2.4 Ideale Metall-Oxid-Halbleiter-Struktur (MOS)
2.4.4 Quantitative Berechnung des Kapazität-Spannung-Verlaufs (C-V)
Für viele Untersuchungen von MOS-Strukturen wird neben der gemessenen Kapazität-Spannung-Kurve der dazugehörige theoretisch berechnete Verlauf benötigt. Aus dem Vergleich der theo-retischen mit der experimentellen Kurve lassen sich weitere Eigenschaften der MOS-Struktur ableiten. Dazu ist es nötig, den Verlauf der Kapazität als Funktion der angelegten Gatespannung in den zwei Grenzfällen hoher und niedriger Frequenz der Wechselspannung zu bestimmen, was im Folgenden dargelegt wird.
Die KapazitätC einer idealen MOS-Struktur ist, wie in Abschnitt 2.4.3 beschrieben, definiert als C = δQM
δVG =−δQS
δVG . (2.30)
Die am Gatekontakt angelegte SpannungVG entspricht dabei der Summe aus dem Oberflächen-potentialψS und dem Potentialabfall am OxidVOX [51]:
VG=VOX+ψS → δVG=δVOX+δψS . (2.31)
Aus den Gleichungen (2.30) und (2.31) ergibt sich für die GesamtkapazitätC der MOS-Struktur 1
C = 1 COX + 1
CS . (2.32)
Anschaulich wurde die Reihenschaltung der beiden Kapazitäten in Abschnitt 2.4.3 begründet.
Die OxidkapazitätCOX ist von der angelegten Wechselspannungsfrequenz sowie von der Gleich-spannung unabhängig [51] und wird mit Gleichung (2.16) berechnet. Die HalbleiterkapazitätCS
allerdings hängt sowohl von der angelegten Frequenz als auch vom OberflächenpotentialψS und damit von der GatespannungVG ab.
Die Berechnung der HalbleiterkapazitätCS erfolgt in diesem Abschnitt über die exakte Lösung der Poisson-Gleichung im eindimensionalen Fall, da alle Variablen lediglich von der Größe x abhängen, welche senkrecht zur Halbleiter-Oxid-Grenzfläche gemessen wird (vgl. Abb. 2.14). Der Ursprung der Koordinatex liegt dabei auf der Grenzfläche. Die aus der Poisson-Gleichung ermit-telte RaumladungsdichteQS im Halbleiter ermöglicht anschließend die differentielle Berechnung der HalbleiterkapazitätCS in Abhängigkeit von der Bandverbiegung. Schließlich wird über den
Abbildung 2.14:Energiebanddiagramm eines p-dotierten Halbleiters an der Grenzfläche zum Oxid.
Das Potential ψ ist im Volumen des Halbleiters Null und wird bezüglich des intrinsischen Fermi-Niveaus Ei bestimmt. ψ0 gibt die Potentialdifferenz zwischen dem Fermi-Niveau EF und Ei im Halbleitervolumen an. Im gezeigten Fall istψSpositiv. In Akkumulation istψS<0, in Verarmung gilt ψ0> ψS>0 und in Inversion istψS> ψ0. Aus [50].
Zusammenhang zwischen angelegter Gatespannung und dadurch verursachter Bandverbiegung die Darstellung der Gesamtkapazität der idealen MOS-Struktur als Funktion der Gatespannung ermittelt.
