Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lehn
A. Berger
Dr. S. Moritz
A TECHNISCHE UNIVERSIT¨ DARMSTADT26./27.4.2007AT
Mathematik II f¨ ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨ Ubung 1
Gruppen¨ubung
G 1 Uberpr¨¨ ufen Sie jeweils, ob die Vektoren linear unabh¨angig sind und ob sie eine Basis des IR3 bilden.
a)
~u1 =
13
−1 11
, ~u2 =
−26 2 22
b)
~v1 =
3
−1 2
, ~v2 =
−3 2
−3
, ~v3 =
−3 4 7
c)
~ w1 =
2 0 7
, w~2 =
1 4
−2
, w~3 =
5 12
1
d)
~a1 =
12
0
−7
, ~a2 =
8 9
−2
, ~a3 =
11
−14
−1
, ~a4 =
−1 6
−12
L¨aßt sich der Vektor
~b=
1 0 1
als Linearkombination von~v1, ~v2, ~v3 schreiben?
G 2 Gegeben sind die Vektoren
~v1 =
0 0 0 1
, ~v2 =
14
−5 2 0
und ~v3 =
1 2 α 0
.
a) Bestimmen Sie den Parameter α ∈ IR so, daß die drei Vektoren ~v1, ~v2 und ~v3 senkrecht aufeinander stehen.
b) Geben Sie (mit dem in a) bestimmten Wert f¨ur α) einen Vektor ~v4 an, so daß
~v1, ~v2, ~v3 und ~v4 eine Basis des IR4 bilden und ~v4 senkrecht auf ~v1, ~v2 und ~v3 steht.
c) Berechnen Sie (mit dem in a) bestimmten Wert f¨urα) die L¨angen von~v1,~v2,~v3 und~v4.
G 3 Gegeben sei die Menge
U :=
x1 x2 x3 x4
∈IR4 : x1+ 2x4 = 0
.
a) Zeigen Sie, daß die MengeU einen Unterraum des Vektorraums IR4 bildet.
b) Bestimmen Sie die Dimension von U, und geben Sie eine Basis an.
c) Bildet auch die Menge
V :=
x1 x2
x3 x4
∈IR4 : x1+ 2x4 = 1
.
einen Unterraum von IR4? Haus¨ubung
H 1 Untersuchen Sie jeweils, ob die folgenden Vektoren eine Basis des Vektorraums IR3 bilden.
a)
~ u1 =
3 1 0
, ~u2 =
1 6 1
b)
~v1 =
1 0 1
, ~v2 =
−1 0 1
, ~v3 =
3 3 3
c)
~ w1 =
1 2 0
, w~2 =
2 0
−1
, w~3 =
3
−2
−2
H 2 Gegeben sind die drei Vektoren
~ v1 =
1 0 1
, ~v2 =
2 3
−2
und ~v3 =
3c
4 3
mit c∈IR.
a) F¨ur welche c∈IR hat~v3 die L¨ange 13?
b) F¨ur welche c∈IR sind~v1,~v2 und~v3 orthogonal zueinander?
c) F¨ur welche c∈IR bilden~v1,~v2 und ~v3 eine Basis des IR3?
H 3 Gegeben seien die Mengen
U1 :=
x1 x2 x3
∈IR3 :
3
X
i=1
xi = 1
, U2 :=
x1 x2 x3
∈IR3 :
3
X
i=1
i·x2i = 0
und U3 :=
x1 x2 x3
∈IR3 :
3
X
i=1
i·(xi+ 1) = 6
.
Uberpr¨¨ ufen Sie, ob U1, U2 bzw. U3 einen Unterraum des IR3 bildet.
Bestimmen Sie gegebenenfalls die Dimension und geben Sie eine Basis an.
