DISKRETE STRUKTUREN Halbordnungen, Funktionen und Abzählbarkeit

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DISKRETE STRUKTUREN

Halbordnungen, Funktionen und Abzählbarkeit

18. Januar 2018

Prof. Dr. Steffen Reith

Theoretische Informatik

Studienbereich Angewandte Informatik Hochschule RheinMain

ORDNUNGSRELATIONEN

Notizen Notizen

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Ordnungsrelationen Funktionen Abzählbare und überabzählbare Mengen

HALBORDNUNGEN

Deﬁnition (Halbordnung)

Sei R eine Relation über A, die reﬂexiv, anti-symmetrisch und transitiv ist, dann nennt manReineHalbordnung.

Gilt für die RelationRzusätzlich, dass für allea, b∈A a R boder b R agilt, dann heißt R linear. Eine lineare Halbordnung heißt Ordnung.

Für eine OrdnungRverwendet man auch oft das Symbol≤.

Beispiel Die übliche

”kleiner-gleich“ Relation auf den reellen Zahlen ist eine Ordnung.

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EIN WEITERES BEISPIEL

Beispiel

SeiA={a, b, c}, dann ist

;

{a} {b} {c}

{a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c}

eine graphische Darstellung fürP(A). Die Relation⊆ist eine Hal- bordnung aufP(A), da

reﬂexiv: ∀X∈ P(A)giltX⊆X

anti-symm.: ∀X, Y ∈ P(A)mitX ⊆Y ∧Y ⊆XgiltX=Y transitiv: ∀X, Y, Z∈ P(A)mitX ⊆Y undY ⊆ZgiltX⊆Z

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FUNKTIONEN

Deﬁnition (Funktion)

Seif ⊆A×Beine Relation zwischenAundB. Gibt es für jedes a ∈ A maximal ein b ∈ B, so dass (a, b) ∈ f, dann heißt f AbbildungoderFunktion.

Schreibweise:f:A→B. Gilt(a, b)∈f, dann schreibt man auch f(a) =boderf:a7→b.

Gibt es für allea∈ Agenau einb ∈B, so dassf(a) =b, dann heißtf total.

Die MengeD_f ={a∈A |es gibt einb∈Bmitf(a) =b}heißt Deﬁnitionsbereichvonf (engl. Domain).

Die MengeW_f = {b ∈ B |es gibt eina∈Amitf(a) =b}wird Wertebereich(engl. Range) genannt.

Notizen

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FUNKTIONEN (II)

Deﬁnition

Die inverse Relationf⁻¹heißtUmkehrfunktion, wenn sie selbst wieder eine Funktion ist. Solche Funktionen nennt maninvertier- bar.

Bemerkung: Diese deckt auch mehrstellige Funktionen ab, daAja das kartesische Produkt von Mengen sein kann.

Deﬁnition

Seine Funktionf:A→Bheißt surjektiv: WennW_f =Bgilt

injektiv: Wenn∀a, a^′ ∈Amita̸=a^′ giltf(a)̸=f(a^′) bijektiv: Wennf surjektiv und injektiv ist

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FUNKTIONEN (III) Beispiel

injektiv und nicht surjektiv surjektiv und nicht injektiv bijektiv

Beispiel

Die Funktionf:R→Rmitf(x) = 2x+ 3ist bijektiv, denn surjektiv: f ist surjektiv, da∀b∈Rgiltf(^b−3₂ ) =bund

offensichtlich ist ^b⁻₂³ ∈R.

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FUNKTIONEN (IV)

Beispiel (Fort.)

injektiv: f ist injektiv, da ausf(a) =f(a^′)direkta=a^′folgt (Kontraposition der ursprünglichen Deﬁnition von Injektivität):

Seif(a) =f(a^′) ⇒ 2a+ 3 = 2a^′+ 3

⇒ 2a= 2a^′

⇒ a=a^′

Ganz ähnlich macht man sich klar, dassf:R⁺→R⁺mit g(x) =e^x−1bijektiv ist (Hinweis: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion).

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ABZÄHLBARE UND ÜBERABZÄHLBARE MENGEN

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GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN

Deﬁnition

Zwei MengenAundBheißengleichmächtig, wenn eine bijektive Funktionf:A→Bexistiert.

