2. Folgen in R

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Allgemeines

Mitternachtsformel.Füra, b, c∈Rgilt:ax²+bx+c= 0 ⇐⇒

x=^−b±

√

b2−4ac 2a

Potenzen und Logarithmen.Füra, b, c ∈Rmita6= 0, b, c >

0, b, c6= 1gilt:logcb=a ⇐⇒ c^a=b ⇐⇒ √^a b=c.

Nicht vergessen!a^b:=e^bln(a). Logarithmusregeln.logab=^{logc b}_log

c a,loga(n·m) = logan+ logam, log_amⁿ = log_an−logam,log_an^m=m·logan,log_abn=¹_b·logan, loga1 = 0,logaa= 1,logaaⁿ=n,loga√n

a=¹_n.

Bernoulli-Ungleichung.∀n >0, x≥ −1 : (1 +x)ⁿ≥1 +nx.

1. Reelle Zahlen

Obere und untere Schranken. Für einen angeordneten Körper K,X⊂Kunds∈Kgilt:

s∈X supX=s

∀ >0 :∃x∈X:s− < x≤s

maxX=s ∀y < s:∃x∈X:y < x

∀x∈X:s≥x infX=s

∀ >0 :∃x∈X:s≤x < s+

minX=s

∀y > s:∃x∈X:y > x

∀x∈X:s≤x

Pfeile bedeutenA=⇒ Bbzw.A∧B =⇒ C.

Rechenregeln für Suprema.

1. sup(X+Y) = sup(X) + sup(Y) 2. λ >0 =⇒ sup(λX) =λsup (X)

3. X, Y ⊂[0,∞) =⇒ sup(X·Y) = sup(X)·sup(Y) 4. X⊂Y =⇒ sup (X)≤sup (Y)

2. Folgen in R

Beschränktheit. (an) ist nach oben beschränkt, falls ∃C ∈ R:∀n∈N:an< C,nach unten beschränkt, falls∃C∈R:∀n∈ N:an> Cundbeschränkt, falls∃C >0 :∀n∈N:|an|< Cbzw.

falls nach unten und oben beschränkt.

Grenzwert.(an)konvergiertgegena(lim

n→∞an=aoderan→a fürn→ ∞), falls∀ >0 :∃n0∈N:∀n≥n0:|an−a|< . Wenn kein solchesaexistiert, danndivergiertsie.

Beispiele.Fürn→ ∞gilt: _np¹ →0(p∈N),_2n+1ⁿ →¹₂,xⁿ→0 (0< x <1) und(1 +¹_n)ⁿ→e. Es divergiert:(−1)ⁿ.

Rechenregeln für Grenzwerte.Falls lim

n→∞an=aund lim

n→∞bn=b, dann:

1. lim

n→∞an+bn=a+b, 2. lim

n→∞an·bn=a·b, 3. lim

n→∞

an

bn =^a_b (fallsb6= 0), 4. an≤bnfür allen∈N =⇒ a≤b,

5. Einschließungskriterium: a = b und an ≤ cn ≤ bnfür fast allen∈N =⇒ lim

n→∞cn=a.

Uneigentliche Konvergenz.Eine divergente Folge(an)konver- giert uneigentlichgegen∞(bzw. −∞), falls∀K >0 :∃n0 ∈ N:∀n≥n0:an> K(bzw.an<−K). Notation wie bei Konver- genz.

Beispiele. n²,xⁿ (x >1) und ⁿ²_n⁻¹ konvergieren uneigentlich gegen∞.

Rechenregeln für uneigentliche Grenzwerte.Falls lim

n→∞bn =∞ und lim

n→∞an=a, dann:

1. a∈R∪ {∞} =⇒ lim

n→∞an+bn=∞, 2. a∈R⁺∪ {∞} =⇒ lim

n→∞an·bn=∞und a∈R⁻∪ {−∞} =⇒ lim

n→∞an·bn=−∞

3. a∈R=⇒ lim

n→∞

an bn = 0.

Bei 3. reicht es, dass(an)beschränkt ist.

Monotonie von Folgen. Eine reelle Folge(an)heißt monoton wachsend, falls∀n∈N:an+1≥an. Analogmonoton fallendfür

≤,streng monoton wachsendfür>undstreng monoton fallend für<.

