Grundlagen der Analysis
Wintersemester 2019/20
Folgen und Grenzwerte
Prof. Dr. David Sabel
LFE Theoretische Informatik
Letzte ¨Anderung der Folien: 6. November 2019
Folgen
Definition (Folge)
Eine Folge (a
n)
n∈Nist gegeben durch eine reelle Zahl a
nf¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n.
Notation
Wir schreiben auch (a
0, a
1, a
2, . . . ).
Wir schreiben (a
n)
n≥kf¨ ur die Folge (a
k, a
k+1, a
k+2, . . . ), d.h. (a
k+n)
n∈N.
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 2/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele
a
n:= 1
n definiert die Folge (a
n)
n≥1= (1, 1 2 , 1
3 , . . . ).
a
n:= (−1)
ndefiniert die Folge (a
n)
n≥1= (−1, 1, −1, 1, . . . ).
a
n:= n
n + 1 definiert die Folge (a
n)
n≥1= ( 1 2 , 2
3 , 3 4 , . . . ).
a
n:= n
2
ndefiniert die Folge (a
n)
n≥1= ( 1 2 , 2
4 , 3 8 , 4
16 , . . . ).
Konvergenz und Grenzwert
Definition (Konvergenz einer Folge)
Eine Folge (a
n)
n∈Nkonvergiert gegen a ∈ R , falls es f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈ N gibt,
sodass |a
n− a| < ε f¨ ur alle n > N gilt.
Die reelle Zahl a heißt dann Grenzwert der Folge.
Notation: Man schreibt lim
n→∞
a
nf¨ ur den Grenzwert der Folge (a
n)
n∈N, wenn dieser existiert.
Eine Folge heißt
konvergent, wenn der Grenzwert existiert
divergent, wenn kein Grenzwert exisitiert
Veranschaulichung
Konvergenz von (a
n)
n∈Nbesagt:
Es gibt beliebig kleine ε-Umgebungen des Grenzwertes a = lim
n→∞
a
n, so dass fast alle (n¨ amlich alle bis auf endlich viele) Folgenglieder in der ε-Umgebung liegen.
( a
a − ε )
a + ε
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 5/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele
n→∞
lim 1 n = 0 Beweis:
Sei ε > 0.
Nach einer Konsequenz des Archimedischen Axioms (Satz 3.13) gibt es ein N ∈ N mit 1
N < ε.
F¨ ur alle n > N gilt: 1 n < 1
N . Daher gilt sicher auch 1
n < ε f¨ ur alle n > N und damit gilt | 1
n − 0| = 1
n < ε f¨ ur alle n > N
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 6/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele (2)
(n)
n∈Nhat keinen Grenzwert (divergiert).
Beweis durch Widerspruch:
Angenommen a sei der Grenzwert.
Sei k = bac + 1
Dann gilt k ≥ a und |(k + i) − a| ≥ 1 f¨ ur alle i ∈ {1, 2, . . .}
D.h. z.B. f¨ ur ε = 1
2 gibt es kein N, sodass
|a
n− a| = |n − a| < ε f¨ ur alle n > N
(denn f¨ ur alle n > k ist |a
n− a| = |n − a| ≥ 1 >
12).
Daher existiert a nicht.
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 7/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele (3)
((−1)
n)
n∈Nhat keinen Grenzwert (divergiert).
Beweis durch Widerspruch:
Angenommen a w¨ are ein Grenzwert.
F¨ ur ein beliebiges ε > 0 m¨ usste dann |a
n− a| < ε f¨ ur alle hinreichend großen n gelten.
Da die Folge immer abwechselnd die Werte 1 und −1 annimmt, bedeutet das: |1 − a| < ε und | − 1 − a| < ε.
Mit der Dreiecksungleichung folgt daraus aber
2 = |1 − a+ a+ 1| ≤ |1 −a|+ |a + 1| = |1 −a|+ | −a −1| ≤ 2ε, also 1 ≤ ε, was f¨ ur beliebiges ε > 0 sicher nicht wahr ist.
Unsere Annahme, dass a ein Grenzwert der Folge ist, muss also falsch gewesen sein.
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 8/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele (4)
n→∞
lim n n + 1 = 1 Beweis:
Sei ε > 0.
Nach Satz 3.13 gibt es N ∈ N mit 1 N < ε Damit ist auch 1
n + 1 < ε f¨ ur alle n > N Damit ist auch | n
n + 1 − 1| = 1
n + 1 < ε f¨ ur alle n > N
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 9/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele (5)
n→∞
lim n 2
n= 0 Beweis:
Zeige zun¨ achst n 2
n< 1
n f¨ ur alle n > 4:
Zeige die ¨ aquivalente Aussage n
2< 2
nf¨ ur alle n > 4 durch Induktion ¨ uber n
n = 5 gilt, da 5
2= 25 < 32 = 2
5Induktionsschritt n → n + 1 f¨ ur n ≥ 5: (n + 1)
2=
n
2+ 2n + 1 < n
2+ 3n < n
2+ n · n = 2n
2I.V.< 2 · 2
n= 2
n+1Sei ε > 0. Aus lim
n→∞
1
n = 0, wissen wir: Es gibt N ∈ N :
| 1
n − 0| = 1
n < ε f¨ ur alle n > N Daher gibt es auch N
0∈ N mit | n
2
n− 0| = n
2
n− 0 < 1 n < ε f¨ ur alle n > N
0TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 10/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Einzigartigkeit des Grenzwerts
Satz
Jede Folge hat h¨ ochstens einen Grenzwert.
