨ osung

u

= ce

Einsetzen in die Differentialgleichung

c = 1

− ω

+ 2ωi + 50

Real- und Imagin¨ arteil von u = u

+ u

f¨ ur a = 1/10 , b = 0 , ω = 3 schwache D¨ ampfung langsames Abklingen des homogenen L¨ osungsanteils

Re u Im u

0 π 2π 3π 4π

− 0.1

− 0.05 0 0.05 0.1 0.15

t u

Ged¨ampfte harmonische Schwingung 5-2

Betrag der komplexen Amplitude

| c | = 1

| (ω

− ω

) + 2ωi | = 1

p (50 − ω

)

+ (2ω)

maximal f¨ ur ω

= √

48, denn W = ω

, 0 = d

dW (50 − W )

+ 4W = − 2(50 − W ) + 4 = ⇒ W = 48 relativ kleiner D¨ ampfungskoeffizient 2r = 2

= ⇒ Resonanzfrequenz ω

nahe bei ω

= √

50