Mathematik II f¨ ur BI, WIBI, MaWi und GEO Ubung 1, L¨ ¨ osungsvorschlag
Gruppen¨ubung
G 1 Uberpr¨¨ ufen Sie jeweils, ob die Vektoren linear unabh¨angig sind und ob sie eine Basis des IR3 bilden.
a)
~u1 =
13
−1 11
, ~u2 =
−26 2 22
b)
~v1 =
3
−1 2
, ~v2 =
−3 2
−3
, ~v3 =
−3 4 7
c)
~ w1 =
2 0 7
, w~2 =
1 4
−2
, w~3 =
5 12
1
d)
~a1 =
12
0
−7
, ~a2 =
8 9
−2
, ~a3 =
11
−14
−1
, ~a4 =
−1 6
−12
L¨aßt sich der Vektor
~b=
1 0 1
als Linearkombination von~v1, ~v2, ~v3 schreiben?
a) Zwei Vektoren sind linear abh¨angig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.
F¨ur ~u1 und ~u2 ist das nicht der Fall, die beiden Vektoren sind also linear un- abh¨angig. Sie bilden keine Basis des IR3, da eine solche Basis aus drei Vektoren bestehen muß.
b) Die Gleichung α~v1+β~v2+γ~v3 = 0 f¨uhrt auf
(1) 3α − 3β − 3γ = 0
(2) −1α + 2β + 4γ = 0
(3) 2α − 3β + 7γ = 0
(4) = (1) + 3(2) 3β + 9γ = 0
(5) = 3(3)−2(1) −3β + 27γ = 0
(6) = (4) + (5) 36γ = 0
und damit γ =β =α= 0. Die drei Vektoren sind linear unabh¨angig und bilden eine Basis des IR3.
Mathematik II f¨ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨Ubung 1, L¨osungsvorschlag 2 c) Die Vektoren sind linear abh¨angig, denn es giltw~3 =w~1+ 3~w2, und bilden somit
auch keine Basis desIR3.
d) Vier Vektoren im IR3 sind immer linear abh¨angig und k¨onnen also keine Basis bilden.
Der Vektor~b l¨aßt sich als Linearkombination von~v1, ~v2, ~v3 schreiben, da diese eine Basis des IR3 bilden.
G 2 Gegeben sind die Vektoren
~v1 =
0 0 0 1
, ~v2 =
14
−5 2 0
und ~v3 =
1 2 α 0
.
a) Bestimmen Sie den Parameter α ∈ IR so, daß die drei Vektoren ~v1, ~v2 und ~v3
senkrecht aufeinander stehen.
b) Geben Sie (mit dem in a) bestimmten Wert f¨ur α) einen Vektor ~v4 an, so daß
~v1, ~v2, ~v3 und ~v4 eine Basis des IR4 bilden und ~v4 senkrecht auf ~v1, ~v2 und ~v3 steht.
c) Berechnen Sie (mit dem in a) bestimmten Wert f¨urα) die L¨angen von~v1,~v2,~v3 und~v4.
a) Es gilt v1·v2 = 0 und v1·v3 = 0. Aus
v2·v3 = 14−10 + 2α= 4 + 2α !
= 0 folgtα =−2.
b) Damit der Vektor v4 = (v41, v42, v43, v44)T orthogonal zu den anderen Vektoren ist, m¨ussen die Bedingungen
v4·v1 = v44 !
= 0 v4·v2 = 14v41−5v42+ 2v43 !
= 0 v4·v3 = v41+ 2v42−2v43 !
= 0
gelten. Mitv44 = 0 bleiben zwei Gleichungen f¨ur drei Unbekannte. Addition der zweiten und dritten Gleichung ergibt
15v41−3v42 !
= 0.
Nach Wahl von v41 = 2 folgtv42= 10 und v43= 11, also
v4 =
2 10 11 0
.
Mathematik II f¨ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨Ubung 1, L¨osungsvorschlag 3 c) Es gilt
kv1k = √
0 + 0 + 0 + 1 = 1,
kv2k = √
196 + 25 + 4 + 0 = √
225 = 15, kv3k = √
1 + 4 + 4 + 0 = √
9 = 3,
kv4k = √
4 + 100 + 121 + 0 = √
225 = 15.
