Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a

Menge

Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a

, a

, . . .:

A = {a

, a

, . . .} .

Werden die Elemente durch eine Eigenschaft E charakterisiert, so schreibt man

A = {a : a besitzt die Eigenschaft E } . Die Reihenfolge der Elemente ist dabei unerheblich.

Schreibweise Bedeutung

a∈A a ist Element vonA a∈/A a ist nicht Element vonA A⊆B Aist Teilmenge vonB A6⊆B Aist keine Teilmenge von B A⊂B Aist echte Teilmenge vonB

|A| Anzahl der Elemente inA

∅ leere Menge

Gilt |A| < ∞ bzw. |A| = ∞, so spricht man von einer endlichen bzw.

unendlichen Menge. Mengen heißen gleichm¨ achtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihren Elementen gibt (|A| = |B| f¨ ur endliche Mengen).

Die Menge P (A) aller Teilmengen von A wird als Potenzmenge bezeichnet, d.h.

P (A) = {B : B ⊆ A} .

Dabei gilt ∅ ∈ P(A), A ∈ P(A) und, f¨ ur eine endliche Menge,

|P (A)| = 2

.

Zahlenmengen

F¨ ur folgende Zahlenmengen benutzt man Standardbezeichnungen.

nat¨ urliche Zahlen: N = {1, 2, . . .}

ganze Zahlen: Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}

rationale Zahlen: Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, ggT(p, q) = 1}

reelle Zahlen: R = {x : x = lim

q

, q

∈ Q } komplexe Zahlen: C = {x + iy : x, y ∈ R , i

= −1}

Gebr¨ auchlich sind ebenfalls die Schreibweisen N

= N ∪ {0} und

R

= {x ∈ R : x > 0} und dazu entsprechend Z

, Z

, Q

, Q

, Q

, Q

R

, R

, R

.

Mengenoperationen

F¨ ur zwei Mengen A und B sind die folgenden Operationen definiert.

Vereinigung:

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

Durchschnitt:

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Differenz, Komplement¨ armenge:

A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ / B}

symmetrische Differenz:

A∆B = (A \ B ) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B )

In der Abbildung sind die Mengenoperationen mit Hilfe sogenannter Venn-Diagramme illustriert.

A B A ∪ B

A ∩ B A \ B A∆B

Ist B ⊂ A, fallen einige der Diagramme zusammen:

A = A ∪ B B = A ∩ B A \ B = A∆B

Regeln f¨ ur Mengenoperationen

F¨ ur Mengenoperationen gelten die folgenden Identit¨ aten.

Assoziativgesetze:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Kommutativgesetze:

A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A De Morgansche Regeln:

C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B)

C \(A ∪ B) = (C \A) ∩ (C \B)

Distributivgesetze:

(A ∩ B ) ∪ C = (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C ) (A ∪ B ) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )

Diese Regeln entsprechen den Gesetzen f¨ ur logische Operationen, wenn

man die Operatoren ∪, ∩ durch ∧, ∨ ersetzt und C \ durch ¬.

Beweis

zeige die erste De Morgansche Regel:

C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B) linke Menge

x ∈ C \(A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ C ∧ x ∈ / (A ∩ B)

⇐⇒ x ∈ C ∧ (x ∈ / A ∨ x ∈ / B) Distributivgesetz f¨ ur logische Operationen,

U ∧ (V ∨ W ) = (U ∧ V ) ∨ (U ∧ W ) ,

¨ aquivalente Darstellung

(x ∈ C ∧ x ∈ / A) ∨ (x ∈ C ∧ x ∈ / B) ⇐⇒ x ∈ (C \A ∪ C \B)

x in rechter Menge

Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot-Menge M besteht aus allen Punkten c = a + ib =(a, b b) der komplexen Ebene, f¨ ur die die durch

z

= z

+ c , z

= 0 , definierte Folge beschr¨ ankt bleibt.

In der Abbildung wurde die Geschwindigkeit, mit der die Folge divergiert, zur Definition der Farbwerte verwendet. Dadurch wird insbesondere der fraktale Rand hervorgehoben.

Beispielsweise kann man

f (c) = max{n ≤ N : |z

| < R}

mit hinreichend großen Parametern N und R als Farbindex f¨ ur die Punkte

-2 -1 0 1 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

20 40 60 80 100

Matlab -Skript zur Generierung des Pixelbildes

>> N = 100; % maximale Iterationszahl

>> R = 1000; % Radius f¨ ur Divergenz

>> d = 0.1; % Abstand der Bildpunkte

>> xmin=-2.5; xmax=1; ymin=-1.5; ymax=1.5; % Bildausschnitt

>> % Initialisierung der Parameter, Startwerte und Farbindizes

>> [x,y] = meshgrid([xmin:dxmax],[ymin:d:ymax]); c = x+i*y;

>> z = zeros(size(c)); f = zeros(size(c));

>>

>> % Iteration

>> for n=1:N

>> z = z.^2 + c; f = f+(abs(z)<R);

>> end