Häufungspunkt.

1. Falls(nk)k∈N streng monoton wachsend oder fallend, dann (a_nk)k∈NTeilfolgevon(an)n∈N

2. Eine Zahla∈RheißtHäufungspunktvon(an)n∈N, wenn∃ Teilfolge(a_nk)k∈Nvon(an)n∈N, die gegenakonvergiert.

Wichtige Aussagen:

• Bolzano-Weierstrass:(an)beschränkt =⇒ (an)hat mindes- tens einen Häufungspunkt,

• (an)monoton fallend oder wachsend =⇒(an)hat höchstens einen Häufungspunkt,

• (an)konvergent =⇒ (an)hat genau einen Häufungspunkt (= Grenzwert),

• (an)uneigentlich Konvergent gegen−∞oder∞ =⇒ (an) hat keinen Häufungspunkt.

Limes superior und limes inferior.Falls(an)nach unten (bzw.

oben) beschränkt ist, istlim sup

n→∞

an(bzw.lim inf

n→∞ an) sein größter (bzw. kleinster) Häufungspunkt.

Eigenschaften.Für eine reelle Folge(an)gilt:

divergent

beschränkt konvergent uneigentlich

konvergent gegen−∞

nach unten unbeschränkt

nach unten beschränkt monoton

fallend streng monoton fallend

uneigentlich konvergent gegen∞

nach oben unbeschränkt

nach oben beschränkt monoton wachsend streng monoton wachsend

Schwarze Pfeile bedeutenA =⇒ Bbzw.A∧B =⇒ C und rote¬A∨ ¬B, d. h.AundBschließen sich gegenseitig aus.

3. Folgen in C und R

ⁿ

Komplexe Zahlen.C={a+bi|a, b∈R}. Fürz=a+bigilt:

• Konjugierte:z=a−bi.

• Betrag:|z|=√ z z=√

a²+b².

• |z1·z2|=|z1| · |z2|und

z1 z2

=^|z_|z^1|

2|.

• Dreiecksungleichungen:||z1| − |z2|| ≤ |z1±z2| ≤ |z1|+|z2|.

Fürz1=a1+b1iundz2=a2+b2igilt:

• Addition:z1+z2= (a1+a2) + (b1+b2)i,

• Subtraktion:z1−z2= (a1−a2) + (b1−b2)i,

• Multiplikation:z1·z2= (a1a2−b1b2) + (a1b2+a2b1)i,

• Division: ^z_z¹

2 =^z_z^1z2

2z2 =

a1a2 +b1b2 a2

2+b2 2

+

b1a2−a1b2 a2

2+b2 2

i.

Jede komplexe Zahlz=a+bimitz6= 0lässt sich eindeutig in diePolarformz=r e^ϕibringen. Es gilt:

• a=rcos(ϕ),

• b=rsin(ϕ),

• r=√

a²+b²und

• ϕ=

(arccos(a/r) fallsb≥0

−arccos(a/r) sonst

Beschränktheit.(zn) = (an+i bn)istbeschränkt, falls ∃C >

0 :∀n∈N:|zn|< Cbzw. fallsanundbnbeschränkt sind.

Grenzwert.Die Definition der Eigenschaftenkonvergentunddi- vergentsind inCidentisch wie inR(s. Kapitel 2).

Eigenschaften.Die Eigenschaftenkonvergent,divergentundbe- schränkthaben dieselben Beziehungen wie bei reellen Folgen (s.

Bild). Die restlichen Eigenschaften können für Folgen inCoder Rⁿnicht definiert werden.

4. Reihen

Konvergenzkriterien.Sei(an)eine komplexe (oder reelle) Zah- lenfolge.

• Nullfolgenkriterium. Es gilt:ankonvergiert nicht gegen Null

=⇒ P∞

k=1akdivergiert.

• Majoranten- und Minorantenkriterium. Sei(bn)eine reelle Zahlenfolge mit|an| ≤bnfür fast allen∈N. Dann gilt:

1. P∞

k=1bkkonvergiert =⇒ P∞

k=1akkonvergiert absolut, 2. P∞

k=1akdivergiert =⇒ P∞

k=1bkdivergiert.

