Soliton

ubertragen werden, z.B. auf Systeme mit drei Dimensionen, mit unterschiedlichen Atom-sorten oder mit Wechselwirkungen, die nicht nur zwischen den n¨achsten Nachbarn wirken.

Solange die R¨uckstellkr¨afte proportional zur Auslenkung bleiben, haben die L¨osungen die Form von Glg. (4.6).

Das Phonon ist das quantenmechanische Analogon der mit Glg. (4.6) beschriebenen Git-terschwingung. Ein einzelnes Phonon der Kreisfrequenzωhat die Energie~ω. Eine klassische Gitterschwingung von großer Amplitude entspricht der quantenmechanischen Situation, wo viele Phononen der gleichen Mode vorliegen. Ein solches Ensemble von Phononen hat gewisse Ahnlichkeit mit einem Gas aus Teilchen. Daher werden Phononen oft auch als Quasiteilchen¨ bezeichnet.

In Abschnitt 4.2.1 werden wir die Phononen mit Hilfe des Formalismus der zweiten Quan-tisierung (oder Fock-Darstellung) noch eingehender behandeln.

4.1.3 Soliton

Im realen Festk¨orper ergibt sich aufgrund der Abstoßung zwischen den Atomr¨umpfen ein anharmonisches Potenzial. Die Bewegungsgleichungen (4.1) sind dann nicht mehr linear in der Auslenkung. Bei kleinen Auslenkungen f¨uhrt dies nur zu kleinen Korrekturen und eine Beschreibung mit Phononen ist adequat. Bei großen Auslenkungen entsteht dadurch aber eine v¨ollig neue Familie von elementaren Anregungen, die solit¨aren Wellen oder Solitonen.

Dies sind Anregungen, in denen eine lokale Druckwelle den Festk¨orper durchl¨auft. Die Atome werden nur kurzzeitig ausgelenkt und nehmen nach Durchlaufen der Druckwelle wieder ihre urspr¨ungliche station¨are Lage ein.

Solit¨are Wellen kommen auch in klassischen Systemen vor, sind also kein rein quanten-mechanisches Ph¨anomen. Allerdings k¨onnen solit¨are Wellen unter bestimmten Umst¨anden teilchen¨ahnlich miteinander wechselwirken: Sie behalten dann bei einer Kollision ihre Gestalt bei. Deshalb werden sie oft als Quasiteilchen betrachtet.

Das einfachste Modell, das solit¨are L¨osungen zul¨asst, ist eine eindimensionale Anordnung harter St¨abchen, wie sie in Abb. 4.4 skizziert ist. Durch einen Schlag auf das St¨abchen ganz

Abbildung 4.4: Die solit¨are Welle breitet sich durch eine Folge elastischer St¨oße von links nach rechts aus.

links wird dieses in Bewegung versetzt und auf das benachbarte St¨abchen schlagen, das seinerseits wieder auf das n¨achste St¨abchen schl¨agt. Eine solit¨are Druckwelle wird die ganze Anordnung durchlaufen und alle bis auf das letzte (rechteste) St¨abchen im Ruhezustand hinterlassen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle h¨angt einzig von der St¨arke des anf¨anglichen Schlags ab und kann jeden positiven Wert annehmen. Die Welle ist immer auf einem einzigen St¨abchen lokalisiert, im Gegensatz zur Schallwelle in einem harmonischen System, die immer g¨anzlich delokalisiert ist.

Ein oft verwendetes Modell, das zwischen den Grenzf¨allen des harmonischen Potenzials und dem Potenzial zwischen harten K¨orpern interpoliert, ist die sog. Toda-Kette. Ihr Erfinder Toda schlug das Potenzial

V(r) = ar+ a

be^−br (4.9)

vor, wobei r der Abstand zwischen zwei K¨orpern ist. Wenn b→0 und dabei ab=cendlich ist, erh¨alt man daraus durch Reihenentwicklung der Exponentialfunktion (exp(x) = 1 + x¹/1! +x²/2! +...) das harmonische Potenzial

V(r) = a b + 1

2cr². (4.10)

Falls hingegenb → ∞und dabeiab=cendlich ist, ergibt sich das Potenzial zwischen harten K¨orpern, das durch

