Tutorium Analysis 1
21.10.2019 - Mengenlehre, Abbildungen, Vollständige Induktion WS 19/20 David Präsent
Arbeitsblatt 3
Grundlegende Fragen
Frage 1 Was ist eine Abbildung bzw. Funktion?
Frage 2 Welche Zutaten benötigt man, um eine Abbildung zu denieren?
Frage 3 Wie ist das kartesische Produkt A1× · · · ×An deniert?
Frage 4 Was ist die Urbildfunktion? Und ist sie für jede Abbildung deniert?
Frage 5 Wie funktioniert das Prinzip der vollständigen Induktion (anschaulich)?
Beispiel 3.1 (Abbildungen)
a) Bestimme eine Abbildung, die einem Flugzeug (in sinnvoller Art und Weise) seine Position auf dem Globus zuordnet (mit geeigneten Denitions- und Bildmengen).
b) Finde eine Funktion, die jedem Pixel in einer Bilddatei einen Farbwert zuordnet (mit geeigneten Denitions- und Bildmengen).
Beispiel 3.2 (Kartesisches Produkt)
Es seien A,B,C ⊆G Teilmengen einer Grundmenge G. Zeige, dass die folgenden Identitäten für das kartesische Produkt gelten:
a) A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) b) A×(B\C) = (A×B)\(A×C)
Beispiel 3.3 (Bild und Urbild)
Es seien X und Y Mengen, f :X →Y eine Abbildung und A,B⊆X , sowie C,D ⊆Y Teilmengen von X bzw. Y . Beweise die folgenden Aussagen:
a) A⊆B⇒f(A)⊆f(B)
b) f−1(C ∪D) =f−1(C)∪f−1(D)
c) f(A)∩f(B)⊆f(A∩B), wenn f injektiv ist.
Beispiel 3.4 (Beweis durch Widerspruch)
Zeige, dass für zwei reelle Zahlen a,b≥0die Ungleichung a+b
2 ≥√
ab gilt.
Beispiel 3.5 (Vollständige Induktion)
a) Zeige für alle n ∈N, dass n3+ 2n durch 3teilbar ist.
b) Es sei A eine Menge und(Bk)k∈Neine Mengenfamilie. Zeige, dass für jedes n ∈Ndie Beziehung A∩
n
[
k=1
Bk=
n
[
k=1
(A∩Bk) gilt.
c) Beweise für alle n ∈N, dass die folgende Formel gilt:
n
X
k=1
(−1)kk2= (−1)nn(n+ 1) 2
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