Harmonische Wechselstr¨ ome

Erg¨anzungen zu Physik II Harmonische Wechselstr¨ome

Harmonische Wechselstr¨ ome

Die Stromkreisanalyse wird vereinfacht, wenn man komplexe Spannungen und Str¨ome einf¨uhrt. Wie bei der Behandlung mechanischer Schwingkreise sind nur die Realteile (bzw. Imagin¨arteile) dieser komplexen Ausdr¨ucke die physikalisch messbaren Gr¨ossen. Statt der reellen elektromotorischen Kraft (EMK)Vm= V◦ cosωtschreiben wir also Vm=V◦e^iωt.

1) Ohmscher Widerstand

∼mV_◦e^iωt R Es ist Vm = V_◦ e^iωt = VR = IR , also I = (V◦/R)e^iωt.StromIund SpannungVRhaben das

gleiche Argument in der Exponentialfunktion, sie sind also in Phase. t V_m

I(t)

2) Selbstinduktion

∼mV_◦e^iωt q oo oq L

Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V_◦e^iωt=LdI

dt ,also I= Z

dI = V_◦ L

Z

e^iωtdt= V_◦

L 1 iω e^iωt. -

I

? 6 m V

∼ Z F¨uhren wir die Abk¨urzung ZL:=iωL ein, so wird I= V_m ZL

=V_◦e^iωt ZL

.

Z_L nennen wir Wechselstromwiderstand oder Impedanz der Selbstinduktion. Mithilfe des Impedanzbe- griffes gestattet die komplexe Schreibweise eine besonders einfache Darstellung der Strom-Spannungs- Beziehungen.Ztritt bei Wechselstr¨omen an die Stelle vonR. Wollen wir den messbaren Strom erhalten,

t V_m

I(t) ^{so m¨}ussen wir den Realteil bilden:

<{I(t)}=<{ V_◦

iωL(cosωt+i sinωt)}= V_◦

ωL sinωt . Der Strom hinkt umπ/2 hinter der Spannung nach, d.h. das Maximum vonI folgt zeitlich nach jenem der Spannung.

3) Kondensator

∼m

Vm C

Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V_◦e^iωt = VC = Q

C, und mit I= ^dQ_dt ist iω V_◦e^iωt= I

C, also I(t) =iω C V_◦e^iωt, und mit der

t V_m

I(t) Impedanz des Kondensators Z_C := 1

iωC wird I= V_m ZC

=V_◦e^iωt ZC

.

Die reelle L¨osung lautet <{I(t)} =<{iωCV◦(cosωt+i sinωt)} =

−ω C V◦ sinωt – der Strom eilt der Spannung umπ/2 voraus.

4) Serienresonanzkreis

Alle drei Impedanzen sind in Serie hintereinander geschaltet. Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V_◦e^iωt

=I(R+ZC+ZL). Die komplexen Impedanzen d¨urfen addiert werden wie die Ohmschen Widerst¨ande

1

Erg¨anzungen zu Physik II Harmonische Wechselstr¨ome

∼m V_◦e^iωt

R oooqq L

C und damit ist I(t) = V_◦e^iωt

R+ZC+ZL

.

Mit den Impedanzen darf in komplexer Schreibweise wie mit Ohmschen Wider- st¨anden gerechnet werden.

F¨ur den Realteil erhalten wir

<{I(t)} = <

V_◦

R+iωL+_iωC¹ e^iωt

= <

V_◦(R−i(ωL−_ωC¹ ))(cosωt+isinωt) (R+i(ωL−_ωC¹ ))(R−i(ωL−_ωC¹ ))

= V◦(Rcosωt+ (ωL−_ωC¹ ) sinωt) R²+ (ωL−_ωC¹ )² =

V◦

q

R²+ (ωL−_ωC¹ )²

R²+ (ωL−_ωC¹ )² cos(ωt−δ)

= V_◦

q

R²+ (ωL−_ωC¹ )²

cos(ωt−δ) = I_◦ cos(ωt−δ) (1)

mit tanδ=ωL−_ωC¹

R und I_◦= V◦

q

R²+ (ωL−_ωC¹ )²

. (2) Hierzu wurde in der zweiten Zeile die trigonometrische Beziehung

”acosα+bsinα=A·cos(α−δ) mit A=√

a²+b²,tanδ= _a^b“ verwendet.

Die StromamplitudeI_◦h¨angt in ¨ahnlicher Weise vonωab wie die Amplitude der station¨aren, erzwungenen Schwingung eines linearen, harmonischen Oszillators. Auch die WechselstromamplitudeI_◦(ω) zeigt

t_k 6 t1/2

t

I_o b

I_{o max}

+//2 0 I_{o max}

2

0 <//2

Resonanz.I_◦ erreicht seinen maximalen Wert I_◦=I_0,max=V_◦

R , wenn ωL= 1

ωC, d.h. ω²=ω²_◦= 1 LC . Die Resonanzfrequenz ist gerade durch die Thomson- Bedingung¹ beim unged¨ampften LC-Schwingkreis gegeben. An dieser Stelle ist δ = 0, d.h. Strom und Spannung sind in Phase. Die Breite der Resonanz- kurve wird wie in der Mechanik durch die D¨ampfung, d.h. durchRbestimmt. Der genaue Vergleich von Gleichung (2) mit der Amplitude der erzwungenen mechanischen Schwingung zeigt, dassR/Lder mecha- nischen Gr¨osse b/m(mit b als Proportionalit¨atskonstante der D¨ampfung) entspricht. Somit k¨onnen wir auch die in der Mechanik hergeleitete Formel² f¨ur die Halbwertsbreite der Resonanzkurve bei schwacher D¨ampfung (∆ω_1/2 ' √

3b/m) ¨ubernehmen. Mit R/L anstelle von b/mist also die

”gesamte Breite bei halber H¨ohe”(FWHM = Full Width at Half Maximum):

∆ω_1/2≈√ 3 ^R_L .

Anwendung: Mit dieser Resonanz eines Schwingkreises wird bei Radio- oder TV-Empf¨angern selektiv eine Sendefrequenz herausgefiltert.

5) Parallelschaltung

∼m q q

q q R

RΩ

C

q oo ooq L

Die Rechnung l¨auft analog zum vorherigen Beispiel. Es sei nur noch erw¨ahnt, dass bei der Parallelschaltung von Impedanzen wie bei der von Ohm’schen Wi- derst¨anden gilt: 1

Ztot

=X

i

1 Zi

.

Als 2. D¨ampfung wirkt der Ohm’sche WiderstandRΩder Spule.

1Vgl. dazu die (noch folgenden) Erg¨anzungen

”Der Thomsonsche Schwingkreis“.

2Siehe Erg¨anzungen

”Der lineare Harmonische Oszillator“, Abschnitt 3, Gl.(26).

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