Zeigen Sie: Falls h

Universität Tübingen Mathematisches Institut Prof. Dr. Christian Lubich

Tübingen, den 4. Mai 2016

4. Übungsblatt zu Numerik instationärer Differentialgleichungen

Übungsaufgabe 10. Sei (aij),(bi),(cj)

ein algebraisch stabiles Runge–Kutta Verfah- ren, mit invertierbarem (a_ij) und der Eigenschaft (D) aus der Vorlesung, dass man auf y⁰=f(t, y), welches die einseitige Lipschitz-Bedingung

hf(t, y)−f(t,y), ye −yi ≤e `ky−eyk² ∀t, y,ye erfülle, anwendet. Betrachte dazu ein gestörtes RK-System

Ye_i =y₀+h

s

X

j=1

a_ijYe_j⁰+δ_i, Ye_i⁰=f(t₀+c_ih,Ye_i).

Zeigen Sie: Fallsh`≤ ^α₂ dann gilt

ky₁−ey₁k ≤ckδk.

Übungsaufgabe 11. Sei (a_ij),(b_i),(c_j)

ein algebraisch stabiles Runge–Kutta Verfah- ren, mit invertierbarem (aij) und der Eigenschaft (D) aus der Vorlesung, dass man auf y⁰=f(t, y), welches die einseitige Lipschitz-Bedingung

hf(t, y)−f(t,y), ye −yi ≤e `ky−eyk² ∀t, y,ye

erfülle, anwendet. Zeigen Sie: Falls h` ≤ ^α₂, dann existiert eindeutig eine numerische Lösung des RKV.

Übungsaufgabe 12. Betrachten Sie die Differentialgleichung u⁰ =C(t)u+d(t), u(0) = 0∈R^d,

mit einer MatrixC(t)∈R^d×d,t∈[0, T]. Es gebe eine MatrixA sowie eine invertierbare MatrixB so, dass

kB⁻¹(C(t)−A)k ≤l, für 0≤t≤T, k(λI−A)⁻¹Bk ≤m, für Re(λ)≥c,

wobeik · k eine zu einer Skalarproduktnorm aufR^d gehörige Matrixnorm sei.

Zeigen Sie: Fallsml <1, so gilt für die Lösungu

Z T

0

e^−ctu(t)

2 dt 1/2

≤ m

1−ml Z T

0

e^−ctB⁻¹d(t)

2 dt 1/2

.

Besprechung in den Übungen am 11. Mai 2016.

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