Konjugiert harmonische Funktionen
Jede auf einem einfach zusammenh¨angenden GebietD ⊆R2 zweimal stetig differenzierbare harmonische Funktion u ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion f:
f(z) =u(x,y) +iv(x,y), z =x+iy.
Die reelle Funktion v = Imf erf¨ullt ebenfalls 4v = 0. Sie wird als konjugiert harmonisch zu u bezeichnet undf als komplexes Potential.
Harmonische Funktionen 1-1
Beweis:
betrachte das Vektorfeld
G = (Gx,Gy)t = (−uy,ux)t
∆u = 0 =⇒ Integrabilit¨atsbedingung
∂xGy −∂yGx = 0
=⇒ Existenz eines Potentialsv, d.h.
G = gradv
⇔ Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
−uy =vx, ux =vy
=⇒ f =u+ iv komplex differenzierbar undv ebenfalls harmonisch
Harmonische Funktionen 2-1
Beispiel:
Konstruktion einer konjugiert harmonischen Funktion v zu u(x,y) =x3−3xy2
pr¨ufe Harmonizit¨at:
∆u=uxx+uyy = (6x−0)−6x = 0 X integriere die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
ux =vy, uy =−vx vx =−uy =−(−6xy) =⇒
v = 3x2y+c(y) vy =ux = 3x2−3y2 =⇒
3x2+c0(y) = 3x2−3y2, d.h.c(y) =−y3+C komplexes Potential
f(z) =u+ iv = (x3−3xy2) + i(3x2y−y3+C) = (x+ iy)3+C =z3+C
Harmonische Funktionen 3-1