Deﬁnition

Eine MengeAheißt abzählbar, wenn Sie entweder endlich ist oder wennNgleichmächtig wieAist.

Intuitiv bedeutetAbzählbarkeit, dass die Menge in einer Tabelle angeordnet werden kann (1. Element,2. Element, usw.). Als Informatiker kann man sich vorstellen, dass eine abzählbare Menge in einem (unendlichen) Array gespeichert werden kann.

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EIN BEISPIEL

Beispiel

ZundNsind gleichmächtig vermöge der Funktionf:N→Zmit

f(n) =

{ −ⁿ₂, wennngerade

n+1

2 , sonst.

Dies sieht man leicht ein, mit

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .

f(n) 0 1 −1 2 −2 3 −3 4 −4 . . .

Damit gibt es genauso viele ganze Zahlen wie natürliche Zahlen!

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NOCH EIN BEISPIEL

Beispiel

Ordnet man die rationalen Zahlen wie folgt an:

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6

1 . . .

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6

2 . . .

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6

3 . . .

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6

4 . . .

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6

5 . . .

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6

6 . . . ... ... ... ... ... ...

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NOCH EIN BEISPIEL(II)

Beispiel (Fort.)

Man kann die notwendige bijektive Funktion in Tabellenform auf- schreiben:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …

f(n) ¹₁ ²₁ ¹₂ ¹₃ ²₂ ³₁ ⁴₁ ³₂ ²₃ …

τ(x, y) = ¹₂(x²+ 2xy+y²+ 3x+y)

Diese Technik ist alserstes cantorsches Diagonalargument bekannt.

Damit stellt sich die Frage, ob überhaupt Mengen existieren, die nicht abzählbar sind!

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DIE POTENZMENGE VONN

Nimmt man an, dassP(N)abzählbar ist, so muss es eine bijektive Funktionf:N→ P(N)geben.

”Negiert“man die Diagonale, so ergibt sich folgendes Bild:

n f(n) 0 1 2 3 4 5 . . .

0 f(0) ∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . . 1 f(1) ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . . 2 f(2) ̸∈ ∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ . . . 3 f(3) ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ . . . 4 f(4) ∈ ∈ ̸∈ ∈ ∈ ∈ . . . 5 f(5) ∈ ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ∈ . . .

... ... ... ... ... ... ... ...

n₀ f(n₀) ̸∈ ̸∈ ̸∈ ∈ ̸∈ ̸∈ . . . ? ... ... ... ... ... ... ... ...

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DIE POTENZMENGE VONN(II) Einige Bemerkungen zur

”Cantors zweitem Diagonalargument“:

→ Dienegierte Diagonaleergibt sich, indem man∈durch̸∈

und̸∈durch∈ersetzt.

→ AmSchnittpunktder Diagonale und der negierten Diagonale (die ja als Zeilen₀auftauchen muss) gibt es einen

Widerspruch. Damit war dieAnnahme der Existenz vonf falsch.

→ Man braucht noch nicht einmal eine Diagonale. Eine

”Gerade“, die alle Zeilen

”schneidet“reicht (Stichwort:

”verzögerte Diagonale“)

→ Es ist nur wichtig, dass sich die negierte Diagonalean allen Stellenvon der Diagonalenunterscheidet.

→ Die gleiche Technik funktioniert auch mitBit-Stringsoder Dezimalzahlen. Man überlegt sich nur eine geeignet Art die

”negierte“ Diagonale zu bilden.

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DIE POTENZMENGE VONN(III)

Theorem

Die MengeP(N)ist überabzählbar.

Beweis.

Annahme:P(N)ist abzählbar, dann existiert eine bijektive Funk- tionf:N → P(N). SeiS =_def {n ∈ N | n ̸∈ f(n)}. Nun soll untersucht werden, obn₀ ∈S, wobein₀die Nummer vonSist.

Falln₀∈S: Wennn₀ ∈Swäre, dann gilt nach Def. vonSdirekt n0 ̸∈f(n0) =S. Widerspruch!

Falln₀̸∈S: Wennn₀ ̸∈Sist, dann giltn₀ ∈S, denn S =f(n0)̸∋n0. Widerspruch!

Damit existiertfnicht undP(N)ist nicht abzählbar.

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