Tutorium Analysis 1
27.01.2020 - Grenzwerte von Funktionen; Exponentialfunktion und Winkelfunktionen WS 19/20 David Präsent
Arbeitsblatt 14
Grundlegende Fragen
Frage 1 Wie ist der Grenzwert einer Funktion deniert?
Frage 2 Was versteht man unter einem uneigentlichen Grenzwert?
Frage 3 Wie lautet der Satz vom Maximum und Minimum?
Frage 4 Wie lautet die Exponentialfunktion als Grenzwert einer Funktionenfolge und als Reihe?
Frage 5 Wie hängen die Sinus- und Cosinusfunktion mit der Exponentialfunktion zusammen?
Beispiel 14.1 (Grenzwerte von Funktionen) Untersuche, ob die folgenden Grenzwerte existieren:
a) lim
x→0
√1 +x−√ 1−x x
b) lim
x→1
3 x−1 c) lim
x→0
1 x2
d) lim
h→0
(x+h)2−x2 h e) lim
x→−2
4−x2 x+ 2 f) lim
x→∞
4−x2 x+ 2 Beispiel 14.2 (Die Exponentialfunktion)
Wir betrachten die Folge(xn)n∈N mit xn = 1 + x
n n
.
a) Zeige, dass die Folge monoton wächst und beschränkt ist.
Hinweis: Bernoulli-Ungleichung:(1 +y)n≥1 +ny für −1≤y ∈Rund n∈N0
b) Beweise schlieÿlich die Identität lim
n→∞xn =
∞
X
k=0
xk k!.
Beispiel 14.3 (Die komplexe Exponentialfunktion)
Es soll die Funktion f : C → C, f(z) = ez untersucht werden. Wähle dazu z =x + iy ∈ C und betrachte das Verhalten der Funktion in der (komplexen) Bildebene, wenn Real- oder Imaginärteil festgehalten wird und der jeweils andere Wert variiert wird.
a) SeiRe(z) =x fest. Wie verhält sich f(z)abhängig von Im(z) =y?
b) Sei nun y fest. Wie verhält sich die Funktion bei Variation von x?
c) Ist die komplexe Exponentialfunktion injektiv oder surjektiv?
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