Poisson-Gleichung
Bei der Berechnung wird wieder der Fall eines p-dotierten Halbleiters angenommen. Die ein-dimensionale Poisson-Gleichung für die Raumladungszone im Halbleiter ist [50]
d2ψ(x)
dx2 +ρ(x)
ε0εS = 0 , (2.33)
wobei an der Grenzfläche zum Oxidψ(0) =ψS und im Volumen des Halbleitersψ(x > WS) = 0 gilt.ρ(x) ist die Volumenladungsdichte, welche außerhalb der Raumladungszone Null beträgt und für eine gleichmäßige Dotierung (NA− und ND+ unabhängig vonx) mit
ρ(x) =qND+−NA−+pp(x)−np(x) (2.34) berechnet wird.ND+ gibt die Konzentration der ionisierten Donatoratome, NA− die der ionisierten Akzeptoratome an.pp(x) ist die Dichte der Löcher im p-dotierten Halbleiter undnp(x) die Dichte der dortigen freien Elektronen. Unter der im Halbleitervolumen geltenden Neutralitätsbedingung ρ(x) = 0 gilt ψ= 0 und man erhält
ND+−NA−=np0−pp0 , (2.35)
wobei pp0 die Konzentration der freien Löcher undnp0 die Konzentration der freien Elektronen im Volumen angibt. Diese können über das Fermi-Potential im Volumen (ψ0 =−EqF) geschrieben werden als [51]
pp0=ni·eβψ0 und np0 =ni·e−βψ0 , (2.36)
2.4 Ideale Metall-Oxid-Halbleiter-Struktur (MOS) 25 wobeinidie intrinsische Ladungsträgerkonzentration undUT= kBqT = β1 die thermische Spannung angibt. Für die Bandverbiegungψ an einem beliebigen Ort x gilt damit
pp(x)−np(x) =pp0·e−βψ(x)−np0·eβψ(x) . (2.37) Setzt man diese Randbedingungen in Gleichung (2.33) ein, ergibt sich die veränderte Poisson-Gleichung zu
d2ψ(x)
dx2 =− q ε0εS
hpp0e−βψ(x)−1−np0eβψ(x)−1 i . (2.38) Elektrisches Feld an der Oxid-Halbleiter-Grenzfläche
Durch Integration der veränderten Poisson-Gleichung (2.38) vom Halbleitervolumen bis hin zur Oxid-Halbleiter-Grenzfläche kann nun das elektrische FeldE
E :=−dψ
dx (2.39)
in Abhängigkeit vom Potentialψberechnet werden:
E2=2kBT
Mit der Einführung derextrinsischen Debye-Länge LD für Löcher LD:=
s ε0εS
qpp0β (2.41)
und einer FunktionF, definiert durch F βψ,np0
ergibt sich für das elektrische FeldESan der Grenzfläche zwischen Halbleiter und Oxid (ψ(x) =ψS) ES=±
Verlauf der Raumladungsdichte QS im Halbleiter
Mit dem Gaußschen Gesetz kann nun die sich im Halbleiter befindende Raumladung pro Ein-heitsflächeQS=−ε0εSES, die das elektrische Feld in Gleichung (2.43) erzeugt, in Abhängigkeit von der Bandverbiegung berechnet werden:
QS =∓
Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 2.15 dargestellt. Der Verlauf lässt sich in vier Bereiche einteilen:
• FürψS <0 ist QS positiv und entspricht dem Bereich der Akkumulation. Die Funktion F wird hier vom ersten Term aus Gleichung (2.42) dominiert und es gilt:
QS ∝expq|ψS| 2kBT
. (2.45)
Abbildung 2.15:Änderung der RaumladungsdichteQSin p-dotiertem Silizium (NA= 4·1015cm−3) als Funktion des Oberflächenpotentials ψS bei Raumtemperatur. Aus [50].
• Unter Flachbandbedingungen giltψS= 0. QS ist somit ebenfalls Null.
• Im Verarmungsbereichψ0> ψS >0 wirdQS negativ. Der zweite Term von Gleichung (2.42) stellt in F nun den dominierenden dar und somit ist
QS ∝pψS . (2.46)
• BeiψS=ψ0 beginnt der Bereich der schwachen Inversion. Das Oberflächenpotential [50]
ψS,inv∼= 2ψ0 = 2kBT
q ·lnNA ni
(2.47) definiert den Beginn der starken Inversion, in dem F vom vierten Term dominiert wird und es gilt:
QS ∝exp qψS 2kBT
. (2.48)
HalbleiterkapazitätCS
Schließlich kann mithilfe der Gleichung (2.44) der Ausdruck für die Kapazität CS,lf der Verar-mungszone im Halbleiter (CS=CDim Verarmungsbereich) beiniedrigen Messfrequenzenaus der Abhängigkeit der Raumladungsdichte vom OberflächenpotentialψS abgeleitet werden [51]:
CS,lf := dQS
dψS = √ε0εS
2LD ·
h1−e−βψS+npp0p0eβψS−1i FβψS,npp0
p0
. (2.49)
2.4 Ideale Metall-Oxid-Halbleiter-Struktur (MOS) 27 Zur Herleitung der charakteristischen KapazitätCFB des MOS-Kondensators bei der dazu am Gatekontakt anliegenden FlachbandspannungVFB (bei idealem MOS-Kondensator gilt: VFB = 0) wird Gleichung (2.49) nachψS in Reihe entwickelt und die FlachbandbedingungψS = 0 eingesetzt.
