2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen

2 Folgen und Reihen

2.1 Folgen

Betrachten Sie folgende Liste von Zahlen:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 . . .

Erkennen Sie ein Gesetz, mit dem man die Liste sinnvoll fortsetzen kann?

Offenbar können Sie mit diesem Gesetz zu jeder vorgegebenen Position das zugehörige Element der Liste ausrechnen. Jeder natürlichen Zahl (“Position“) wird also eine reelle Zahl (“Listenelement“) zugeordnet – es entsteht eine Abbildung a : N → R .

Solche Abbildungen heißen “Zahlenfolgen“. Sie spielen in vielen

Anwendungen eine große Rolle und liefern uns den Schlüssel zum

Verständnis des Grenzwerts - des wichtigsten Begriffs der Analysis.

Definition 2.1 (Zahlenfolge).

Eine Abbildung a, die jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl a _n zuordnet, heißt (unendliche reelle) Zahlenfolge.

Statt a : N→R schreibt man (a n ) n∈

oder kurz (a n ).

a n = a(n) heißt n − tes Folgenglied dieser Zahlenfolge.

Anmerkung:

Wie schon beim Induktionsprinzip kann man als Indexmenge auch jede andere Menge der Form { n ∈ Z : n ≥ n 0 } mit festem n 0 ∈ Z benutzen.

Insbesondere ist N 0 zulässig.

Notation für diesen Fall: (a _n ) n≥n

.

90

Die Beschreibung von Folgen erfolgt i. d. R. durch Angabe von Bildungsgesetzen.

Explizites Bildungsgesetz

Der Wert a _n wird mittels einer Gleichung in Abhängigkeit von n angeben (Funktionsvorschrift).

Beispiel: Die Bildungsvorschrift a n = ( − 1) ⁿ _n ¹

erzeugt die Folge

− 1, 1 4 , − 1

9 , 1 16 , − 1

25 , 1 36 , − 1

49 , 1 64 , . . .

Das 42-te Glied kann man direkt berechnen: a 42 = ( − 1) ^{42 1} ₄₂

= ₁₇₆₄ ¹ . Man gebe die ersten 7 Glieder der Folgen ( ₂ ¹

) und ( √

n) (ggf.

näherungsweise) an. Wie lautet das 1000-te Folgenglied?

Rekursionsvorschrift

Der Wert a n+1 wird in Abhängigkeit von a n und n ausgedrückt.

Zusätzlich wird a ₁ angegeben (vgl. Induktionsprinizip).

Beispiel: Die Rekursionsvorschrift a _n+1 = a _n + n mit a ₁ = 1 erzeugt die Folge

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, . . .

Glieder mit großem Index so zu berechnen (z. B. a ₄₂ = 903) ist mühsam.

(Später werden wir sehen, dass es in diesem Beispiel auch explizit geht).

Man gebe die ersten 7 Glieder der durch a n+1 = ^a ₂

und a 1 = 1 gegebenen Folge an. Können Sie eine explizite Bildungsvorschrift finden?

92

Gelegentlich greift man in Rekursionsformeln auch auf mehrere vorhergehende Glieder zurück. Drückt man dabei a n+m über a n , . . . , a n+m−1 aus, muss man m Startwerte angeben.

Beispiel: Die Rekursionsvorschrift für die Fibonacci-Zahlen a _n+2 = a _n+1 + a _n , a ₁ = 1, a 2 = 1 erzeugt die Folge

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

Diese Folge wurde von Leonardo da Pisa (Fibonacci), ca. 1180-1241, bei der mathematischen Modellierung einer Kaninchenpopulation entdeckt.

Fibonacci gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters.

Exkurs: Fibonacci-Zahlen in der Natur

Fibonacci-Zahlen finden sich häufig an Pflanzenteilen wieder. Grund ist die damit erreichbare hohe Lichtausbeute:

Die Anzahl von Blütenblättern ist oft eine Fibonacci-Zahl (Ringel- blume: 13; Aster: 21; Sonnenblume, Gänseblümchen: 21/34/55/89) Die Anzahl gewisser Spiralen in Blütenkörbchen (Sonnenblumen- kerne) oder bei Zapfen (Kiefer) ist häufig eine Fibonacci-Zahl

Bilder alle aus Wikimedia Commons, links: André Karwath aka Aka, Mitte: KENPEI, rechts: Dr. Helmut Haß, Koblenz / Wolfgang Beyer

94

Anmerkung:

Die Umwandlung von expliziter in rekursive Vorschrift und zurück kann schwierig sein. Es gibt Folgen, bei denen nur eine Form oder sogar gar kein Bildungsgesetz bekannt ist.