• Quotientenkriterium. Falls lim

n→∞

an+1 an

existiert undan 6= 0 für fast allen∈N, dann gilt:

1. lim

n→∞

an+1 an

<1 =⇒ P∞

k=1akkonvergiert absolut, 2. lim

n→∞

an+1 an

>1 =⇒ P∞

k=1akdivergiert.

• Wurzelkriterium. Es gilt:

1. lim sup

n→∞

n

p|an|<1 =⇒ P∞

k=1akkonvergiert absolut, 2. lim sup

n→∞

n

p|an|>1 =⇒ P∞

k=1akdivergiert.

• Leibniz-Kriterium. Falls(an)reell und monoton fallend, dann gilt: lim

n→∞an= 0 =⇒ P∞

k=1(−1)^kakkonvergiert.

Folgende Reihen konvergieren und können als Majoranten be- nutzt werden:

• P∞

k=0z^k=_1−z¹ (für|z|<1)

• Teleskopreihe:P∞ k=1

1 k(k+1)= 1

• P∞ k=1

1

k s (konvergiert fürs∈Q, s≥2)

• Exponentialreihe:P∞ k=0

z k

k! =e^z(für allez∈C)

• Logarithmusreihe: ln(1 +x) = P∞ k=1

(−1)k+1

k x^k (für x ∈ (−1,1])

Folgende Reihen divergieren und können als Minoranten benutzt werden:

• P∞

k=0z^k(divergiert für|z| ≥1)

• Harmonische Reihe:P∞ k=1

1

k=∞

Potenzreihe.P(z) :=P∞

k=0ckz^k;ck∈C;z∈C. Für denKon- vergenzradiusR:= ¹

lim sup k→∞

k√

|ck| gilt:

• |z|< R =⇒ P(z)konvergiert,

• |z|> R =⇒ P(z)divergiert.

Cauchy-Produkt.

1. Für absolut konvergente, komplexe Reihen P∞ k=0ak und P∞

k=0bk gilt P∞

k=0akP∞ k=0bk

=P∞

m=0cm mitcm = Pm

k=0akbm−k. 2. Für Potenzreihen P∞

k=0akz^k und P∞

k=0bkz^k mit Konver- genzradien Ra und Rb ist P∞

k=0akz^kP∞ k=0bkz^k

= P∞

m=0cmz^m mitcm =Pm

k=0akbm−k eine Potenzreihe mit Konvergenzradiusmin{Ra, Rb}.

Exponentialfunktion.Es giltexp(x) =e^xund für∀z , w∈C, x∈ R, n∈N:

• exp(z) :=P∞ k=0

z k k!

• exp(z+w) = exp(z)·exp(w),

• exp(−z) =_exp(z)¹ ,exp(z)6= 0∧exp(z) = exp(z),

•

exp(z)−Pn k=0

z k k!

≤2·^|z|_(n+1)!ⁿ⁺¹,

• lim

n→∞(1 +^z_n)ⁿ= exp(z),

• lim

x→0 ex−1

x = 1, lim

x→−∞xⁿe^x= 0, lim

x→∞

ex x−n =∞,

• e^{i π2} =i,e^{i π}=−1,e^z+2πi=e^z,

• e^{i x}= cos(x) +isin(x),|e^{i x}|= 1.

Trigonometrische Funktionen.

• sin(x) := ^{ei x−e}_2i^{−i x} =P∞

k=0(−1)^{k x}_(2k+1)!^2k+1,

• cos(x) :=^{ei x+e}₂^{−i x} =P∞

k=0(−1)^{k x}_(2k)!^2k,

• tan(x) :=_cos(x)^sin(x),

• sin(z+w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w),

• sin(2z) = 2 sin(z)ccos(z),

• cos(z+w) = cos(z) cos(w)−sin(z) sin(w),

• cos(x) =Re(e^{i x}),sin(x) =Im(e^{i x}),

• cos(2z) = cos²(z)−sin²(z),

• sin²(z) + cos²(z) = 1.

Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen.

• arcsin(x) =P∞ k=0

2k k

x2k+1 4k(2k+1),

• arccos(x) =^π₂−arcsin(x),

• arctan(x) =P∞

k=0(−1)^{k x}_2k+1^2k+1. Hyperbelfunktionen.