G 3 Gegeben sei die Menge
U :=
x1 x2 x3
x4
∈IR4 : x1+ 2x4 = 0
.
a) Zeigen Sie, daß die MengeU einen Unterraum des Vektorraums IR4 bildet.
b) Bestimmen Sie die Dimension von U, und geben Sie eine Basis an.
c) Bildet auch die Menge
V :=
x1 x2 x3
x4
∈IR4 : x1+ 2x4 = 1
.
einen Unterraum von IR4?
a) Es muß f¨ur~u, ~v ∈U und λ∈IR gezeigt werden (1) ~u+~v ∈U (2) λ~u∈U.
zu (1)
Seien~u=
u1 u2
u3 u4
, ~v =
v1 v2
v3 v4
∈U beliebig, d.h. u1+ 2u4 =v1+ 2v4 = 0.
Es gilt ~u+~v =
u1+v1 u2+v2 u3+v3 u4+v4
und
(u1+v1) + 2(u4+v4) = u1+v1+ 2u4+ 2v4 = (u1+ 2u4) + (v1+ 2v4) = 0 + 0 = 0, somit~u+~v ∈U.
zu (2)
Seien~u=
u1 u2 u3 u4
∈U beliebig, d.h. u1+ 2u4 = 0, und λ∈IR.
Mathematik II f¨ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨Ubung 1, L¨osungsvorschlag 4
Es gilt λ~u=
λu1 λu2 λu3 λu4
und
(λu1) + 2(λu4) =λu1+ 2λu4 =λ(u1+ 2u4) =λ·0 = 0, somit λ~u∈U.
Also ist U ein Unterraum desIR4. b) Bestimme eine Basis von U.
Die Elemente~xder Menge U erf¨ullen die Gleichung x1+ 2x4 = 0.
W¨ahlex2 =r,x3 =sundx4 =tmitr, s, t∈IRbeliebig, dannx1 =−2x4 =−2t.
Somit haben die Elemente von U die allgemeine Form
~x=
−2t r s t
=r
0 1 0 0
+s
0 0 1 0
+t
−2 0 0 1
mit r, s, t∈IR.
Also ist
0 1 0 0
,
0 0 1 0
,
−2 0 0 1
eine Basis von U, und es gilt dim U = 3.
c) Falls V ein Unterraum w¨are, so m¨ußte 0∈ V gelten. Es gilt jedoch 0 + 2·0 = 06= 1.
Also bildet V keinen Unterraum von IR4.
Haus¨ubung
H 1 Untersuchen Sie jeweils, ob die folgenden Vektoren eine Basis des Vektorraums IR3 bilden.
a)
~ u1 =
3 1 0
, ~u2 =
1 6 1
b)
~v1 =
1 0 1
, ~v2 =
−1 0 1
, ~v3 =
3 3 3
Mathematik II f¨ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨Ubung 1, L¨osungsvorschlag 5 c)
~ w1 =
1 2 0
, w~2 =
2 0
−1
, w~3 =
3
−2
−2
a) Da dimIR3 = 3, k¨onnen 2 Vektoren keine Basis des R3 bilden.
b) Die Gleichung α~v1+β~v2+γ~v3 = 0 f¨uhrt auf
(1) α − β + 3γ = 0
(2) 3γ = 0
(3) α + β + 3γ = 0
(4) = (1) + (3) 2α + 6γ = 0
Aus Gleichung (2) ergibt sichγ = 0. Damit erh¨alt man aus Gleichung (4)α= 0, und somit mit Gleichung (1) auch β = 0. Somit sind die drei Vektoren linear unabh¨angig und bilden eine Basis desIR3.
c) Die Vektoren sind linear abh¨angig, denn es giltw~1 = 2w~2−w~3, und bilden somit auch keine Basis desIR3.
H 2 Gegeben sind die drei Vektoren
~ v1 =
1 0 1
, ~v2 =
2 3
−2
und ~v3 =
3c
4 3
mit c∈IR.
a) F¨ur welche c∈IR hat~v3 die L¨ange 13?
b) F¨ur welche c∈IR sind~v1,~v2 und~v3 orthogonal zueinander?
c) F¨ur welche c∈IR bilden~v1,~v2 und ~v3 eine Basis des IR3? a) Der Vektor~v3 hat die geforderte L¨ange, falls
k~v3k=√
9c2+ 16 + 9 = 13 c2 = 132−25
9 = 169−25
9 = 144 9 = 16 c=±4.
b) Zun¨achst sind~v1 und ~v2 orthogonal,~v1·~v2 = 2−2 = 0.