Beispiel: Folge der Primzahlen

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .

Die Bestimmung z. B. des 42-ten Folgenglieds (181) ist hier ohne eine

betreffende Liste sehr aufwändig.

Visualisierung von Folgen

Darstellung des Graphen in der Ebene:

Der Graph einer Zahlenfolge (a _n ) besteht aus den diskret liegenden Punkten (n, a n ), n ∈ N .

Mitunter ist es auch zweckmäßig, lediglich die Folgenglieder auf dem Zahlenstrahl darzustellen:

− 2 0 2 4 6 b ₁ b ₂ b ₄ b ₆ b ₅ b ₃

96

Beschränktheit und Monotonie

Definition 2.2.

Eine Folge (a n ) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl C ≥ 0 gibt, so dass

| a _n | ≤ C für alle n ∈ N . Eine Folge (a _n ) heißt

(streng) monoton wachsend, wenn a _n ≤ a _n+1 (bzw. a _n < a _n+1 ) für alle n ∈ N,

(streng) monoton fallend, wenn a _n ≥ a _n+1 (bzw. a _n > a _n+1 ) für alle n ∈ N,

(streng) monoton, falls sie (streng) monoton wachsend oder fallend

ist.

Beispiele

( _n ¹ ) ist streng monoton fallend und beschränkt (C = 1).

( ⁽⁻¹⁾ _n

) ist nicht monoton, aber beschränkt (C = 1).

( − ⁴ ₅ + ₁₀ ¹ n) ist streng monoton wachsend und unbeschränkt.

Bilder zu den drei Folgen:

98

Hinweis zum Rechnen

Oft ist es sinnvoll, statt a _n ≤ a _n+1 für monotones Wachstum eine der äquivalenten Ungleichungen

a _n+1 − a _n ≥ 0 oder a n+1

a _n ≥ 1

zu verwenden (letztere nur, wenn alle a n positiv sind!). Für monoton fallende Folgen analog mit umgekehrtem Relationszeichen.

Untersuchen Sie die Folge ₅

²

auf Monotonie und Beschränktheit.

Führen Sie die Monotonieuntersuchung mit beiden o. a. Ungleichungen

durch.

Arithmetische Folgen

Definition 2.3.

Eine Folge (a n ) heißt arithmetische Folge, falls die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert ergibt, d. h.

a _n+1 − a _n = d für eine Konstante d ∈ R .

Satz 2.4.

Sei (a n ) eine arithmetische Folge mit a n+1 − a n = d (n ∈ N ). Dann lautet die explizite Bildungsvorschrift:

a n = a 1 + (n − 1)d. (1)

Eine arithmetische Folge ist also durch Angabe des ersten Folgenglieds a ₁ und der Differenz d eindeutig bestimmt.

100

Beispiel

Mit a ₁ = 3 und d = − 2 erhält man die Folge 3, 1, − 1, − 3, − 5, − 7, − 9, . . . Die zugehörige Bildungsvorschrift lautet

a n = 3 + (n − 1) · ( − 2) = 5 − 2n.

Geben Sie eine explizite Bildungsvorschrift zur arithmetischen Folge 2, 7, 12, 17, 22, 27, . . .

an. Berechnen Sie damit das 2013-te Folgenglied.

Graphische Darstellung

Nach Satz 2.4 kann man eine arithmetische Folge als Einschränkung der affin linearen Funktion

f : R → R, f (x) = a 1 + d(x − 1) = a 1 − d + dx auf die natürlichen Zahlen auffassen. Die Punkte des Graphen liegen somit auf einer Geraden mit Anstieg d:

a

= −

, d =

a

=

, d = 0 a

= 1, d = −

102

Geometrische Folgen

Definition 2.5.

Eine Folge (a _n ) heißt geometrische Folge, falls der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert ergibt, d. h.

a n+1

a _n = q für eine Konstante q ∈ R , q 6 = 0.

Satz 2.6.

Sei (a n ) eine geometrische Folge mit a n+1 /a n = q (n ∈ N). Dann lautet die explizite Bildungsvorschrift:

a n = a 1 q ⁿ⁻¹ . (2)

Eine geometrische Folge ist also durch Angabe des ersten Folgenglieds

a 1 und des Quotienten q eindeutig bestimmt.