• sinh(x) :=^ex−e₂^−x =P∞ k=0

x2k+1 (2n+1)!,

• cosh(x) := ^ex+e₂^−x =P∞ k=0

x2k (2n)!,

• tanh(x) := _cosh(x)^sinh(x),

• cosh²(x) =¹₂cosh(x) +¹₂,

• cosh²(z)−sinh²(z) = 1.

Werte von Sinus und Kosinus

0 ^π₄ ^π₂ ^3π₄ π ^5π₄ ^3π₂ ^7π₄ 2π sin 0 ^√1

2 1 ^√1

2 0 −^√1

2 −1 −^√1

2 0

cos 1 ^√1

2 0 −^√1

2 −1 −^√1

2 0 ^√1

2 1

sin cos

−2π −3π

2 −π −π

2 0 π

2 π 3π

2 2π

1 0

−1

5. Stetigkeit

Defintion. f : D → Rstetig inc ⇔ ∀(xn) mit lim

x→0xn = cgilt lim

x→0f(xn) =f(c)

Rechenregeln.D⊆R;f , g:D→R;f , gstetig inc⇒f+g, f· g,^f_g (g6= 0) stetig inc

Komposition.D, D⁰⊆R, f:D→Rstetig inc

• y:=f(c)∈D⁰∧gstetig iny⇒(g◦f) :D→Rstetig inc

• f , gstetig∧f(D)⊆D⁰⇒(g◦f) :D→Rstetig

ε-δ-Charakterisierung.D⊆R, f :D→R, c∈D⇒f stetig in c⇔ ∀ε >0∃δ >0 :∀x∈D:|x−c|< δ⇒ |f(x)−f(c)|< ε Zwischenwertsatz. f : [a, b] → R stetig ⇒ ∀y ∈ R mit min{f(a), f(b)} ≤y≤max{f(a), f(b)}:∃x∈[a, b] :f(x) =y Satz von Maximum und Minimum.Für f : [a, b] →Rstetig gilt:f ist beschränkt undf nimmt in[a, b]Maximum und Mi- nimum an, d.h.∃xmax, xmin∈[a, b] :f(xmax) = sup{f(x) :x∈ [a, b]} ∧f(xmin) = inf{f(x) :x∈[a, b]}.

Stetigkeit inCundRⁿ.wörtlich übertragbar.D⊆Cbzw.Rⁿ abgeschlossen:∀f stetig:D→Cbzw.f:D→R^mbeschränkt und nimmt auf D Maximum und Minimum an

Stetigkeit von Potenzreihen.f(z) =P∞

k=0ckz^k⇒f:{z:|z|<

R} →Cstetig

6. Differentiation

Definition Ableitung.Fürf : (a, b)→Rundc ∈(a, b)gilt:

f⁰(c) := lim

x→c f(x)−f(c)

x−c . Spezielle Ableitungen.

f(x) c x^c e^xln(x) sin(x) cos(x) tan(x) f⁰(x) 0c x^c−1e^{x 1}_x cos(x)−sin(x) ¹

cos(x)2

arcsin(x) arccos(x) arctan(x) arsinh(x) arcosh(x) artanh(x)

√1

1−x2 −√¹

1−x2 1 1+x2

√1 x2 +1

√1 x2−1

1 1−x2

Alternative Darstellung:tan⁰(x) = 1 + tan(x)². Ableitungsregeln.

• Summenregel:(f(x) +g(x))⁰=f⁰(x) +g⁰(x).

• Faktorregel:(c·f(x))⁰=c·f⁰(x).

• Produktregel:(f(x)·g(x))⁰=f⁰(x)·g(x) +f(x)·g⁰(x).

• Quotientenregel:_f(x)

g(x)

0

=^f0(x)·g(x)−f(x)·g0(x)

g(x)2 .

• Kettenregel:(f(g(x)))⁰=f⁰(g(x))·g⁰(x).

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Seif:A→ B eine beliebige Funktion. Dann gilt:

• f injektiv ⇐⇒ Für jedesy∈Bgibt es höchstens einx∈A mitf(x) =y.

• f surjektiv ⇐⇒ Für jedes y ∈Bgibt es mindestens ein x∈Amitf(x) =y.

• fbijektiv ⇐⇒ finjektiv und surjektiv ⇐⇒ Für jedesy∈B gibt es genau einx∈Amitf(x) =y ⇐⇒ Es existiert eine Umkehrfunktionf⁻¹vonf.

