Tutorium Analysis 1
25.11.2019 - Komplexe Zahlen, reellwertige Folgen, Konvergenz WS 19/20 David Präsent
Arbeitsblatt 8
Grundlegende Fragen
Frage 1 Wie kann man die Arithmetik mit komplexen Zahlen geometrisch interpretieren?
Frage 2 Was ist die komplex konjugierte Zahl zu einem z ∈C? Wo wird sie eingesetzt?
Frage 3 Wie wird die Ungleichung|z−(a+ib)| ≤c in der Gauÿ'schen Zahlenebene interpretiert?
Frage 4 Wie ist die Denition der Konvergenz einer reellwertigen Folge zu verstehen?
Frage 5 Wie lautet das Monotoniekriterium für Folgen?
Beispiel 8.1 (Arithmetik mit komplexen Zahlen)
Berechne die folgenden Terme und stelle die resultierenden (komplexen?) Zahlen auf die Darstellung a+ ib um. Gegeben sind:
z = 2−3i w =−4 + i
a) z−w b) z·w c) |z|2 d) 2w
z
Beispiel 8.2 (Komplexe Gleichungen)
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen über die GrundmengeC.
a) 2z −5i = 3 b) z2+ 2z+ 1 + 2i = 0
Beispiel 8.3 (Komplexe Ungleichungen und Zahlenmengen) Stelle die folgenden Mengen in der Gauÿ'schen Zahlenebene dar.
a) A:={z ∈C : |z−1 + 2i| ≤3 ∧ Re(z)>0}
b) B :=C\ {w ∈C : |Im(w)|>2 ∨ Re(w) + Im(w)≥5}
Beispiel 8.4 (Denition der Konvergenz von Folgen)
Führe den Konvergenznachweis der Folge(an)n∈N mithilfe der Denition durch und bestimme den Grenzwert a. Die Folge ist gegeben durch die explizite Bildungsvorschrift
an :=n2−2n−5 3n2+ 1 .
Beispiel 8.5 (Rekursive Folgen und Monotoniekriterium)
Überprüfe, ob die Folge (xn)n∈N konvergent ist und berechne gegebenenfalls ihren Grenzwert. Die Folge ist festgelegt durch x0= 1 und das rekursive Bildungsgesetz
xn+1:= xn xn+ 2 .
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