Beispiel

Mit a 1 = 1 und q = ¹ ₂ erhält man die Folge 1, 1

2 , 1 4 , 1

8 , 1 16 , 1

32 , 1 64 , . . . Die zugehörige Bildungsvorschrift lautet

a n = 1 · 1

2 n−1

= 1 2 ⁿ⁻¹ .

Wie lautet die explizite Bildungsvorschrift zur geometrischen Folge 2

3 , 4 3 , 8

3 , 16 3 , 32

3 , 64 3 , . . .?

Handelt es sich bei a _n = ^4·3 ₇

(n ∈ N ) um eine geometrische Folge?

104

Graphische Darstellung

Nach Satz 2.6 kann man für q > 0 eine geometrische Folge als Einschränkung der Funktion

f : R → R, f (x) = a 1 q ^x−1 = a 1

q q ^x

auf die natürlichen Zahlen auffassen. Die Punkte des Graphen liegen für q > 0 somit auf dem Graphen einer Exponentialfunktion mit Basis q.

a

= 1, q =

(·) a

=

, q = 1.25 (·) a

= 1, q = −

a

= −1, q =

(+) a

= −

, q = 1.2 (+)

Folgen und Wachstumsprozesse

Arithmetische Folgen werden häufig verwendet, wenn es um einen konstanten Zuwachs (lineares Wachstum) geht.

An einer für Mitteleuropa typischen Stelle beträgt die Temperatur in 25 m Tiefe etwa 10

C. Schätzen Sie die Temperatur in 10 km Tiefe, indem Sie von einem Zuwachs von 3 K pro 100 m ausgehen.

Geometrische Folgen benutzt man, wenn das Wachstum proportional zur Grundmenge erfolgt (exponentielles Wachstum).

In einer Nährlösung befinden sich 1000 Einzeller, bei denen es

durchschnittlich alle 20 min zur Teilung kommt. Schätzen Sie die Zahl der Einzeller nach 24 h bei ungebremstem Wachstum ohne Tod.

Ein weiteres Beispiel ist die Zinseszinsformel K _n = K ₀ (1 + p) ⁿ (K 0 Anfangskapital, p Zinssatz, K n Kapital nach n Jahren).

Aufgaben auf diesem Frame frei nach Bigalke/Köhler: Mathematik, Band 1, Analysis.

106

2.2 Grenzwerte und Konvergenz

In einigen Beispielen konnten wir feststellen, dass sich die Folgenglieder für große n immer weiter einer festen Zahl nähern. Mathematisch wird dies mit den Begriffen “Konvergenz“ und “Grenzwert“ erfasst.

Konvergenz ist ein grundlegendes Prinzip der Analysis. Der Grenzwert- begriff in seiner modernen Form wurde erstmals durch L. A. Cauchy formuliert.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857), französischer Mathematiker,

entwickelte u. a. die durch Leibniz und Newton

aufgestellten Grundlagen der Analysis weiter.

Definition 2.7 (Grenzwert).

Eine Zahl a heißt Grenzwert der Folge (a _n ), wenn zu jedem ε > 0 ein Index n ₀ ∈ N existiert, so dass

| a _n − a | < ε für alle n ≥ n ₀ .

Besitzt die Folge (a n ) einen Grenzwert, so heißt sie konvergent, anderenfalls divergent.

Schreibweisen:

a = lim n→∞ a n

a n → a für n → ∞ , oder kürzer: a n → a.

Zum besseren Verständnis: Denken Sie vor allem an beliebig kleine ε > 0.

108

Graphische und sprachliche Illustration des Begriffs

a a+ε a−ε

n0=n0(ε)

Für hinreichend großes n liegen die Folgenglieder a _n beliebig nahe am Grenzwert a.

(Bild unten: Wikimedia Commons; Matthias Vogelgesang (Youthenergy))

Da sämtliche Folgenglieder mit großem n nicht beliebig nahe an zwei verschiedenen Zahlen liegen können, gilt

Satz 2.8.

Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt.

Beispiele für Grenzwerte

a _n = c → c: Sei ε > 0 gegeben. Dann | a _n − c | = 0 < ε für alle n.

a _n = _n ¹ → 0: Sei ε > 0 gegeben. Wähle ein n ₀ ∈ N mit n ₀ > 1/ε, dann gilt:

| a _n − 0 | = | a _n | = 1 n < 1

1 ε

= ε für n ≥ n ₀ .

