Ein räumliches Tragwerk ist statisch bestimmt gelagert, wenn die Lagerreaktionen aus den 6 Gleichgewichts- bedingungen berechnet werden können.

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-2

Ein räumliches Tragwerk ist statisch bestimmt gelagert, wenn die Lagerreaktionen aus den 6 Gleichgewichts- bedingungen berechnet werden können.

∑ ^F

^{= 0}

∑ ^F

^{= 0}

∑ ^F

^{= 0}

∑ ^M

^{= 0}

∑ ^M

^{= 0}

∑ ^M

^{= 0}

Räumliche Lager:

–

Seil:

–

Glatte Fläche:

F

1-wertig: Kraft F wirkt vom Bauteil weg in Richtung des Seils

1-wertig: Kraft F steht

senkrecht auf Kontaktfläche

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-4 –

Kugelgelenk:

–

Radiallager:

3-wertig:

Kräfte F

, F

, F

F_z

F_x M_z

M_x

4-wertig:

Kräfte F

, F

Momente M

, M

F_x F_y

F_z

–

Schublager:

–

Festes Gelenklager:

F_x

F_z M_x

M_z M_y

5-wertig:

Kräfte F

, F

z

Momente M

, M

, M

F

F_y F_z

M_y

M

5-wertig:

Kräfte F

, F

, F

Momente M

, M

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-6 –

Feste Einspannung:

F_x F_y

F_z

M_x M_y

M_z

6-wertig:

Kräfte F

, F

y

, F

z

Momente M

, M

, M

Beispiel: Winde

A r

B

a b

c α

m

F

d g

–

Lager A: Kugelgelenk

●

verhindert Verschiebun- gen in allen 3 Richtun- gen (Festlager)

–

Lager B: Kugelgelenk

●

verhindert Verschiebun-

gen senkrecht zur Welle

(Loslager)

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-8 –

Gegeben:

●

Masse m = 100 kg

●

Abstände a = 0,3 m, b = 0,5 m, c = 0,4 m, d = 0,3 m

●

Radius r = 0,1 m

●

Winkel α = 30°

–

Gesucht:

●

Kraft F

●

Lagerkräfte

–

Freischnitt:

A r

B

a b

c α

F A_x A_z

A_y

B_y B_z

x y

z mg d

✄

–

Gleichgewicht:

∑ ^F

^{= 0 : A}

^{= 0}

∑ ^F

^{= 0 : A}

^{+ B}

^{= 0}

→ B

=− A

∑ ^F

^{= 0 :}

A

+ B

− m g − F = 0

→ A

= F + m g − B

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-10

∑ ^M

^{= 0 : m g r − d cos (α) F = 0 → F =} _{d cos} ^{m g r} _{(α )}

∑ ^M

^{= 0 : m g a − ( a + b ) B}

^{+ ( a + b + c ) F = 0}

→ B

= m g a + ( a + b + c ) F a + b

∑ ^M

^{= 0 : ( a + b ) B}

^{= 0 → B}

^{= 0}

–

Zahlenwerte:

A

= 0 N , A

=− B

= 0 N F = 100 kg ⋅ 9,81 m / s

⋅ 0,1 m

0,3 m ⋅ cos ( 30 ° ) = 377,6 N

B

= 100 kg ⋅ 9,81 m / s

⋅ 0,3 m + ( 0,3 m + 0,5 m + 0,4 m ) ⋅ 377,6 N 0,3 m + 0,5 m

= 934,3 N

A

=377,6 N + 100 kg ⋅ 9,81 m / s

− 934,3 N = 424,3 N

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-12

Beispiel: Rahmen

A

B

C

D

E a

a b

F1

F2

M a

G

–

Lagerung:

●

Punkte A, D, E und G:

feste Kugelgelenke

●

Die Träger BE und BD sind im Punkt B gelenkig angeschlossen.

●

Der Träger CG ist im Punkt C gelenkig ange- schlossen.