Beweis. Durch Widerspruch
Annahme: a und a
0sind verschiedene Grenzwerte von (a
n)
n∈N. Setze ε := |a − a
0|
2 . Da a = lim
n→∞
a
n, gibt es N ∈ N mit |a
n− a| < ε f¨ ur alle n > N . Da a
0= lim
n→∞
a
n, gibt es N
0∈ N mit |a
n− a
0| < ε f¨ ur alle n > N
0. F¨ ur alle n > max(N, N
0) gelten beide Ungleichungen.
Daher durch Addition: |a
n− a
0| + |a
n− a| < 2ε.
Mit der Dreiecksungleichung:
|a − a
0| = |(a
n− a
0) + (a − a
n)|
≤ |a
n− a
0| + |a − a
n| =|a
n− a
0| + |a
n− a| < 2ε= |a − a
0|
Rechenregeln
Satz 4.5
F¨ ur alle konvergenten Folgen (a
n)
n∈Nund (b
n)
n∈Ngilt:
n→∞
lim (a
n+ b
n) = ( lim
n→∞
a
n) + ( lim
n→∞
b
n)
n→∞
lim (a
n· b
n) = ( lim
n→∞
a
n) · ( lim
n→∞
b
n)
Beweis. Wir zeigen den ersten Fall (der zweite geht analog) Sei lim
n→∞
a
n= a und lim
n→∞
b
n= b.
Zu zeigen ist lim
n→∞
(a
n+ b
n) = a + b.
Sei ε > 0. Nach Annahme existieren N ∈ N und M ∈ N sodass |a
n− a| < ε
2 und |b
m− b| < ε
2 f¨ ur alle n > N ,m > M Wir haben dann |a
n+ b
n− (a + b)| = |a
n− a + b
n− b| ≤
|a
n− a| + |b
n− b| < ε 2 + ε
2 = ε f¨ ur alle n > max(N, M),
womit lim (a
n+ b
n) = a + b gezeigt ist.
Anmerkungen
Satz 4.5
F¨ ur alle konvergenten Folgen (a
n)
n∈Nund (b
n)
n∈Ngilt:
n→∞
lim (a
n+ b
n) = ( lim
n→∞
a
n) + ( lim
n→∞
b
n)
n→∞
lim (a
n· b
n) = ( lim
n→∞
a
n) · ( lim
n→∞
b
n)
F¨ ur divergente Folgen (a
n)
n∈Nund/oder (b
n)
n∈Nkann trotzdem ein Grenzwert f¨ ur (a
n+ b
n)
n∈Noder (a
n· b
n)
n∈Nexistieren.
Z.B. ist f¨ ur a
n:= n, b
n:= −n ist lim
n→∞
(a
n+ b
n) = 0 Z.B. ist f¨ ur a
n:= n, b
n:=
n1ist lim
n→∞
(a
n· b
n) = 1 Satz 4.5 ist f¨ ur solche F¨ alle nutzlos.
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 13/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele
F¨ ur a
n:= n + 1
n kann man lim
n→∞
a
nberechnen durch ( lim
n→∞
1
n ) + ( lim
n→∞
1) = 0 + 1 = 1
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 14/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Rechenregeln (2)
Satz
F¨ ur alle konvergenten Folgen (a
n)
n∈Nund (b
n)
n∈Ngilt:
Wenn ( lim
n→∞
b
n) 6= 0, dann lim
n→∞
a
nb
n= lim
n→∞a
nlim
n→∞b
n. Beachte: Wenn ( lim
n→∞
b
n) 6= 0, dann muss es ein N ∈ N geben, sodass b
n6= 0 f¨ ur alle n > N .
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 15/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Rechenregeln (3)
Satz
Seien (a
n)
n∈Nund (b
n)
n∈Nzwei konvergente Folgen mit a
n< b
n. Dann gilt (lim
n→∞a
n) ≤ (lim
n→∞b
n).
Beachte: Unter den Annahmen des Satzes gilt nicht immer ( lim
n→∞
a
n) < ( lim
n→∞
b
n).