Gegen welchen Grenzwert a könnte die Folge a _n = ⁿ

_n ⁺¹

konvergieren?

Beweisen Sie Ihre Vermutung mit Hilfe der Grenzwertdefinition.

Wie groß ist n 0 mindestens zu wählen, damit | a n − a | < 10

für alle n ≥ n 0 gilt?

110

Definition 2.9 (Nullfolge).

Eine Folge (a n ) heißt Nullfolge, wenn a n → 0 für n → ∞ .

Nullfolgen können für eine weitere Charakterisierung von Grenzwerten benutzt werden:

Satz 2.10.

Eine Folge (a n ) n∈

ist genau dann konvergent, wenn (a n − a) n∈

eine Nullfolge ist.

Dabei vereinbaren wir, dass arithmetische Operationen auf Folgen immer gliedweise zu verstehen sind.

Beispiel: a n = ⁿ⁺¹ _n → 1, denn a n − 1 = ⁿ⁺¹ _n − 1 = _n ¹ → 0.

Eng im Zusammenhang mit konvergenten Folgen steht folgender Begriff:

Definition 2.11 (Cauchy-Folge).

Eine Folge (a _n ) heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0 ein n ₀ ∈ N existiert, so dass

| a n − a m | < ε für alle n, m ≥ n 0 . (3) Bei einer Cauchy-Folge liegen also die Glieder für hinreichend große Indizes beliebig eng beisammen.

Der Bezug zur Konvergenz von reellen Zahlenfolgen lautet:

Satz 2.12 (Cauchysches Konvergenzkriterium).

Eine reelle Zahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

112

Die Konvergenz von Cauchy-Folgen in den reellen Zahlen resultiert aus deren Vollständigkeit. Die umgekehrte Aussage benötigt jedoch nur die Definition des Grenzwerts:

Zeigen Sie, dass jede konvergente Zahlenfolge (a n ) die Cauchy-Eigenschaft (3) besitzt.

Der Nutzen von Satz 2.12 liegt nicht in der konkreten Berechnung von Grenzwerten, sondern eher in theoretischen Betrachtungen und

Entscheidungen über das Konvergenzverhalten einer Folge an sich.

Begründen Sie mit Satz 2.12, dass eine arithmetische Folge mit d 6 = 0

nicht konvergent sein kann.

Konvergenz vs. Monotonie und Beschränktheit

Satz 2.13.

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent.

Finden Sie eine Folge die konvergent, aber nicht monoton ist.

Begründen Sie mit Satz 2.13, dass die Folge (q ⁿ ) n∈

für q > 1 divergiert. Schreiben Sie dazu q = 1 + h (h > 0), und wenden Sie die Bernoulli-Ungleichung (Bsp. 1.13) an.

114

Rechnen mit konvergenten Folgen

Wir beginnen mit einigen Vergleichskriterien für Grenzwerte.

Satz 2.14.

Gilt a _n → a, b _n → b, und ist fast immer a _n ≤ b _n (d. h. durchweg ab einem bestimmten Index), so gilt auch a ≤ b.

Warnung

Aus a n < b n folgt dagegen nicht die strenge Beziehung a < b.

Machen Sie sich dies am Beispiel a n = 1 − _n ¹ und b n = 1 + _n ¹ klar.

Entwerfen Sie eine Beweisskizze zu Satz 2.14. Verwenden Sie eine

indirekte Beweisführung.

Folgerung 2.15 (Sandwichsatz, Prinzip der zwei Milizionäre).

Gilt a _n → a und b _n → a, und gilt ferner fast immer a _n ≤ c _n ≤ b _n , so gilt auch c n → a.

Folgerung 2.16.

Ist (b _n ) Nullfolge und gilt fast immer | a _n | ≤ | b _n | , so ist auch (a _n ) eine Nullfolge.

bn cn an a

|bn|

|an|

116

Für Nullfolgen gilt desweiteren:

Satz 2.17.

Ist (a n ) Nullfolge und (b n ) beschränkt, so ist (a n b n ) wieder eine Nullfolge.

Unter Rückführung auf die Nullfolge ( ¹ _n ) bestimme man die Grenzwerte von

a n = 1 n + √

n und b n = 1

n + √

n sin(3n ² + π).