–

Gegeben:

●

Kräfte F

und F

●

Moment M

●

Abmessungen a und b

–

Gesucht:

●

Gelenkkräfte in den

Punkten A, B und C

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-14 –

Freischnitt:

A

B

C

a

a b

F₁

F2

M

x y

z Ax

Ay

Az

Bz

C_z Bx

✄

a

∑ ^M

^{= 0 : − M + a C}

^{= 0 → C}

^{= M} _a

∑ ^M

^{= 0 : − b F}

^{+ 2 a C}

^{− 2 a B}

^{= 0 → B}

^{= C}

⁻ ₂ ^b _a ^F

^{= M} _a ⁻ ₂ ^b _a ^F

∑ ^M

^{= 0 : − a F}

^{+ a F}

^{− 2 a B}

^{= 0 → B}

^{= 1} ₂ ^{( F}

^{− F}

⁾

∑ ^F

^{= 0 : A}

^{+ B}

^{− F}

^{= 0 → A}

^{= F}

^{− B}

^{= 1} ₂ ^{( F}

^{+ F}

⁾

∑ ^F

^{= 0 : − A}

^{+ F}

^{= 0 → A}

^{= F}

∑ ^{F = 0 : − A − B + C = 0 → A = C − B = b F}

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-16

Beispiel: Räumliches Fachwerk

–

Gegeben: a, F

–

Gesucht: Stabkräfte

–

Koordinaten:

a

a

2a

3a a

F A

B

C D

z

x

y E

A = ( 1, 0, 0 ) a B = ( − 1, 0, 0 ) a C =( 0, √ ^{3 , 0 ) a}

D = ( 0, 0, 3 ) a

E = ( 0,1,3 ) a

–

Richtungsvektoren der Stäbe:

A

B

C D

z

x

y E

e_AC

e_AE e_CE

e_BC e_BE e_DE

[ ^{⃗ e}

] ^{= 1} ₂ [ ^{−1 √ 0 3} ] ^{, [ ⃗ e}

^{] = 1 2} [ ^{√ 1 0 3} ]

[ ^{⃗ e}

] ^{= 1}

√ ¹¹ [ ^{−1 1 3} ] ^{, [ ⃗ e}

^{] = √ 1 11} [ ^{1 1 3} ]

[ ^{⃗ e}

] ⁼ _3,088 ¹ [ ^{− 0,7321 0} ] ⁼ [ ^{− 0,2371 0} ] ^{[ ⃗ e}

^{] =} [ ^{0 1} ]

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-18 –

Knoten C:

A

B

C D

z

x

y E

S_AC

S_CE S_BC

F

∑ ^{F ⃗ =⃗ 0 : ⃗ S}

^{+ ⃗ S}

^{+⃗ S}

^{+ ⃗ F =⃗ 0}

− S

⃗ e

− S

⃗ e

+ S

⃗ e

− F ⃗ e

=⃗ 0

∑ ^F

^{= 0 : 1} ₂ ^S

^{− 1} ₂ ^S

^{= 0}

∑ ^F

^{= 0 :}

− √ ³

2 ( ^S

+ S

) ^{− 0,2371 S}

= 0

∑ ^F

^{= 0 : 0,9715 S}

^{− F = 0}

∑ ^F

^{= 0 → S}

⁼ _0,9715 ^{1 F =1,029 F}

∑ ^F

^{= 0 → S}

^{= S}

∑ ^F

^{= 0 → √ 3 S}

^{=− 0,2371 S}

^{=− 0,2441 F}

→ S

= S

=− 0,1410 F

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-20 –

Knoten E:

A

B

C D

z

x

y E

S_AE

S_CE S_BE S_DE

∑ ^{F ⃗ =⃗ 0 : ⃗ S}

^{+⃗ S}

^{+⃗ S}

^{+⃗ S}

^{=⃗ 0}

− S

⃗ e

− S

⃗ e

− S

⃗ e

− S

⃗ e

=⃗ 0

∑ ^F

^{= 0 :} _√ ¹ ₁₁ ^{( S}

^{− S}

^{) = 0}

∑ ^F

^{= 0 : −} _√ ¹ ₁₁ ^{( S}

^{+ S}

^{) + 0,2371 S}

^{− S}

^{= 0}

∑ ^F

^{= 0 :}

− 3

√ ^{11 ( S}

^{+ S}

^{) − 0,9715 S}

^{= 0}

∑ ^F

^{= 0 → S}

^{= S}

∑ ^F

^{= 0 → 6 S}

^{=−0,9715 √ 11 S}

^{=−3,222 S}

→ S

= S

=−0,5370 ⋅ 1,029 F =− 0,5526 F

∑ ^F

^{=0 → S}

^{= 0,2371 S}

^{− 2}

√ ^{11 S}

→ S

= ( ^{0,2371 ⋅ 1,029 +} _√ ² 11 ⋅ 0,5526 ) ^{F = 0,5772 F}

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.5-22 –

Ergebnis:

Stab Kraft

AC -0,1410F Druck

BC -0,1410F Druck

AE -0,5526F Druck

BE -0,5526F Druck

CE 1,029F Zug

DE 0,5772F Zug