H. Stichtenoth 16.12.2005
Mathematik f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler Aufgabe 1:
Gegeben seien die Vektoren
v
1=
1 2 2
, v
2=
2 1 2
, v
3=
−1 4 2
.
Schreiben Sie v
3als Linearkombination von v
1und v
2. Zeigen Sie, dass v
1und v
2linear unabh¨angig sind.
Aufgabe 2:
Gegeben sei die lineare Abbildung
ϕ :
R
3−→ R
3
x
1x
2x
3
7−→
3x
32x
2x
1+ x
2+ x
3
.
Bestimmen Sie die zugeh¨orige Abbildungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis im R
3und den Kern dieser Abbildung.
Aufgabe 3:
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:
x
1+ 2x
2− 4x
3+ x
4= 1 2x
1+ x
2− 5x
3− x
4= −1
x
1− x
2− x
3− 2x
4= −2 Bestimmen Sie eine Basis des Nullraums und die L¨osungsmenge.
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie alle a ∈ R, f¨ur die das lineare Gleichungssystem
3 · x
1+ a · x
2− a · x
3= 0 2 · x
1− x
2+ 3 · x
3= 0 (a + 1) · x
1+ x
2+ x
3= 0 genau eine L¨osung hat.
Aufgabe 5: Ist die Abbildung ϕ : R
2→ R
2mit a) ϕ
x
1x
2:=
x
1+ x
2x
1− x
2b) ϕ x
1x
2:=
x
1+ x
2+ 1 x
1− x
21
2
linear? Falls ja, bestimmen Sie die zugeh¨orige Abbildungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis im R
2und den Kern dieser Abbildung.
Bestimmen Sie zus¨atzlich die Bilder der Vektoren:
1 2
,
2 1
,
3 6
,
3 3
.
Aufgabe 6: Geben Sie die Determinanten der folgenden Matrizen an:
A
1=
4 −2 0 5
, A
2=
0 0 10 0 8 −9 0 0 90
, A
3=
1 1 2 2 2 4 0 1 0
, A
4=
1 0 0 0 0 1 0 1 0
, A
5=
2 1 0 1 0 3 1 −1 0 0 5 2 0 0 0 −1
.
Aufgabe 7: Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen:
A =
1 2 0 1
2 0 0 −1
−1 1 2 0
0 3 1 1
, B =
1 2 1 3 0 1 2 0 2 0 0 0 1 1 1 1
durch Entwicklung nach einer geeigneten Zeile bzw. Spalte.
Aufgabe 8: Berechnen Sie die Inversen der Matrizen
A =
−1 2 0 1
B =
2 1 1 1 1 1 1 2 1
Aufgabe 9: Gegeben sei die Matrix
A =
1 0 a
0 1 0
1 1 −2
.
i) Zeigen Sie, dass A genau dann regul¨ar ist, wenn a 6= −2.
ii) Berechnen Sie die Inverse A
−1f¨ur a = −3.
iii) L¨osen Sie jetzt das lineare Gleichungssystem A · x = b mit der obigen Matrix A f¨ur a = −3 und dem Vektor b = (1 1 2)
tmit Hilfe der berechneten Inversen.
Aufgabe 10: L¨osen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramerschen Regel i)
2x
1+ 7x
2= 13
−2x
1+ 4x
2= −2 ii)
−3x
1+ 6x
2+ 4x
3= −10 2x
1− 6x
2− 2x
3= 12
−x
1+ x
2+ 2x
3= −1.
3