(Hinweis: Man verwende Folgerung 2.16 und Satz 2.17)

Bei der Berechnung von Grenzwerten hilft folgender Satz:

Satz 2.18 (Rechenregeln für Grenzwerte).

Seien (a n ) und (b n ) Zahlenfolgen mit a _n → a und b _n → b. Dann gilt (1) a _n + b _n → a + b,

(2) a _n − b _n → a − b, (3) a n b n → ab,

(4) λa n → λa für jede Konstante λ ∈ R.

Ist weiterhin b 6 = 0, so gibt es ein n ₀ ∈ N , so dass b _n 6 = 0 (n ≥ n ₀ ).

Die Folge (b n ) n≥n

konvergiert mit (5) ^a _b

n

→ ^a _b .

Beispiel: Aus ¹ _n → 0 folgt z. B. 2 + _n ⁵ − _n ³

→ 2 + 5 · 0 − 3 · 0 ³ = 2.

Man beweise Aussage (1) mit Hilfe der Grenzwertdefinition.

118

Bestimmte Divergenz

Definition 2.19.

Eine Folge (a n ) heißt bestimmt divergent gegen + ∞ (Schreibweise a _n → ∞ oder lim n→∞ a _n = + ∞ ), wenn zu jeder Zahl C ∈ R ein n ₀ ∈ N existiert, so dass

a _n ≥ C für n ≥ n ₀ .

Entsprechend heißt (a _n ) bestimmt divergent gegen −∞ (Schreibweise a _n → − ∞ oder lim n→∞ a _n = −∞ ), wenn zu jeder Zahl C ∈ R ein n 0 ∈ N existiert, so dass

a _n ≤ C für n ≥ n ₀ .

Beispiele: Es gilt n + 4 → + ∞ und − n ² + 3n → − ∞ für n → ∞ .

Einige Rechenregeln aus Satz 2.18 lassen sich teilweise auf bestimmt divergente Folgen übertragen. Dazu definiert man:

c + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ für c ∈ R, c − ∞ = −∞ − ∞ = −∞ für c ∈ R ,

c · ∞ = ∞ · ∞ = ( −∞ ) · ( −∞ ) = ∞ für c > 0, c · ∞ = ( −∞ ) · ∞ = ∞ · ( −∞ ) = −∞ für c < 0, c · ( −∞ ) = −∞ für c > 0,

c · ( −∞ ) = ∞ für c < 0,

c

±∞

= 0 für c ∈ R.

Achtung: Ausdrücke wie ∞ − ∞ , −∞ + ∞ ,

, 0 · ( ±∞ ),

₀ sind unbestimmt und können nicht sinnvoll definiert werden.

Man finde Beispiele für Folgen vom Typ “0 · ∞ “ mit Grenzwert 0, 1, − 42, bestimmter Divergenz in beide Richtungen sowie nicht bestimmter Divergenz.

120

Wichtige Beispiele

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen n + 3

n ² + 4n − 1

,

n ² + 3 5n ² − 4n + 1

und

4n ³ + 1

− 8n + 1

.

Es ist dabei zweckmäßig, die höchste in Zähler und Nenner vorkommende Potenz von n auszuklammern und dann die Grenzwertsätze anzuwenden.

Ganz analog zeigt man, dass für α _k , β _l 6 = 0 gilt:

k

P

j=0

α j n ^j

l

P

j=0

β _j n ^j

= α 0 + α 1 n + . . . + α k n ^k β 0 + β 1 n + . . . + β _l n ^l →



 

 

 

 

0, falls k < l;

α

β

, falls k = l;

∞ , falls k > l, ^α _β

l

> 0;

−∞ , falls k > l, ^α _β

l

< 0.

Geometrische Folge:

q ⁿ →







0, für | q | < 1;

1, für q = 1;

+ ∞ , für q > 1.

Für q ≤ − 1 ist die Folge (q ⁿ ) divergent, aber nicht bestimmt divergent (alternierendes Vorzeichen).

Man führe den Beweis für 0 < q < 1 mit Hilfe der Bernoulli- Ungleichung (vgl. Bsp. 1.13) aus.

Für | q | < 1 gilt im übrigen sogar n ^k q ⁿ → 0 für alle k ∈ N. Das

polynomielle Wachstum von n ^k ist also schwächer als das exponentielle Abklingen von q ⁿ .

