Aufgabe 7.1
Richtungsvektoren von ε:−→
AB =
1 5
−7
, −→
AC =
−9 3
−1
Normalenvektor vonε:−→
AB×−→
AC =
16 64 48
∼
1 4 3
=~nε A(5,−3,8)∈ε: 1·5 + 4·(−3) + 3·8 +D= 0
D=−17 ε: x+ 4y+ 3z−17 = 0
Aufgabe 7.2
Richtungsvektoren von ε:−→
AB =
1 5
−7
, −→
AC =
−9 3
−1
Ortsvektor zum Punkt A(5,−3,8):
5
−3 8
ε:
x y z
=
5
−3 8
+s
1 5
−7
+t
−9 3
−1
Aufgabe 7.3
Setze P(5,0,4) in ε ein:
2·5 + (−1)·0 + 3·4−22 = 0 0 = 0
⇒ P ∈ε
Aufgabe 7.4
Setze P(−6,8,−3) in ε ein:
−6 = 1 + 5s+ 1t 8 = 0−1s+ 2t ⇒
5s+ 1t =−7
−1s+ 2t = 8 ⇒ keine L¨osung
Die parallelen Ebenenεundδhaben den gleichen Normalenvektor. Durch Einsetzen eines Punktes P ∈δ kann Dδ von δ bestimmt werden:
P(5,1,4)∈δ:
2·x+ (−1)·y+ 3·z+Dδ = 0 2·5 + (−1)·1 + 3·4 +Dδ = 0
Dδ =−21 δ: 2x−y+ 3z−21 = 0
Aufgabe 7.6
~ vg=~nε
g ε
A
(εist in projizierender Lage)
~nε =~vg
P(2,3,−1)∈ε: (−2)·x+ 1·y+ 2·z+D= 0 (−2)·2 + 1·3 + 2·(−1) +D= 0
D= 3 ε: −2x+y+ 2z+ 3 = 0
Aufgabe 7.7
x
y z
A
B C
Achsenabschnitte:
A(a,0,0)∈ε: 4·a+ (−3)·0 + 6·0−12 = 0 ⇒ a= 3 B(0, b,0)∈ε: 4·0 + (−3)·b+ 6·0−12 = 0⇒ b =−4 C(0,0, c)∈ε: 4·0 + (−3)·0 + 6·c−12 = 0 ⇒ c= 2
ε∩g:
3·(−9−5·t) + 0·(11 + 2·t) + 5·(9 + 4·t)−8 = 0 5·t+ 10 = 0
t =−2 Setze t=−2 in g ein ⇒ S(1,7,1)
Aufgabe 7.9
ε∩g:
−3(4 + 2t)−2(3 + 1t) + 2(−6 + 4t)−1 = 0 0·t−31 = 0 keine L¨osung ⇒ g kε
Aufgabe 7.10
ε∩g:
−3(−1−2t) + 1(2 + 2t)−8(2 + 1t)11 = 0 0·t+ 0 = 0 Jedes t∈R ist L¨osung ⇒ g ⊂ε Aufgabe 7.11
~ nε
ε
A
B M
(εist in projizierender Lage dargestellt)
−→AB ist kollinar zu ~nε:−→
AB =
8
−4 4
⇒ ~nε=
4
−1 1
~rM = 1
2 ~rM +~rB
= 1 2
3 8 0
+
11
4 4
=
7 6 2
⇒ M(7,6,2) µ: 2·x+ (−1)·y+ 1·z+D= 0
M(7,6,2)∈µ: 2·7 + (−1)·6 + 1·2 +D= 0
Die Koordinaten des Schnittpunkts S(x, y, z) m¨ussen alle drei Ebenengleichungen simul- tan erf¨ullen:
S
2x+y+ 3z−25 = 0 5x+z−44 = 0 6x+ 5y+ 2z−41 = 0
⇒
2·x+ 1·y+ 3·z = 25 5·x+ 0·y+ 1·z = 44 6·x+ 5·y+ 2·z = 41
⇒ S(8,−3,4) Aufgabe 7.13
~ n
~ v
ε g
ϕ
ϕ0 (εist in projizierender Lage)
Normalenvektor vonε:~n =
1 2 2
Richtungsvektor von g:~v =
4 0 3
ϕ0 = arccos |~n·~v|
|~n| · |~v| = arccos |10|
√9·√
25 = 48.19◦ ϕ= 90−ϕ0 = 41.81◦ [oder direkt mit arcsin(. . .)]
