Tutorium Analysis 1
02.12.2019 - Folgen, Konvergenz und Häufungspunkte WS 19/20
David Präsent
Arbeitsblatt 9
Grundlegende Fragen
Frage 1 Wie kann man die Grenzwerte der Summe, der Dierenz, des Produkts und des Quotienten zweier konvergenter Folgen ermitteln, deren Grenzwerte bekannt sind?
Frage 2 Wie lauten die äquivalenten Formulierungen des Satzes von Bolzano-Weierstraÿ?
Frage 3 Wie kann man die Denition der Konvergenz im Komplexen verstehen?
Frage 4 Wie lautet das Cauchy-Kriterium für Folgen? Warum ist es nützlich?
Beispiel 9.1 (Konvergenz von Folgen)
Sei q>0. Es sei nun die Folge(xn)n∈Ngegeben durch xn=√
qn+n−√ n .
Zeige, dass die Folge für q≤1 konvergiert und für q>1 unbeschränkt ist.
Tipp: Einschlieÿungssatz
Beispiel 9.2 (Häufungspunkte und Konvergenz im Komplexen)
Es seien die rellwertige Folge(un)n∈N und die komplexwertige Folge(zn)n∈Ngegeben durch un= n−4
2n+ 5 und zn = nin−4 2n+ 5 .
a) Zeige zunächst mit der Denition, dass die Folge(un)n∈Ngegen 12 konvergiert.
b) Zeige, dass (zn)n∈Nnicht konvergiert und nde Kandidaten für konvergente Teilfolgen.
c) Bestimme den Grenzwert dieser Teilfolgen mithilfe der entsprechenden Rechenregeln.
Beispiel 9.3 (Cauchy-Kriterium für Folgen)
Es sei(yn)n∈Neine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft, dass|yn+1−yn|<2−n für alle n∈N.
Zeige, dass(yn)n∈Neine Cauchy-Folge ist.
Tipp: Schreibe|an−am|als Teleskopsumme und verwende die Dreiecksungleichung, sowie die Sum- menformel für die geometrische Reihe.
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