V → ∞ , r ≤0

V →0 , r >0 (4.11)

gegeben ist. F¨ur allgemeine Werte von b betrachten wir eine Kette mit Gleichgewichts-abst¨anden D zwischen den Massen, wobei das Potenzial P

nV(Rn −Rn−1 −D) zwischen Massen am Ort Rn und Rn−1 wirkt. In der Notation der Auslenkungen von der Gleichge-wichtslage yn=Rn−nD ergeben sich die Bewegungsgleichungen zu

Md²yn

dt² =−a(e^{−b(yn+1−yn)}−e^{−b(yn−yn−1)}). (4.12) Mit yn−yn−1 ≡rn erhalten wir

Md²rn

dt² =a(−e^−brn+1+ 2e^−brn−e^−brn−1). (4.13) Eine einfache L¨osung dieser Gleichungen ist die propagierende Welle, f¨ur die

e^−brn−1 = sinh²µ

cosh²(µn±βt) (4.14)

gilt, wobei β = p

ab/Msinhµ und µ eine Zahl ist, die sowohl die Amplitude als auch die r¨aumliche Ausdehnung der Welle bestimmt. Da die Funktion 1/cosh²(µn±βt) außer f¨ur kleine Argumente klein ist (1/coshx= 2/(e^x+e^−x)), ist die Breite der solit¨aren Welle, f¨ur die rn ∼f(nD−vt) gilt, etwa D/µ. Die Geschwindigkeit der Welle ist

v =βD µ =D

rab

M(sinhµ

µ ). (4.15)

F¨ur solit¨are Wellen mit großer Amplitude dominieren die Charakteristika des Potenzials harter K¨orper (Glg. (4.11)) und die Geschwindigkeit wird sehr groß (sinhx= (e^x−e^−x)/2).

F¨ur kleine Amplituden zwischen benachbarten Massen ist sinhµ/µ→1 (aus Reihenentwick-lung: e^x = 1 +x+...) und wir erhalten die Schallgeschwindigkeit der harmonischen Kette Dp

(ab/M).

Das Beispiel der Toda-Kette zeigt, wie die Ber¨ucksichtigung von Nichtlinearit¨aten die elementaren Anregungen eines Systems qualitativ ver¨andert. Zur vollst¨andigen L¨osung des klassischen Problems muss auf elliptische Jacobi-Funktionen zur¨uckgegriffen werden, was sich als sehr aufw¨andig gestaltet. Auch die quantenmechanische Behandlung ist ¨uberaus nichttrivial.

Solitonen in konjugierten Polymeren

In konjugierten Polymeren wie Polyacetylen alternieren Einfach- und Doppelbindungen zwi-schen den Kohlenstoffatomen. Damit ergibt sich ein zweifach entarteter Grundzustand, da die Doppelbindungen entweder zwischen dem 1. und 2., 3. und 4., ... oder zwischen dem 2. und 3., 4. und 5., ... Kohlenstoffatom auftreten k¨onnen. Ein Soliton ist hier eine Dom¨anenwand zwischen diesen beiden Grundzust¨anden (Abb. 4.5).

Abbildung 4.5: Schematische Darstellung eines neutralen Solitons in trans-(CH)x [Heeger, Rev. Mod. Phys. 60 (1988) 781)]

Magnetische Solitonen

Es gibt auch ein magnetisches Analogon zu mechanischen Solitonen. Ein einfaches Beispiel ist eine antiferromagnetische Ising-artige Kette, die durch den Hamiltonoperator

H =−2JX

i>j

(aS_i^zS_j^z+bS_i^yS_j^y+cS_i^xS_j^x) (4.16) mit negativer AustauschkonstanteJ (antiferromagnetische Kopplung) und wesentlich st¨arker Kopplung in z-Richtung als in x- und y-Richtung (b =c≪ a) beschrieben wird. Der N´eel-Grundzustand dieses Systems ist zweifach entartet, da die zwei in Abb. 4.6 (a) und (b) gezeig-ten Anordnungen der Spins m¨oglich sind. Die niederenergetischen Anregungen sind magneti-sche Solitonen (oder Dom¨anenw¨ande) zwimagneti-schen den zwei verschiedenen N´eel-Grundzust¨anden (c). Die nichtverschwindende Spinkopplung entlang der x- undy-Achse (b =c >0) sorgt f¨ur die Bewegung des Solitons entlang der Kette (d). Einetight binding-N¨aherung ergibt f¨ur die Geschwindigkeit des Solitons

v =−4abJsin(2ak). (4.17)