Aufgabe P14.1 - Ising -Spinkette

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 14 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am 07.02.2018 Pr¨ asenz¨ ubungen

Aufgabe P14.1 - Ising -Spinkette

Eine lineare Kette von Spins (s = 1/2) mit ofenen Randbedingungen werde durch den Hamilton - Operator

H = gµ

~

N

X

i=1

S

H − 4

~

N−1

X

i=1

J S

S

beschrieben. ¨ Uberzeugen Sie sich davon, dass es sich hierbei um eine Ising-Spinkette mit n¨ achsten Nachbarwechselwirkungen handelt.

a) Zeigen Sie nun, dass

Sp

e

= 2 cosh βJ und Sp

S

e

= 2 S

sinh βJ

gelten, wobei der Index (i) an der Spur den Hilbert-Raum des Gitterplatzes bezeichnet ¨ uber den diese Spur genommen wird.

b) Nutzen Sie diese Relationen, um bei verschwindendem Magnetfeld den Spinerwartungswert an einem festen Gitterpunkt exakt zu berechnen. Zeigen Sie, dass keine spontane Magnetisierung vorliegt, d.h.

hS

i

= 0 und diskutieren Sie Ihr Ergebnis.

c) Im Vorgriff auf die Haus¨ ubung: Machen Sie sich Gedanken zur Berechnung der Spin-Spin- Korrelationsfunktion hS

S

i

.

Haus¨ ubungen

H14.1 - Korrelationsfunktionen und Suszeptibilit¨ at der Ising -Spinkette [2P]

F¨ ur das Modell aus P14.1 und aufbauend auf den dortigen Ergebnissen:

a) Berechnen Sie f¨ ur H = 0 die Korrelationsfunktion

g

:= hS

S

i − hS

i hS

i und zeigen Sie, dass g

=

tanh

(β J) gilt.

1

b) Zeigen Sie, dass sich die Suszeptibilit¨ at χ(H,T ) =

durch die Korrelationsfunktionen wie χ(H,T ) = −β

~N

P

i,j

g

ausdr¨ ucken l¨ asst!

c) F¨ ur N → ∞ berechne man χ(H = 0,T ). Gibt es einen Phasen¨ ubergang (etwa signalisiert durch eine Divergenz in χ) und wenn ja welcher Ordnung und bei welcher Temperatur?

H14.2 - Mean Field Theorie des Heisenberg -Modells [2P]

Das “Standardmodell” des Magnetismus ist das Heisenberg -Modell

H = gµ

~

N

X

i=1

S ~

· H ~

− 2

~

N

X

i,j=1

J

S ~

· S ~

,

wobei die S ~

=

~ σ

die wohlbekannten Spin s = 1/2 Operatoren sind, die auf einem Gitter lokalisiert und somit unterscheidbar sind.

a) F¨ uhren Sie eine Molekularfeld- oder Mean-Field N¨ aherung des Modells mithilfe der Plefka - Entwicklung durch. D.h. etablieren Sie die Gibbs’sche Freie Energie G

= −β

log Z

− P

i

~h

m ~

mit m ~

= h~ σ

i

zum Hamilton-Operator H

= − α

2 X

i,j

J

~ σ

· ~ σ

+ X

i

~h

· ~ σ

bis zur linearen Ordnung in der Kopplung α. Hierbei sind wir zu den Variablen ~ σ

und ~h

=

gµB

2

H ~

ubergegangen. ¨

b) Leiten Sie aus dieser Entwicklung eine Relation zwischen dem ¨ außeren Feld H ~ und den ma- gnetischen Momenten m ~

= h S ~

i in der Mean-Field N¨ aherung her. Beantworten Sie hierbei insbesondere die Frage, wie sich die Orientierungen der Vektoren ~h

und m ~

zueinander verhalten.

c) Wir wollen uns nun auf einen homogenen Ferromagneten beschr¨ anken, f¨ ur den wir ein kubi- sches Gitter mit n¨ achsten Nachbarwechselwirkungen

J

=

( J > 0 falls hiji n¨ achste Nachbarn

0 sonst

annehmen. Gibt es einen Phasen¨ ubergang und falls ja, wie lautet die kritische Temperatur in diesem Fall?

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