FürAIntervall undfstetig gilt:

• f injektiv ⇐⇒ f streng monoton wachsend oder streng monoton wachsend.

• f bijektiv =⇒ f⁻¹auchstetig.

Fürf differenzierbar undAoffenes Intervall gilt:

• f⁰(x)≥0für allex∈A ⇐⇒ f monoton wachsend.

• f⁰(x)>0für allex∈A =⇒ fstrengmonoton wachsend.

• f⁰(x)≤0für allex∈A ⇐⇒ f monoton fallend.

• f⁰(x)<0für allex∈A =⇒ fstreng monoton fallend.

falls f stetig ist, dann kann man oft dieSurjektivitätmit dem Zwischenwertsatz beweisen.

Ableitung von Umkehrfunktionen.Fallsf bijektiv und differen- zierbar, dann gilt:(f⁻¹)⁰(x) = ¹

f0(f−1 (x)).

7. Anwendungen der Differentialrechnung

Extrempunkte.Fürf: (a, b)→Rzweimal stetig differenzierbar undx∈(a, b)gilt:

• f⁰(x) = 0undf⁰⁰(x)>0 =⇒ xistlokales Minimum,

• xistlokales Minimum =⇒ f⁰(x) = 0undf⁰⁰(x)≥0,

• f⁰(x) = 0undf⁰⁰(x)<0 =⇒ xistlokales Maximum,

• xistlokales Maximum =⇒ f⁰(x) = 0undf⁰⁰(x)≤0.

Satz von Rolle.f: [a, b]→Rdifferenzierbar mitf(a) =f(b)

=⇒ ∃ξ∈(a, b) :f⁰(ξ) = 0.

Mittelwertsatz der Differentialrechnung.f: [a, b]→Rdifferen- zierbar =⇒ ∃ξ∈(a, b) :f⁰(ξ) =^f(b)−f_b−a^(a).

Landau-Symbole.Fürc∈R∪ {−∞,∞}gilt:

• f(x) =o(g(x))fürx→c ⇐⇒ lim

x→c f(x) g(x) = 0,

• f(x) = O(g(x))fürx → c ⇐⇒ es gibt einK > 0, so dass für jede Folge(xn)→ c und fast allen∈ Ngilt:

|f(xn)| ≤K· |g(xn)|.

Vielleicht hilfreich (aus Wikipedia): lim

x→c

f(x) g(x)

<∞ =⇒ f(x) = O(g(x))fürx→c.

Satz von l’Hospital.Seienc∈R∪{−∞,∞}undf , g: (a, b)→R stetig differenzierbar mitg⁰(x)6= 0(∀x∈(a, b)) und entweder

x→climf(x) = lim

x→cg(x) = 0oderlim

x→cf(x) = lim

x→cg(x) =∞. Falls

x→clim

f0(x)

g0(x)existiert, dann gilt:lim

x→c f(x) g(x)= lim

x→c f0(x) g0(x).

8. Integration

Wichtige Beziehungen.Fürf: [a, b]→Rgilt:

fdiff’bar =⇒ f stetig =⇒ f beschränkt =⇒ f integrierbar Eigenschaften integrierbarer Funktionen. Fürf , g: [a, b] → R integrierbar undc∈Rgilt:

1. Linearität:Rb

a c·f(x) dx=c·Rb af(x) dx, 2. Additivität:Rb

af(x) +g(x) dx=Rb

af(x) dx+Rb a g(x) dx, 3. Monotonie: f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a, b] =⇒

Rb

af(x) dx≤Rb ag(x) dx, 4. Zerlegbarkeit:c ∈(a, b) =⇒ Rb

af(x) dx=Rc af(x) dx+ Rb

cf(x) dx.

Mittelwertsatz der Integralrechnung.f: [a, b]→Rstetig =⇒

∃ξ∈[a, b] :Rb

af(x) dx=f(ξ)(b−a).

Stammfunktion F: [a, b] → R heißt Stammfunktion von f: [a, b]→R, fallsF⁰=f.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 1. F(x) =Rx

a f(t) dtist eine Stammfunktion vonf. 2. Für jede Stammfunktion F von f gilt: Rb

af(x) dx = [F(x)]^b_x=a.