F¨ur~v1 und ~v3 gilt entsprechend~v1·~v3 = 3c+ 3=0, also! c=−1.
F¨ur~v2 und ~v3 folgt~v2·~v3 =−6 + 12−6 = 0.
c) Untersucht wird die Gleichungα~v1+β~v2+γ~v3 = 0. Es folgt
(1) α + 2β + 3cγ = 0
(2) 3β + 4γ = 0
(3) α − 2β + 3γ = 0
(4) = (1)−(3) 4β + (3c−3)γ = 0 (5) = 4(2)−3(4) (25−9c)γ = 0
Mathematik II f¨ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨Ubung 1, L¨osungsvorschlag 6 Die drei Vektoren bilden eine Basis, wenn dieses System nur durchα=β =γ = 0gel¨ost wird. Dies ist der Fall f¨ur 25−9c6= 0, also f¨ur c6= 259.
H 3 Gegeben seien die Mengen
U1 :=
x1 x2 x3
∈IR3 :
3
X
i=1
xi = 1
, U2 :=
x1 x2 x3
∈IR3 :
3
X
i=1
i·x2i = 0
und U3 :=
x1 x2 x3
∈IR3 :
3
X
i=1
i·(xi+ 1) = 6
.
Uberpr¨¨ ufen Sie, ob U1, U2 bzw. U3 einen Unterraum des IR3 bildet.
Bestimmen Sie gegebenenfalls die Dimension und geben Sie eine Basis an.
zuU1
FallsU1 ein Unterraum w¨are, so m¨ußte0∈U1 gelten. Es gilt jedochP3
i=10 = 06= 1.
Also bildet U1 keinen Unterraum vonIR3. zuU2
Es gilt offensichtlichU2 =
0 0 0
. Also istU2trivialer Unterraum mit dimU2 = 0.
zuU3 Da P3
i=1i·(xi+ 1) =P3
i=1(i·xi+i) = P3
i=1i·xi+ 6, gilt
U3 :=
x1 x2 x3
∈IR3 :
3
X
i=1
i xi = 0
.
U3 ist ein Unterraum. Um dies zu zeigen, muß f¨ur ~u, ~v ∈ U3 und λ ∈ IR gezeigt werden
(1) ~u+~v ∈U3 (2) λ~u∈U3. zu (1)
Seien~u=
u1
u2 u3
, ~v =
v1
v2 v3
∈U3 beliebig, d.h. P3
i=1i ui =P3
i=1i vi = 0.
Es gilt~u+~v =
u1+v1 u2+v2 u3+v3
und
3
X
i=1
i (ui+vi) =
3
X
i=1
(i ui+i vi) =
3
X
i=1
i ui+
3
X
i=1
i vi = 0 + 0 = 0,
Mathematik II f¨ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨Ubung 1, L¨osungsvorschlag 7 somit~u+~v ∈U3.
zu (2) Seien~u=
u1
u2 u3
∈U3 beliebig, d.h. P3
i=1i ui = 0, undλ ∈IR.
Es giltλ~u=
λu1 λu2 λu3
und
3
X
i=1
i (λui) =λ
3
X
i=1
i ui =λ·0 = 0,
somitλ~u∈U3.
Also ist U3 ein Unterraum des IR3. Bestimme eine Basis vonU3.
Die Elemente~x der Menge U3 erf¨ullen die Gleichung
3
X
i=1
i xi =x1+ 2x2+ 3x3 = 0.
W¨ahlex2 =r undx3 =s mitr, s∈IRbeliebig, dann x1 =−2x2−3x3 =−2r−3s.
Somit haben die Elemente von U3 die allgemeine Form
~x=
−2r−3s r s
=r
−2 1 0
+s
−3 0 1
mit r, s∈IR.
Also ist
−2 1 0
,
−3 0 1
eine Basis von U3, und es gilt dimU3 = 2.
