Mathematische Grundlagen der Informatik III, WS 2002/03 Aufgabenblatt 6
Aufgabe 1.
Mit Hilfe der Umkehrfunktionsregel haben wir gezeigt, dass
( )
2arctan '( ) 1 x 1
= x
+ . Dieser Ausdruck lässt sich leicht in eine Potenzreihe entwickeln (geometrische Reihe!) und damit findet man durch gliedweise Integration eine Potenzreihe für die Funktion arctan selbst.
Man begründe geometrisch, dass 1 arctan
3 12
= π und benutze diese Potenzreihe bzw. die
Taylorformel mit Lagrange Restglied, um π mit einem Fehler unterhalb 10−6 zu berechnen.
Aufgabe 2.
a) Man berechne mit Hilfe der Substitutionsregel 4
0
cos(x dx)
π
.
b*) Man berechne
/ 2
3 2
0
sin cos d
π θ θ θ mit Hilfe der Substitutionsregel und der Substitution
[ ]
: 0,1 0, 2
ϕ → π ,θ ϕ= ( )x =2 arctanx. Dabei nutze man aus, dass
2 2 2
cos cos cos sin 2 cos 1
2 2 2 2 2
θ θ θ θ θ
θ = + = − = − und
1
2 2
1
2 2
2 2
cos sin
2 2 1
cos 1 tan
2 cos 2 1
2
x
θ θ
θ θ
θ
−
+ −
= = + =
+
Man kann also cosθ durchxausdrücken, und sinθ auf ähnliche Weise ebenso. Die Substitutionsregel
/ 2 1
0 0
( ) ( ( )) '( )
f d f x x dx
π θ θ = ϕ ϕ verwandelt dann unser Integral mit den
trigonometrischen Ausdrücken in eines mit nur rationalen Ausdrücken, welches wir alsdann berechnen können.
Aufgabe 3.
Man setze ε:=
{ [nε, (n+1)ε] [
× mε, (m+1)ε]
m n, ∈ }
. Jedes Q∈ εist also ein Quadrat
mit Kantenlänge ε. Ist G⊂ 2 eine beschränkte abgeschlossene Menge, f G: → , so
heißtf Riemann-integrierbar, wenn
2 2
0 0
lim sup ( ) lim inf ( )
q Q q Q
Q Q
G Q G Q
f q f q
ε ε
ε ε ε ε
→ ∈ ∈ → ∈ ∈
∩ ≠∅ ∩ ≠∅
=
Diesen Grenzwert nennen wir dann ( , )
G f x y dxdy und man zeigt, dass insbesondere stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind.
Ist G der Einheitskreis, so ist offenbar mit f ≡1
Gdxdy der Flächeninhalt von G . Man schreibe ein Computerprogramm, welches für ε =10−3 die Summe 2
Q G Q ε
ε
∩ ≠∅∈
berechnet.
Aufgabe 4.
Man berechne noch einmal den Flächeninhalt des Einheitskreises, diesmal durch die Rechnung
2
2
1 1
1 1
x
G
x y x
dxdy dy dx
−
=− =− −
= . (Zur Berechnung des äußeren Integrals:
Substitution!)