Spezielle Stammfunktionen.

f(x) c x^{c 1}

x e^x ln(x) sin(x) cos(x) F(x) c x ^{x c}_c+1⁺¹ ln|x|e^xxln(x)−x−cos(x) sin(x)

Hier istF(x)nur eine mögliche Stammfunktion vonf(x)!

Integrationsregeln.

• Partielle Integration:R

f(x)·g⁰(x) dx=f(x)·g(x)−R f⁰(x)·

g(x) dx.

• Substitutionssregel.R

f(g(x))·g⁰(x) dx=R f(y) dy

y=g(x). Rezept: 1. Ersetze überallg(x)durchy. 2. SchreibeR

· · ·dx inR ···

y0dyum und kürze alle übrigenxweg.

Typische Stammfunktionen

• R

f(x)·f⁰(x) dx=R ydy

y=f(x)=1 2y²

y=f(x)=¹₂f(x)²,

• R f0(x)

f(x)dx=hR 1 ydyi

y=f(x)= [ln|y|]y=f(x)= ln|f(x)|.

• Für Stammfunktionen der Form R c

(x−b)adx gilt:

R c (x−b)adx=

(cln|x−b| fallsa= 1

c(x−b)1−a

1−a fallsa6= 1.

9. Mehr zu Integralen

Uneigentliche Integrierbarkeit.Seiena, b∈ R∪ {−∞,∞}mit a < b. Die Funktionf:I→Rheißtuneigentlich integrierbar, falls

• I= [a, b)undRb

af(x) dx:= lim

y↑b

Ry

af(x) dxexistiert,

• I= (a, b]undRb

af(x) dx:= lim

y↓a

Rb

yf(x) dxexistiert oder

• I = (a, b)und einc ∈ (a, b)existiert, so dassf in(a, c]

und [c , b) uneigentlich integrierbar ist. Dann setzt man:

Rb

af(x) dx:= lim

y↓a

Rc

yf(x) dx+ lim

y↑b

Ry

cf(x) dxexistiert, Taylorpolynom und -reihe. Für n ∈ N ist Tnf(x;c) :=

Pn k=0

f(k) (c)

k! (x−c)^k dasn-te Taylorpolynomvonf in c und T∞f(x;c)entsprechend dieTaylorreihevonfinc.

Eigenschaften von Taylorpolynomen

• f(x) =P∞

k=1ckz^k =⇒ Tnf(x; 0) =Pn k=1ckz^k.

• Tn(f·g) =Tnf·Tng.

Satz von Taylor.f(x)−Tnf(x;c) =Rn+1(x)mitRn+1(x) =

1 n!

Rx

c(x−t)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt=^f(n_(n+1)!^{+1) (ξ)}(x−c)ⁿ⁺¹für einξ∈[c , x].

Insbesondere:Rn+1(x) =O((x−c)ⁿ⁺¹)fürx→c.

10. Kurven

Kurven. Für n ∈ N und ein Intervall I ⊆ Rist jede steti- ge Abbildung γ:I → Reineparametrisierte Kurve. Das Bild {γ(t)|t∈I}heißtSpurvonγ. Fürγ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t)) nennt manγidiei-teKomponentenfunktionvonγ.

Man kannγ(t)auch als Spaltenvektor darstellen!

differenzierbare Kurven.SeiI⊆Rein Intervall undγ:I→Rⁿ eine Kurven mit stetig differenzierbaren Komponentenfunktionen γ1, . . . , γn.

• γ⁰(t) = (γ₁⁰(t), . . . , γ_n⁰(t))heißtTangentialvektoroderGe- schwindigkeitsvektor.

• kγ⁰(t)k₂ist dieGeschwindigkeitzur Zeitt.

• γ heißt reguläran der Stellet, falls γ⁰(t)nicht der Null- verktor ist. In diesem Fall nennt manTγ(t) = ¹

k^γ0(t)k₂ den Tangentialeinheitsvektorint.

• Man nenntγregulär, falls sie in jedemt∈Iregulär ist. Sonst ist siesingulär.

Es gilt:k(x1, . . . , xn)k2=q

x₁²+. . .+x_n². Oft schreibt man ein- fachk. . .kstattk. . .k₂.

