Grapheutheorie Algorithmen

(1)

Grapheutheorie ^th Algorithmen

Vorlesung ⁴

Steffen Reith

18.5.2016

(2)

Komplexität

^XNP ^.

Vollständigkeit

1

- - ^-

Menge ^aller Wörter über -2

Defm

^:

^Sei [

^ein ^bel

Alphabet

, dann

heißt

^IE

£

Entsende probkmm

⁽ ^über

^E)

^Sprache^$

Dann

heißt

xe

-2 ^.

yositivelnstauzm

, wenn xett ^und

Lugativelnstauzm xeftt

^wenn ^.

Die Funktion

Gtlx

⁾ ^. _aeg

µ

⁰^,

^sonst ^falls

^xe ^In

heißt

charaktoistisehefhtm

^von IT_.

(3)

Bmsp^: ² PROBLEM^: ^INNEN GRAD _.

EINGABE ^:

Graph

^G

FRAGE ^:

gibt

ês êinen ^Knoten ÔEVCG

)

_, ^sodass

g-

^Col ⁼ ⁰ ^?

Defm

^: ^Sei ^G-

LYE

_, ^aw

)

^ein

_Graph

^.

^Die

_Menge ^CEV

heißt ^Chiapas

_, ^wenn

für

âlle û.ve ^C ^mit ûtv

gilt ^laut

^EE ^.

Bgf

^:

PROBLEM ^Eäie

^:^.

't ^CLIQUE ! ^:?

.hu?;.e...*:iititenIIIIk::srtit:CDef_..

Die

_Menge ^alle

Entscheidungs problem

^.

^deren

charakteristische

(4)

Fht

ⁱⁿ ^Zeit

⁾ 0¥

^, ^c ^konstant ^berechnet ^werden ^kann ³

Pdyuom

( polynomielh

^Zeit ^/

^Polynomial

^zeit

⁾

^werden ^zur ^klasse ^-

zusammengefasst

.

Defmi

^Die ^Klasse ^NP

(

^± ^nicht deterministische

Polynomial

^zeit

)

besteht

aus allen

Problemen T

_, ^so dass

PITLIti.LI?cIEG4i

^,

es

gibt

^ein

^Problem IT'

^ER _Länge _von

FRAGE ^: Ist C eine g

Clique ^mit_- ^knoten ^üy ^es

gibt

^ein

Pdynomp _gibt

_fp

häufig

^ab

iii , XEIT

2*4 gdu

^es ^ein

ye

^so ^, ^dass

lyltfpclxtTIundlx.ge ₎

_EIT ^' ^-

y

^heißt

Zaggelzmotifikmat

für ^die Zugehörigkeit

^von ^x ^zu ^I.

(5)

3¥

^. ^NP ^ist ^die ^{klasse der}

_effizient überprüfbaren

^Probleme ⁴

•

PENP

^mit ^IT ⁼ I ^' und p ⁼ OL

Nullpdyuom

. Die

Frage

_, ^ob

Pf

^NP ^ist ^das

^bekannte ^PINP

^-

^Problem

Bspm

^:

^CLIQUE

CLIQUE ^ENP

, da

PROBLEM ^: CLIVYF

EINGABE ^: Graph ^G- ^Cv^,

E)

_, ^CEV _, ^KEIN

FRAGE ^: Ist ^C ^eine

Clique

^von ^G ^mit ^{7. K} ^Knoten ^?

ist ⁱⁿ

Polynomial

^zeit

lösbar /

entscheid bar

, und

(

G

,

KIECLIQUE

_gdw

JC

_,

KIEPCIGD

^und

⁽ ^{Ghk )}

^ECLIVYF

Als

Polguom

^reicht

pcu

⁾ ⁼ ^Ch ^, ^C ^konstant ^. ^Ist

CG

_, k) ECLIQUE

,

(6)

dann ist C ein Zuge

für

^diese ^Tatsache ^. ⁵

DI

^: Seien ^ITEZ ^'t ^und

ITEZ

^* Entscheidungs

probkme

^und

f

^: ^-2*-7-2 ^* ^eine ^Funktion ^, ^die ⁱⁿ

^Polynomial

^zeit

berechenbar

,

ist mit

folgender Eigenschaft

XEIT

gdwfcx

¥

^7dg^- ^Zeit

Dann

_heißt ^IT

auf

^IT ^' Lin Polynomial^zeit

)

reduzierbar

(

Schreibweise ^:

IT sift ₎

^-

% many^. ^one ^± ^nicht injehtiv

"

1%0

^fade

fei

⁾ Beam

Ein

^ist

refkxiv

^und ^trausitiv , aber i. A. nicht anti ^.

symmetrisch

,, Quasi Ordnung ^"

(7)

Been Gilt ^ITEIIÄ

^und

ITEM

^, ^dann

^gilt

^auch ^TER ^.

Beuc

Der

Begriff

^der Reduzierbar heit macht Entscheidungsprobleme vergleichbar ^:

gilt

^TEILT ^, ^dann ^ist ^"

^Iuicht

^schwerer ^als ^IT^"

Defy

^: ^Ein

^Problem

^I heißt

NP.ro#tandig_

^, ^wenn

DIE

^NP

ii,

für

^alle ^ÄENP

gilt ^IT'

^Eilt

Benz

^NP^-

vollständige

^Probleme ^sind ^" ^schwerste ^" ^Probleme ⁱⁿ ^NP

Grapheutheorie Algorithmen

Grapheutheorie th Algorithmen

Vorlesung 4

Steffen Reith

Komplexität

Vollständigkeit

Defm

Sei [

Alphabet

heißt

£

Entsende probkmm

E)

heißt

xe

yositivelnstauzm

Lugativelnstauzm xeftt

Gtlx

µ

sonst falls

charaktoistisehefhtm

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g-

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Graph

Die

heißt Chiapas

für

gilt laut

Bgf

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.hu?;.e...*:iititenIIIIk::srtit:CDef_..

Die

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deren

Fht

) 0¥

( polynomielh

Polynomial

)

zusammengefasst

Defmi

(

Polynomial

)

besteht

Problemen T

PITLIti.LI?cIEG4i

gibt

Problem IT'

gibt

Pdynomp gibt

häufig

2*4 gdu

ye

lyltfpclxtTIundlx.ge )

y

Zaggelzmotifikmat

für die Zugehörigkeit

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effizient überprüfbaren

PENP

Nullpdyuom

Frage

Pf

bekannte PINP

Problem

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CLIQUE

E)

Clique

Polynomial

lösbar /

(

KIECLIQUE

Grapheutheorie ^th Algorithmen

Vorlesung ⁴

^Sei [

^E)

^sonst ^falls

_Graph

^Die

heißt ^Chiapas

gilt ^laut

PROBLEM ^Eäie

't ^CLIQUE ! ^:?

^deren

⁾ 0¥

^Polynomial

⁾

^Problem IT'

Pdynomp _gibt

lyltfpclxtTIundlx.ge ₎

für ^die Zugehörigkeit

_effizient überprüfbaren

^bekannte ^PINP

^Problem

^CLIQUE

⁽ ^{Ghk )}

^Polynomial

IT sift ₎

Been Gilt ^ITEIIÄ

^gilt

^Iuicht

^Problem

gilt ^IT'