Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Klassischen Theoretischen Physik I¨ WS 19/20
Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 7
PD Dr. B. Narozhny L¨osungsvorschlag
1. Schwingungen im Aufzug:
Zun¨achst ist der K¨orper bewegungslos. Die Feder wird nach dem Newtonschen Gesetz verl¨angert
mg=kzF.
Die Verschiebung des K¨orpers umfasst die Verschiebung der Aufzugskabine zA und die weitere Verl¨angerung (oder Kontraktion) der Feder y
z =zA+y.
Die Newton’sche Gleichung ist dann gegeben durch
mg−k(zF +y) =mz¨F0 −ma, a= ¨zA. Deswegen
m¨y=−ky+ma.
Die allgemeine L¨osung der differentialen Gleichung lautet
y(t) = Asin(ω0t+ϕ) + ma
k , ω0 = rk
m. Benutzen wir jetzt die Anfangsbedingungen:
y(0) = 0 ⇒ Asinϕ=−ma(0) k ,
˙
y(0) = 0 ⇒ Aω0cosϕ=−ma(0)˙ k .
(a) Wenn a =const, d.h. ˙a= 0, die zweite Bedingung ergibt cosϕ= 0 ⇒ ϕ= π
2. Dann finden wir von der ersten Bedingung
A=−ma k , sodass die L¨osung ist
y(t) = ma
k [1−cosω0t].
(b) Wenn a =bt, d.h. ˙a=b, aber a(0) = 0, die erste Bedingung ergibt sinϕ= 0 ⇒ ϕ= 0.
Dann finden wir von der zweiten Bedingung A=−mb
kω0
=− b ω30, sodass die L¨osung ist
y(t) = b
ω30 (ω0t−sinω0t).
2. Erzwungene Schwingung I:
(a) Die Bewegungsgleichung f¨ur den ged¨ampften Oszillator lautet
¨
x+ 2βx˙ +ω02x= f(t) m . Die allgemeine L¨osung lautet
xinh(t) =xhom(t) +x0(t).
Hier (wennβ 6=ω0)
xhom(t) = e−βt
A1eγt+A2e−γt
, γ = q
β2−ω02,
und x0(t) ist eine spezielle L¨osung. Da die Gleichung linear ist, kann die spezielle L¨osung als die Summe der L¨osungen f¨ur jeden harmonischen Term in der Antriebs- kraft geschrieben werden. Mit der L¨osung aus der Vorlesung finden wir heraus
x0(t) =B1cos(ω1t+ϕ1) +B2sin(ω2t+ϕ2), wobei
B1(2)= A(B) m
r
ω21(2)−ω022
+ 4β2ω21(2)
, ϕ1(2) = arctan 2βω1(2) ω21(2)−ω02.
Betrachten wir jetzt die Anfangsbedingungen:
xinh(0) =A1+A2+x0(0) =x0, x0(0) =B1cosϕ1 +B2sinϕ2,
v(0) =−β(A1+A2)+γ(A1−A2)+ ˙x0(0) = 0, x˙0(0) =−B1ω1sinϕ1+B2ω2cosϕ2. Davon finden wir
A1+A2 =x0−x0(0), A1−A2 = β[x0−x0(0)]−x˙0(0) γ
und zwar
A1 = 1 2
x0−x0(0) + β[x0−x0(0)]−x˙0(0) γ
,
A2 = 1 2
x0−x0(0)− β[x0−x0(0)]−x˙0(0) γ
,
(b) F¨ur βt1 ist xhom(t) irrelevant. F¨urω2 = 2ω1
x(t β−1) = B1cos(ω1t+ϕ1) +B2sin(2ω1t+ϕ2)
Das ist eine periodische Funktion. Um die Amplitude zu finden, finden wir jetzt die Extrema, d.h. die Nullpunkte der Ableitung.
˙
x(t) =−B1ω1sin(ω1t+ϕ1) + 2B2ω1cos(2ω1t+ϕ2) = 2B2ω1[cos 2y+Ccos(y+ϑ)], wobei
y=ω1t+ϕ2/2, C = B1
2B2, ϑ =ϕ1+π−ϕ2 2 . Jetzt sollen wir die folgende Gleichung l¨osen
cos 2y+Ccos(y+ϑ) = 0, oder
z2+C
zeiϑ+1 ze−iϑ
+ 1
z2 = 0, z =eiy, |z|= 1.
Obwohl Gleichungen viertes Grades mit einer allgemeinen Formel gel¨ost werden k¨onnten, ist eine solche L¨osung eher schwerf¨allig und nicht transparent. In solchen F¨allen bevorzugen wir eine direkte numerische L¨osung. Daher gilt die obige Glei- chung als akzeptables Ergebnis f¨ur diese Aufgabe.
3. Erzwungene Schwingung II:
Die Amplitude der erzwungenen Schwingung wurde von der Vorlesung bekannt
A= f
m q
(ω2−ω02)2+ 4β2ω2 ,
wobei ω die Frequenz der Antriebskraft ist.
Wenn die Amplitude f¨ur zwei Frequenzen gleich ist, k¨onnen wir die folgende Gleichung schreiben
ω21−ω022
+ 4β2ω21 = ω22−ω202
+ 4β2ω22. Wir vereinfachen die Gleichung mit
ω12−ω022
+ 4β2ω12 = ω21 −ω02+ 2β22
+ 4β2 ω02−β2 , sodass die Gleichung wird
ω21 −ω02+ 2β22
= ω22−ω02+ 2β22
. Hier (auch von der Vorlesung bekannt)
ω02−2β2 =ωres2 . Letztendlich finden wir
ωres2 = ω12+ω22
2 .
4. Erzwungene Schwingung III:
Die Auslenkung des erzwungenen Oszillators wurde von der Vorlesung bekannt
x(t) = f
m q
(ω2−ω20)2+ 4β2ω2
cos(ωt+ϕ).
wobei ω die Frequenz der Antriebskraft ist.
Die entsprechende Geschwindigkeit ist
v(t) = ˙x(t) = − f ω m
q
(ω2−ω02)2+ 4β2ω2
sin(ωt+ϕ).
Die Amplitude der Geschwindigkeit ist dann
V = f ω
m q
(ω2 −ω02)2+ 4β2ω2
= f
m q
(ω−ω02/ω)2+ 4β2 .
Diese Amplitude ist maximal bei der Frequenz der Geschwindigkeitsresonanz ωGR =ω0.
Der maximale Wert der Amplitude ist
VR = f 2mβ.
Die H¨alfte des Maximalwertes ist bei der folgenden Frequenz erreicht:
V = VR
2 ⇒ ω−ω20/ω2
= 12β2. Die reele L¨osungen lauten
ω= q
ω02+ 3β2±β√ 3.
Von der zwei gegebenen Frequenzen finden wir (a)
ωGR =ω0 =√ ω1ω2, (b)
β = |ω1−ω2| 2√
3 .