~ ε n tS·~n
tS·~n
P(11,−2,8)
P0 S
(εist in projizierender Lage)
Lot von P(11,−2,8) auf ε:g:
x y z
=
11
−2 8
+t
1
−1 2
Die Komponentengleichungen von g inε einsetzen:
1·(11 + 1·t)−1·(−2−1·t) + 2·(8 + 2·t)−11 = 0 6·t+ 18 = 0
tS =−3 t= 2tS =−6 in g einsetzen: P0(5,4,−4)
Aufgabe 7.15
g
~ ε n
P(8,−4,9)
S
(εist in projizierender Lage)
Lot von P auf ε: g:
x y z
=
8
−4 9
+t
2
−1 2
g∩ε: 2(8 + 2·t)−(−4−1·t) + 2(9 + 2·t)−2 = 0 9·t+ 36 = 0
tS =−4
|−→
SP|=|tS·~n|=
8
−4 8
= 12
oder tS =−4 in g einsetzen: S(0,0,1)
und den Abstand der Punkte P und S berechnen:
d(P, ε) =|−→
SP|=
8
−4
−
0 0
=
8
−4
= 12
~nε =
2 1
−2
,~nδ =
2 1
−2
⇒ 1·~nε=~nδ 1·ε= 2x+y−2z+ 13 = 06=δ ⇒ εkδ
~nε
ε δ g
P
Q d
(Die Ebenen sind in projizierender Lage)
Bestimme einen beliebigen PunktP ∈εdurch die willk¨urliche Wahl vonx= 0 undz = 0:
2·0 +y−2·0 + 13 = 0 ⇒ y=−13 ⇒ P(0,−13,0) Gerade durch P senkrecht zu ε und δ
g:
x y z
=
0
−13 0
+t
2 1
−2
g∩δ={Q}:
2(0 + 2t) + (−13 +t)−2(0−2t)−5 = 0 4t−13 +t+ 4t−5 = 0 9t−18 = 0
t= 2 t= 2 in g einsetzen: Q(4,11,−4)
d=|−→
P Q|=
4
−11
−4
−
0
−13 0
=
4 2
−4
=√ 36 = 6
~vg=~nε ε
g P
S d(P, g)
(εist in projizierender Lage)
Ebeneε durch P(3,2,1), senkrecht zug:~vg =~nε=
1 0 1
ε: x+z+D= 0 P⇒∈ε 3 + 1 +D= 0 ⇒ D=−4 {S}=g∩ε: 1·(0 +t) + 1·(10 +t)−4 = 0
t+ 10 +t−4 = 0 2t =−6
t =−3 t=−3 in g einsetzen:
~rS =
x y z
=
0 9 10
+ (−3)·
1 0 1
=
−3 9 7
d(P, g) =
−→P S
=|~rS−~rP|=
−3 9 7
−
3 2 1
=
−6 7 6
= 11
Aufgabe 7.18
ε: 3x−2y−2z−2 = 0 und δ: 4x−3y−2z−4 = 0 (a) Schnittwinkel:
ϕ ϕ
ε δ
~ nε
~nδ
~nε =
3
−2
−2
;~nδ =
4
−3
−2
beiden Normalenvektoren~nε und~nδ.
~nε×~nδ =
4
−3
−2
×
3
−2
−2
=
−2
−2
−1
⇒ ~v =
2 2 1
Bestimme einen beliebigen Punkt P(x, y, z), der in ε und δ liegt. Dazu setze ich eine der Koordinaten null in deren Richtung die Komponente von ~v nicht null ist (z. B.z = 0).
ε: 3x−2y−2 = 0 δ: 4x−3y−4 = 0
TR⇒ x=−2
y =−4 ⇒ P(−2,−4,0)
g:
x y z
=
−2
−4 0
+t
2 2 1
Aufgabe 7.19
s1
A(a,0,0)
B(0, b,0) ε: 2x−y+ 3z−6 = 0
A(a,0,0)∈ε: 2a−6 = 0 ⇒ a= 3 ⇒ A(3,0,0) B(0, b,0)∈ε: −b−6 = 0 ⇒ b=−6 ⇒ B(0,−6,0)
Spurgerade: s1:
x y z
=
3 0 0
+t
−3
−6 0