122

Weitere Beispiele:

n ^r →

+ ∞ , falls r > 0;

0, falls r < 0.

√

c → 1 für jede Zahl c > 0,

√

n → 1,

(1 + _n ¹ ) ⁿ → e = 2.71828 . . .

(1 + _n ^x ) ⁿ → e ^x .

2.3 Unendliche Reihen

Addieren wir von einer gegebenen Zahlenfolge (a _k ) die jeweils ersten Glieder, so entstehen “Partialsummen“:

s ₁ = a ₁ , s 2 = a 1 + a 2 , s 3 = a 1 + a 2 + a 3 ,

.. .

s n = a 1 + a 2 + . . . + a n =

n

X

k=1

a k , .. .

Diese Partialsummen bilden eine neue Folge (s _n ) und führen uns zum Begriff der (unendlichen) Reihe.

124

Definition 2.20 (Reihe).

Sei (a k ) k∈

eine Zahlenfolge. Dann heißt s _n := P n

k=1 a _k die n-te Partialsumme von (a k ).

Die Folge (s n ) n∈

wird Reihe mit den Gliedern a k genannt. Man verwendet für sie die Schreibweise P

k=1 a _k . Eine Reihe P

k=1 a k heißt konvergent, wenn die zugehörige Partialsummenfolge konvergiert, andernfalls divergent.

Gilt s n → s für n → ∞ , so schreibt man

∞

X

k=1

a _k = s

und bezeichnet s auch als Wert oder Summe der Reihe P

k=1 a k .

Anmerkung: Wie bei Folgen ist man bei den Indizes auch hier nicht auf

den Startwert 1 festgelegt.

Beispiel:

Die Reihe P

k=1

1

2

konvergiert gegen 1, wie folgende geometrische Betrachtung deutlich macht:

12

14 18

161 321

Man schreibt also P

k=1 1

2

= 1.

Es handelt sich hierbei um einen Spezialfall der “geometrischen Reihe“, die uns später noch beschäftigen wird.

126

Beispiel:

Die Partialsummen zur Folge (a k ) mit a k = _k(k+1) ¹ sind gegeben durch s _n = a ₁ + a ₂ + . . . + a _n = 1

1 · 2 + 1

2 · 3 + . . . + 1

n(n + 1) = 1 − 1 n + 1 . Damit gilt s n → 1 für n → ∞ ; wir schreiben also

∞

X

k=1

1

k(k + 1) = 1.

Beweisen Sie die Formel für die Partialsummen mittels vollständiger

Induktion (Hausaufgabe).

Beispiel Die zur Reihe

∞

X

k=0

( − 1) ^k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . (4) gehörige Partialsummenfolge ist (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .), d. h. die Reihe ist divergent.

Dieses Beispiel zeigt eindrucksvoll, dass Reihen nicht einfach als

“unendliche Summen“ aufgefasst werden können:

Paarweises Zusammenfassen benachbarter Glieder (1 − 1 = 0) in (4) ist z. B. unzulässig und könnte zu völlig falschen Schlüssen führen!

128

Beispiel

Seit Ihrer frühen Schulzeit verwenden Sie für reelle Zahlen auch die Dezimaldarstellung. Betrachtet man zum Beispiel die Zahl π, so gilt:

π = 3.141529265 . . . = 3 + 1 10 + 4

10 ² + 1 10 ³ + 5

10 ⁴ + . . . Allgemein lässt sich die Zifferndarstellung einer Dezimalzahl mit einer Vorkommastelle und Ziffernfolge (z _k ) (z _k ∈ { 0, 1, . . . , 9 } ) als folgende Reihe auffassen:

z ₁ , z ₂ z ₃ z ₄ z ₅ . . . = z ₁ 10 ⁰ + z ₂

10 ¹ + z ₃ 10 ² + z ₁

10 ³ + . . . =

∞

X

k=1

z _k 10 ^k−1 . Die Basis 10 ist übrigens willkürlich gewählt (Anzahl der Finger).

Computer verwenden intern zumeist die Basis 2 (Dualzahlen), in

Babylon verwendete man 60; bei den Indianern Südamerikas waren

4, 8 und 16 als Basis gebräuchlich (Rechnen ohne Daumen).

Partialsummen arithmetischer Folgen

Erinnerung: Eine arithmetische Folge ist gekennzeichnet durch immer gleiche Differenz ihrer Folgenglieder.

