Beweisen Sie: i) kAkF

Fachbereich Mathematik und Informatik SoSe 2008 der Philipps-Universität Marburg

Stephan Dahlke Manuel Werner

2. Übungsblatt zur Numerik I

Abgabe: Dienstag, 22.04.2008, vor der Vorlesung Aufgabe 4: p-Normen

Die p-Normen auf demRⁿ sind definiert durch kxkp :=

n

X

i=1

|xi|^p

!¹/p

, 1≤p <∞, kxk∞:= max

1≤i≤n|xi|.

Zeigen Sie für die zugeordneten Matrixnormen kAkp := sup

x6=0

kAxkp

kxkp

die folgenden Aussagen, wobei A∈R^m×n,B ∈R^n×u: i) kAk¹ = max

1≤j≤n m

X

i=1

|ai,j|

ii) kAk∞= max

1≤i≤m n

X

j=1

|ai,j|

iii) kAk² ≤ p

kAk¹kAk∞

iv) kABkp ≤ kAkpkBkp

(8) Aufgabe 5: Frobenius-Norm

Sei A∈R^m×n. Beweisen Sie:

i) kAkF :=

Pm i=1

Pn

j=1|a_i,j|²¹/2

ist eine Matrixnorm, für die gilt kAk² ≤ kAkF. ii) Für n > 1 ist k · kF nicht die durch die euklidische Vektornorm k · k² induzierte

Matrixnorm.

(6+1) Aufgabe 6: Kondition stetig differenzierbarer Funktionen

Sei A offen und f :Rⁿ ⊃A →B ⊂R^m einmal stetig differenzierbar.

Beweisen Sie Bemerkung 2.3.5 der Vorlesung, dass K(x) = kxk

kf(x)kkDf(x)k, für alle x∈A.

(6)