Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lehn
A. Berger
Dr. S. Moritz
A TECHNISCHE UNIVERSIT¨ DARMSTADT21./22./25.6.2007AT
Mathematik II f¨ ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨ Ubung 9
Haus¨ubung
H 25 Gegeben seien die Funktionenf : IR2 →IR und g : IR×IR\ {0} →IR mit
f(x, y) = x2sinxy
2 und g(x, y) = x2−cosx y.
a) Bestimmen Sie die Approximation zweiter Ordnung vonf im Punkt (1, π).
b) Bestimmen Sie die Approximation zweiter Ordnung vong im Punkt (π,1).
c) Berechnen Sief(1110, π) und g(π+101,45) mit den in a) bzw. b) ermittelten N¨ahe- rungen und vergleichen Sie die Resultate mit den exakten Ergebnissen.
H 26 Gegeben sei die Funktionf : IR2 →IR mit
f(x, y) = (x2+y2)2−2(x2−y2).
Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f, und entscheiden Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt.
H 27 Skizzieren Sie die Menge G⊆IR2 und berechnen Sie RR
Gf(x, y) dF in den F¨allen a) G={(x, y)∈IR2| 1≤x≤2, 3≤y≤5}, f(x, y) =x2y3.
b) G={(x, y)∈IR2| 0≤x, y ≤1, x+y≤1}, f(x, y) = 1−x−y.
c) G={(x, y)∈IR2| 0≤x, y ≤1, x2 ≤y≤2x2}, f(x, y) =x+y.
Ubung 9, L¨ ¨ osungsvorschlag
Haus¨ubung
H 25 Gegeben seien die Funktionenf : IR2 →IR und g : IR×IR\ {0} →IR mit
f(x, y) = x2sinxy
2 und g(x, y) = x2−cosx y.
a) Bestimmen Sie die Approximation zweiter Ordnung vonf im Punkt (1, π).
b) Bestimmen Sie die Approximation zweiter Ordnung vong im Punkt (π,1).
c) Berechnen Sief(1110, π) und g(π+101,45) mit den in a) bzw. b) ermittelten N¨ahe- rungen und vergleichen Sie die Resultate mit den exakten Ergebnissen.
a) Als erstes bestimmen wir die partiellen Ableitungen von f bis einschließlich 2.
Ordnung:
fx(x, y) = 2xsinxy
2 +x2y
2 cosxy
2 , fy(x, y) = x3
2 cosxy 2 fxx(x, y) = 2 sinxy
2 + 2xycosxy
2 −x2y2
4 sinxy
2 , fxy(x, y) = 3
2x2cosxy
2 −x3y
4 sinxy 2 fyy(x, y) = −x4
4 sinxy 2
Nun bestimmen wir die Werte der Funktion und der partiellen Ableitungen an der Stelle (1, π):
f(1, π) = 1, fx(1, π) = 2, fy(1, π) = 0 fxx(1, π) = 2− π2
4 , fxy(1, π) = −π
4, fyy(1, π) = −1 4. Einsetzen in die Taylor’sche Formel ergibt:
f(x, y)≈f(1, π) +grad f(1, π)·(x−1, y−π)>+1
2(x−1, y−π)Hf(1, π)(x−1, y−π)>
= 1 + 2(x−1) + 0·(y−π) + 1
2(2−π2
4 )(x−1)2− π
4(x−1)(y−π)− 1
8(y−π)2
= 1 + 2(x−1) + (1− π2
8 )(x−1)2− π
4(x−1)(y−π)−1
8(y−π)2 b) Als erstes bestimmen wir die partiellen Ableitungen von g bis einschließlich 2.
Ordnung:
gx(x, y) = 2x+ 1 ysinx
y, gy(x, y) =−x y2 sinx
y gxx(x, y) = 2 + 1
y2cosx
y, gxy(x, y) =− 1 y2 sinx
y − x y3 cosx
y gyy(x, y) = 2x
y3 sinx y +x2
y4 cosx y
Mathematik II f¨ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨Ubung 9, L¨osungsvorschlag 2 Nun bestimmen wir die Werte der Funktion und der partiellen Ableitungen an der Stelle (π,1):
g(π,1) =π2+ 1, gx(π,1) = 2π, gy(π,1) = 0 gxx(π,1) = 1, gxy(π,1) =π, gyy(π,1) =−π2. Einsetzen in die Taylor’sche Formel ergibt:
g(x, y)≈g(π,1) +grad g(π,1)·(x−π, y−1)>+ 1
2(x−π, y−1)Hg(π,1)(x−π, y−1)>
=π2+ 1 + 2π(x−π) + 0·(y−1) + 1
2(x−π)2−π(x−π)(y−1)− π2
2 (y−1)2
=π2+ 1 + 2π(x−π) + 1
2(x−π)2−π(x−π)(y−1)− π2
2 (y−1)2 c) Zun¨achst die N¨aherung f¨urf(1110, π).
Es gilt nach Aufgabenteil a):
f(11
10, π)≈1 + 2(11
10 −1) + (1− π2 8 )(11
10−1)2− π 4(11
10−1)(π−π)− 1
8(π−π)2
= 1 +1
5 + (1− π2 8 ) 1
100 ≈1,1977 Das exakte Ergebnis lautet:f(1110, π)≈1,1951.
