Spezielle Grenzwerte von Folgen
Einige wichtige Grenzwerte sind in der folgenden Tabelle angegeben.
an a= lim
n→∞an
√n
n 1
nsqn, |q|<1 0 n−slnn, s >0 0
qn/n! 0
n!/nn 0
(1 + 1/n)n e
(1−1/n)n 1/e
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Beispiel
Anwendung von Grenzwertregeln und Benutzung bekannter Grenzwerte (i) Grenzwert der Folgean=
1 +2n+31 4n
, n = 1,2, . . .:
setze m= 2n+ 3, n= (m−3)/2 an=
1 + 1
m 2m−6
n→∞lim an =
m→∞lim
1 + 1 m
m2
·
m→∞lim
1 + 1 m
−6
= e2·1−6 =e2
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(ii) Grenzwert der Folge an=
3n n
/2n, n= 1,2, . . . Umformung
an = (3n)(3n−1)· · ·(2n+ 1) n·(n−1)· · ·1 · 1
2n
= 3
2 ·3−1/n
2 · · ·2 + 1/n 2
·nn n!
[. . .]≥1 =⇒
n→∞lim an≥ lim
n→∞
nn n! =∞
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Beispiel
Berechnung von Grenzwerten der Form an ± bn
cn ± dn
durch Division durch die betragsm¨aßig gr¨oßeren Ausdr¨ucke z.B: Umformung von
an= (3 +√ n+ 4)2 5n+ lnn binomische Formel und K¨urzen durchn
9 + 6√
n+ 4 +n+ 4
5n+ lnn = 13/n+ 6p
1/n+ 4/n2+ 1 5 + (lnn)/n
1/n, 1/n2, (lnn)/n →0 =⇒
n→∞lim an= 0 + 6·√ 0 + 1 5 + 0 = 1
5
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