Bogenlänge.DieBogenlängeeiner stückweise stetig differenzier- baren Kurveγ: [a, b]→RⁿistL(γ) =Rb

akγ⁰(t)k2dt.

Krümmung. Für eine zweimal stetig differenzierbare Kurve γ(t) = (x(t), y(t))ist κ(t) = ^{x0(t)y00(t)−y0(t)x00(t)}

k^γ0(t)k³₂ ihre Krüm- mung.

11. Differentialrechnung in R

ⁿ

Gradient und Hesse-Matrix.Seienn∈ Nund M⊆Rⁿ offen.

Für jede einmal bzw. zweimal stetig differenzierbare Funktion

f:M→Rheißt∇f(x)bzw.∇²f(x)mit∇f(x) =









∂1f(x) .. .

∂nf(x)







 ,

∇²f(x) =









∂11f(x) · · · ∂1nf(x) ..

.

.. .

∂n1f(x) · · · ∂nnf(x)









der Gradient bzw. die

Hesse-Matrixvonf in x ∈ M.Für die partiellen Ableitungen gilt:∂i jf(x) =∂i∂jf(x) =∂j∂if(x).

Mehrdimensionale Extrempunkte.Für n∈ N,M ⊆Rⁿ offen, f:M→Rzweimal stetig differenzierbar undc∈Mgilt:

• fhat einlokales Minimuminc =⇒ ∇²f(c)positiv semide- finit,

• f hat einlokales Maximuminc =⇒ ∇²f(c)negativ semi- definit,

• ∇f(c) = 0und∇²f(c)positiv definit =⇒ fhat einisolier- tes lokales Minimuminc,

• ∇f(c) = 0und∇²f(c)negativ definit =⇒ f hat einiso- liertes lokales Maximuminc,

• ∇f(c) = 0und∇²f(c)indefinit =⇒ f hat einenSattel- punktinc.

Falls∇f(c) = 0, dann heißtckritischer Punkt.

Definitheit von Matrizen.

Für eine (n×n)-Matrix AheißtχA(λ) = det(A−λIn)das charakteristische PolynomvonA. Die Nullstellen vonχAnennt manEigenwertevonA. Die MatrixA−λIn ist nichts anderes als Amit „−λ“ bei jedem Element der Hauptdiagonale. Bei- spiel: FürA=

a b

c d

gilt:χA(λ) = det

a−λ b

c d−λ

= (a−λ)(d−λ)−bc.

FürA∈R^n×ngilt:

• Apositiv semidefinit ⇐⇒ alle Eigenwerte sind≥0,

• Anegativ semidefinit ⇐⇒ alle Eigenwerte sind≤0,

• Apositiv definit ⇐⇒ alle Eigenwerte sind>0,

• Anegativ definit ⇐⇒ alle Eigenwerte sind<0,

• Aindefinit ⇐⇒ ∃negative und positive Eigenwerte.

12. Integralrechnung in R

ⁿ

Zweidimensionale Integrale. Eine Menge der Form N = (x , y)∈R²

a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x) heißt Normalbe- reich.

h(x) g(x) y

x

a b

N

FürNgilt:RR

Nf(x , y)d(x , y) :=Rb a

Rh(x)

g(x)f(x , y) dy dx.

Man kannxundy vertauschen, d.h. die Skizze an der Haupt- diagonale spiegeln. Das Ergebnis des Integrals ist das Volumen eines Körpers mit GrundflächeNund Höhef(x , y).

Satz von Fubini. Für einen rechteckigen Normalbe- reich N = [a1, b1] ×[a2, b2] gilt: RR

Nf(x , y)d(x , y) :=

Rb1 a1

Rb2

a2 f(x , y) dy dx=Rb2

a2

Rb1

a1 f(x , y) dx dy.

Die Reihenfolge der Integrale spielt also keine Rolle. Das lässt sich aufN= [a1, b1]×. . .×[an, bn]verallgemeinern.

13. Differentialgleichungen

Dieallgemeine Lösung(AL) hängt vonc∈R(Methoden 1-3) oderc1, c2 ∈R(Methoden 4-6) ab und ist somit mehrdeutig.

Diespezielle Lösung(SL) ist eindeutig benötigty(t0) =y0(Me- thoden 1-3) oder (y(t0) =y0undy⁰(t1) =y1(Methoden 4-6).