Beispiel?
a
n:= 1
n + 1 b
n:= 1 n Dann gilt: a
n< b
nund lim
n→∞
a
n= 0 ≤ 0 = lim
n→∞
b
nTCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 16/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele
Sei a
n:= 2n
2+ 2n + 10 3n
2+ n + 1 Berechnung des Grenzwerts. Trick: K¨ urze mit n
2:
n→∞
lim a
n= lim
n→∞
2n
2+ 2n + 10 3n
2+ n + 1 = lim
n→∞
2n2+2n+10 n2 3n2+n+1
n2
= lim
n→∞
2n2
n2
+
2nn2+
10n23n2
n2
+
nn2+
n12= lim
n→∞
2 +
n2+
10n23 +
n1+
n12= 2 3
da lim
n→∞
2 + 2 n + 10
n
2= ( lim
n→∞
2) + ( lim
n→∞
2
n ) + ( lim
n→∞
10
n
2) = 2 + 0 + 0 = 2
und lim
n→∞
3 + 1 n + 1
n
2= ( lim
n→∞
3) + ( lim
n→∞
1
n ) + ( lim
n→∞
1
n
2) = 3 + 0 + 0 = 3
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 17/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Monotonie
Definition (Monotonie f¨ ur Folgen)
Eine Folge (a
n)
n∈Nheißt monoton wachsend, falls a
n≤ a
n+1f¨ ur alle n ∈ N gilt.
Eine Folge (a
n)
n∈Nheißt streng monoton wachsend, falls a
n< a
n+1f¨ ur alle n ∈ N gilt.
Beispiele:
a
n= 1
n ist nicht monoton wachsend.
a
n= (−1)
nist nicht monoton wachsend.
a
n= n
n + 1 ist streng monoton wachsend (und daher auch monoton wachsend) a
n= n + 1 + (−1)
n2 ist monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 18/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beschr¨ anktheit
Definition (Beschr¨ anktheit)
Eine Folge (a
n)
n∈Nheißt nach oben beschr¨ ankt falls die Menge {a
n| n ∈ N } eine obere Schranke hat.
Beispiele:
a
n= 1
n + 1 ist beschr¨ ankt,
da z.B. 1 eine obere Schranke von {a
n| n ∈ N } ist.
a
n= (−1)
nist beschr¨ ankt,
da z.B. 1 eine obere Schranke von {a
n| n ∈ N } ist.
a
n= (−2)
nist nicht beschr¨ ankt,
da keine obere Schranke f¨ ur {a
n| n ∈ N } existiert.
Konvergenz und Beschr¨ anktheit
Satz
Jede konvergente Folge (a
n)
n∈Nist nach oben beschr¨ ankt.
Beweis.
Sei a := lim
n→∞
a
n(der Grenzwert existiert nach Annahme).
Nach Definition der Konvergenz gibt es ein N ∈ N , sodass
|a
n− a| < 1 f¨ ur alle n > N gilt.
Dann gilt aber a
k≤ max{a
0, a
1, . . . , a
N, a + 1} f¨ ur alle
k ∈ N .
Konvergenz und Beschr¨ anktheit (2)
Satz 4.11
Eine monoton wachsende, nach oben beschr¨ ankte Folge (a
n)
n∈Nkonvergiert gegen a := sup{a
n| n ∈ N }.
Beweis.
F¨ ur jedes ε > 0 gibt es N ∈ N , sodass 0 ≤ a − a
N< ε:
Da a Supremum ist, folgt a
N≤ a und somit 0 ≤ a − a
N. F¨ ur den Rest: G¨ abe es kein N mit a − a
N< ε, dann h¨ atten wir a − a
n≥ ε f¨ ur alle n. D.h. a − ε ≥ a
nf¨ ur alle n und damit w¨ are a − ε eine obere Schranke f¨ ur {a
n| n ∈ N }, die kleiner als a ist. Widerspruch, da a kleinste obere Schranke ist.
Wegen der Monotonie der Folge gilt dann a
N≤ a
nf¨ ur alle n > N . Daraus folgt dann 0 ≤ a − a
n≤ a − a
N< ε.
Damit haben wir gezeigt, dass f¨ ur jedes ε > 0 ein N ∈ N existiert, sodass |a − a
n| ≤ ε f¨ ur alle n > N . Das heißt,
n→∞
lim a
n= a.
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 21/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Bestimmte Divergenz
Definition (Bestimmte Divergenz gegen ∞)
Eine Folge (a
n)
n∈Ndivergiert bestimmt gegen ∞ falls f¨ ur jedes K ∈ R ein N ∈ N existiert, sodass a
n> K f¨ ur alle n > N . Wir schreiben dann lim
n→∞a
n= ∞.
Definition (Bestimmte Divergenz gegen −∞)
Eine Folge (a
n)
n∈Ndivergiert bestimmt gegen −∞ falls f¨ ur jedes K ∈ R ein N ∈ N existiert, sodass a
n< K f¨ ur alle n > N . Wir schreiben dann lim
n→∞a
n= −∞.
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 22/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz
Beispiele
n→∞
lim −n = −∞
n→∞
lim 2
nn = ∞
a
n:= n(−1)
nkonvergiert nicht und divergiert weder bestimmt gegen ∞ noch gegen −∞.
Wenn eine Folge weder konvergiert noch bestimmt divergiert, sprechen wir von unbestimmter Divergenz.
TCS | 04 Folgen und Grenzwerte | WS 2019/20 23/23 Folgen Konvergenz Monotonie Beschr¨anktheit Divergenz