N¨aherung f¨urg(π+101,45).
Es gilt nach Aufgabenteil b):
g(π+ 1 10,4
5)
≈π2+ 1 + 2π(π+ 1
10−π) + 1
2(π+ 1
10 −π)2−π(π+ 1
1) −π)(4
5−1)− π2 2 (4
5−1)2
=π2+ 1 + π 5
1 200 − π
50− π2
50 ≈11,2427
Das exakte Ergebnis lautet:g(π+101,45)≈11,1214.
H 26 Gegeben sei die Funktionf : IR2 →IR mit
f(x, y) = (x2+y2)2−2(x2−y2).
Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f, und entscheiden Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt.
Als erstes bestimmen wir die partiellen Ableitungen von f bis einschließlich 2.
Ordnung:
fx(x, y) = 4x(x2+y2)−4x, fy(x, y) = 4y(x2+y2) + 4y
fxx(x, y) = 12x2+ 4y2−4, fyy(x, y) = 4x2+ 12y2+ 4, fxy(x, y) = 8xy=fyx(x, y).
Notwendige Bedingung f¨ur die Existenz von Extrema ist gradf(x, y) = 0. Wir l¨osen das zugeh¨orige Gleichungssystem:
grad f(x, y) = 0 ⇔
((I) 4x(x2+y2)−4x= 0 (II) 4y(x2+y2) + 4y= 0 Falls x= 0, so ist (I) erf¨ullt und f¨ur (II) ergibt sich:
y3+y= 0 ⇔ y= 0 ∨ y2+ 1 = 0.
Also ist in diesem Fall(0,0)ein station¨arer Punkt.
Falls y= 0, so ist (II) erf¨ullt und f¨ur (I) ergibt sich:
x3−x= 0 ⇔ x= 0 ∨ x2−1 = 0 ⇔ x= 0 ∨ x=±1.
Also sind in diesem Fall (0,0),(1,0) und (−1,0) station¨are Punkte.
Falls x, y 6= 0, so erhalten wir aus (I) ·y - (II) ·xdie Gleichung
−8xy= 0, welche nicht erf¨ullt ist, da xy6= 0.
Also sind(0,0),(1,0)und (−1,0)alle station¨aren Punkte von f.
Nun ¨uberpr¨ufen wir f¨ur diese drei Punkte die hinreichende Bedingung.
F¨ur(0,0)gilt
fxx(0,0)·fyy(0,0)−fxy2 (0,0) =−16<0, somit liegt in(0,0) kein Extremum vor. (0,0)ist ein Sattelpunkt.
F¨ur(1,0)gilt
fxx(1,0)·fyy(1,0)−fxy2 (1,0) = 64>0,
somit liegt in(1,0) ein Extremum vor. Dafxx(1,0) = 8>0 ist es ein Minimum.
F¨ur(−1,0)gilt
fxx(−1,0)·fyy(−1,0)−fxy2 (−1,0) = 64>0,
somit liegt in (−1,0) ein Extremum vor. Da fxx(−1,0) = 8 > 0 ist es ein Mini- mum. (Aufgrund der Symmetrief(−x, y) =f(x, y)weiß man auch ohne Nachweis der hinreichenden Bedingung, daß in (−1,0)ebenfalls ein Minimum vorliegt.)
H 27 Skizzieren Sie die Menge G⊆IR2 und berechnen Sie RR
Gf(x, y) dF in den F¨allen a) G={(x, y)∈IR2| 1≤x≤2, 3≤y≤5}, f(x, y) =x2y3.
b) G={(x, y)∈IR2| 0≤x, y ≤1, x+y≤1}, f(x, y) = 1−x−y.
c) G={(x, y)∈IR2| 0≤x, y ≤1, x2 ≤y≤2x2}, f(x, y) =x+y.
a)
Z Z
G
x2y3 dG= Z 2
1
Z 5
3
x2y3 dy dx = Z 2
1
1
4x2 [y4]53 dx= Z 2
1
136x2 dx
= 136 3 x3
2
1
= 3171 3
Mathematik II f¨ur BI, WIBI, MaWi und GEO, ¨Ubung 9, L¨osungsvorschlag 4
Skizze von G.
- 6
x G
1 2
3
5 y
b) Z Z
G
(1−x−y) dG= Z 1
0
Z 1−x
0
(1−x−y) dy dx= Z 1
0
y(1−x)−1 2y2
1−x
0
dx
= 1 2
Z 1
0
(1−x)2 dx= −1
6(1−x)3
1
0
= 1 6
Skizze von G.
-
@
@
@
@
@
@ 6
x y
1
1 G
c) Es gilt
G={(x, y)∈IR2| 0≤y≤1,
√2
2
√y≤x≤√ y}.
Damit erhalten wir:
Z Z
G
(x+y) dG= Z 1
0
Z √y
√ 2 2
√y
(x+y) dx dy= Z 1
0
1
2x2+xy
√y
√ 2 2
√y
dy
= Z 1
0
1
4y+2−√ 2 2 y√
y
!
dy = 1
8y2+2−√ 2 5 y2√
y
1
0
= 1
8 +2−√ 2 5