Für dieSLmuss man bei Methoden 4-6t0 undt1 inALund Ableitung derALeinsetzen undc1undc2bestimmen.

Methode 1 („Trennung der Variablen“).

y⁰(t) =f(t)·g(y(t)).

JedeALerfülltG(y(t)) =F(t) +c fürc ∈R, wobeiF(t) = Rf(t) dtundG(t) =R 1

g(t)dtbeliebige Stammfunktionen von f(t)und _g(t)¹ sind. DieSLerfülltRy(t)

y0 1 g(u)du=Rt

t0f(s) ds.

Methode 2. y⁰(t) +a(t)·y(t) = 0.

1. Bestimme eine beliebige StammfunktionA(t) =Ra(t) dt vona(t).

2. AL:y(t) =c e^−A(t)fürc∈R.SL:y(t) =y0e^{A(t0 )−A(t)}. Methode 3.

y⁰(t) +a(t)·y(t) =f(t).

1. Bestimme eine beliebige StammfunktionA(t) =R a(t) dt vona(t).

2. AL:y(t) =e^−A(t)·(c+B(t)), wobeiB(t) =R

e^A(t)·f(t) dt eine beliebige Stammfunktion vone^A(t)·f(t)ist.SL:y(t) = e^{A(t0 )−A(t)}·(y0+Rt

t0e^{A(s)−A(t0 )}·f(s) ds).

Methode 4.

y⁰⁰(t) +ay⁰(t) +by(t) = 0.

Fallsa²>4b:

1. Bestimme λ1 = −^a₂ + q a

2

2

−b und λ2 = −^a₂ − q a

2

2

−b.

2. AL:y(t) =c1e^λ1t+c2e^λ2t. Fallsa²= 4b:

1. Bestimmeλ0=−^a₂. 2. AL:y(t) = (c1+c2t)e^λ0t. Fallsa²<4b:

1. Bestimmeα=−^a₂ undβ= q

b− ^a₂2

. 2. AL:y(t) = (c1cos(βt) +c2sin(βt))e^αt. Methode 5.

y⁰⁰(t) +ay⁰(t) +by(t) =antⁿ+. . .+a1t+a0. 1. Bestimme dieALyh(t)von

y_h⁰⁰(t) +ay_h⁰(t) +byh(t) = 0.

2. Stelle ein Polynomyp(t) =bntⁿ+. . .+b1t+b0mit Para- meternb0, b1, . . . , bnauf.

3. Setzeyp(t),y_p⁰(t)undy_p⁰⁰(t)iny_p⁰⁰(t)+ay_p⁰(t)+byp(t) =p(t) ein und bestimmeb0, b1, . . . , bn.

4. AL:y(t) =yh(t) +yp(t).

Methode 6.

y⁰⁰(t) +ay⁰(t) +by(t) =e^αt(a1cos(βt) +a2sin(βt)).

1. Bestimme dieALyh(t)vony_h⁰⁰(t) +ay_h⁰(t) +byh(t) = 0.

2. Stelleyp(t) =e^αt(b1cos(βt) +b2sin(βt))in Abhängigkeit vonb1, b2auf.

3. Setzeyp(t),y_p⁰(t)undy_p⁰⁰(t)iny_p⁰⁰(t) +ay_p⁰(t) +byp(t) = e^αt(a1cos(βt) +a2sin(βt))ein und bestimmeb1undb2. 4. AL:y(t) =yh(t) +yp(t).

Lineare Systeme von Differentialgleichungen.y⁰(t) =Ay(t)für eine MatrixA, d.h.

y₁⁰(t) = a11y1(t) +. . .+a1nyn(t) ..

.

.. .

y_n⁰(t) = a1ny1(t) +. . .+annyn(t) 1. Berechne die Eigenwerteλ1, . . . , λkvonA.

2. Berechne die zugehörigen Eigenvektorenv1, . . . , vk. Für alle i= 1, . . . , ksoll gelten:(A−λiIn)vi= 0.

3. AL:y(t) =c1e^λ1tv1+. . .+ckeλk tvkfürc1, . . . , ck∈R. Für dieSLAnfangsbedingungen in dieALeinsetzen.

c 2017 Carlos Camino & Martin Stroschein.