Man erhält für die Kapazität im Halbleiter CS,FB= ε0εS
LD . (2.50)
Mit Gleichung (2.32) folgt dann für die FlachbandkapazitätCFB: CFB = COXCS,FB
COX+CS,FB
. (2.51)
Die zu Gleichung (2.49) führende Berechnung setzt voraus, dass alle Ladungen in der Raumla-dungszone den Veränderungen vonψS „folgen“. Diese Annahme ist für Minoritäts- und Majori-tätsladungsträger allerdings nur bei niederfrequenten C-V-Messungen richtig. Für hochfrequente Messungen gilt sie lediglich im Akkumulations- und Verarmungsbereich, da dort die Minoritäts-ladungsträger beim Ladungsausgleich keine Rolle spielen (vgl. Abschn. 2.4.3).
Für denhochfrequent gemessenen Inversionsbereich ist Gleichung (2.49) jedoch nicht gül-tig, da die Minoritätsladungsträger den Änderungen von ψS nicht folgen können. Ihr Beitrag wird somit bei der sich in der Raumladungszone befindenden Ladung der DichteQS (Gl. (2.49)) vernachlässigt.
Mit Einsetzen der starken Inversion dehnt sich die Raumladungszone nicht weiter aus (W =Wlim) und der Halbleiter ist vor dem weiteren Eindringen des elektrischen Feldes durch die Inversions-schicht abgeschirmt (vgl. Abschn. 2.4.3). Die Kapazität einer hochfrequent gemessenen Kurve behält demzufolge den minimalen WertCD,lim des Verarmungsfalls bei (s. Gl. (2.19)):
CS,hf =CD,lim= ε0εS
WS,lim (2.52)
mit der maximalen Tiefe der VerarmungszoneWS,lim: WS,lim=2ε0εS|ψS,inv|
qNA
1/2
. (2.53)
Zusammenhang zwischen Gatespannung und Oberflächenpotential
Zuletzt wird der Zusammenhang des sich einstellenden Oberflächenpotentials ψS mit der am Gatekontakt anliegenden SpannungVG bei einer idealen MOS-Diode bestimmt. Ohne Austritts-arbeitsdifferenz fällt die am Gatekontakt anliegende Spannung zum einen Teil am Oxid und zum anderen Teil am Halbleiter ab (s. Gl. (2.31)):
VG=VOX+ψS , (2.54)
wobei das am Oxid abfallende PotentialVOX berechnet wird mit [50]:
VOX= |QS|dOX
ε0εOX = |QS|
COX . (2.55)
Dieser Zusammenhang von Gatespannung und Oberflächenpotential ist in Abbildung 2.16a für verschiedene Oxiddicken dargestellt.
Somit können C-V-Kurven für niedrige und hohe Frequenzen, wie sie in Abbildung 2.16b für verschiedene Oxidschichtdicken dargestellt sind, theoretisch berechnet werden.
(a) (b)
Abbildung 2.16: (a)Oberflächenpotential in Abhängigkeit von der angelegten Gatespannung für ideale MOS-Dioden mit unterschiedlichen Oxiddicken. (b) Auf die Oxidkapazität normierte C-V-Kurven einer idealen MOS-Diode bei verschiedenen Isolatorschichtdicken. Die durchgezogenen C-V-Kurven entsprechen hohen, die gestrichelten niedrigen Frequenzen. Aus [53].