Satz 2.21.

Sei (a k ) eine arithmetische Folge mit a k+1 − a k = d (also mit a _k = a ₁ + (k − 1)d, vgl. Satz 2.4). Dann gilt

s _n =

n

X

k=1

a _k = n

2 (a ₁ + a _n ) = n

a ₁ + 1

2 (n − 1)d

. (5)

Die zugehörige Reihe P n

k=1 a _k ist daher immer divergent – mit Ausnahme des Falles a k = 0 (k ∈ N) (d. h. a 1 = 0 und d = 0).

Bei arithmetischen Folgen sind also nur die Partialsummen, aber nicht deren Grenzwerte interessant.

130

Exkurs: Gaußsche Summenformel

Einen Spezialfall von (5) bildet die Formel (“Kleiner Gauß“):

n

X

k=1

k = 1

2 n(n + 1).

Sie war bereits den Babyloniern bekannt und wurde vom 9-jährigen C. F. Gauß bei der Schulaufgabe, die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, wiederentdeckt.

Schema:

1 2 3 4 . . . 99 100

100 99 98 97 . . . 2 1

101 101 101 101 . . . 101 101

⇒

100

X

k=1

k = 1

2 · 100 · 101 = 5050.

Carl Friedrich Gauß (deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker, 1777-1855).

U. a. ermöglichte die von ihm entwickelte Ausgleichsrechnung

die Wiederentdeckung des Kleinplaneten Ceres (1801).

Geometrische Reihe

Die Reihe zur geometrischen Folge ist eine der wichtigsten in der Mathematik überhaupt. Auch hier beginnen wir wieder mit einer Aussage über die Darstellung der Partialsummen:

Satz 2.22.

Sei (a k ) eine geometrische Folge mit a k+1 /a k = q (also mit a _k = a ₁ q ^k−1 , vgl. Satz 2.6). Dann gilt

s n =

n

X

k=1

a k = (

a ₁ ^q _q−1

, falls q 6 = 1;

na ₁ , falls q = 1. (6)

Man beweise Satz 2.22 mittels vollständiger Induktion über n.

132

Mittels Grenzübergang n → ∞ erhält man aus Formel (6):

Satz 2.23 (Geometrische Reihe).

Eine Reihe der Form P

k=1 a ₁ q ^k−1 heißt geometrische Reihe. Die geometrische Reihe konvergiert für | q | < 1, in diesem Falle gilt

∞

X

k=1

a 1 q ^k−1 = a 1

1

1 − q . (7)

Für | q | ≥ 1 ist die Reihe divergent.

Man berechne die Summen der Reihen P

k=1 3

7

und P

k=1 1

2

.

Bemerkung: In Tafelwerken finden Sie auch häufig die Formeln

∞

X

k=1

a

q

= a

q 1 − q und

∞

X

l=0

a

q

= a

1 1 − q .

Diese erhält man aus (7) durch Multiplikation beider Seiten mit q bzw. durch

Indexverschiebung l = k − 1.

Exkurs: Achilles und die Schildkröte

. . . ist ein bekannter Trugschluss (Paradoxon) des griechischen Philosophen Zenon von Elea (ca. 490-430 v. Chr.).

Es wird behauptet, dass der Läufer Achilles niemals eine Schildkröte einholen kann, wenn sie einen Vorsprung hat. Folgende Argumentation:

Wenn Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, hat diese einen neuen (kleineren) Vorsprung gewonnen,

Wenn Achilles diesen neuen Vorsprung aufgeholt hat, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter vorn usw.

Was Zenon damit zeigen wollte, ist aufgrund der Quellenlage unklar.

Fakt ist, dass die Vorstellungen von Grenzwert und Unendlichkeit in der Antike noch nicht gut ausgeprägt waren.

Lösen Sie das Paradoxon mit Ihrem neu erworbenen Wissen über geometrische Reihen auf.

134

Harmonische Reihe Eine Reihe der Form P

k=1 1

k

mit α > 0 wird harmonische Reihe genannt. Es gilt:

P

k=1 1

k

ist konvergent für alle α > 1.

P

k=1 1

k

= + ∞ , d. h. die Reihe divergiert, für alle α ≤ 1.

Insbesondere sind also die Reihen P

k=1 1

k und P

k=1

1

k divergent, während P

k=1 1

k

konvergiert.

Die Divergenz von P

k=1 1

k erfolgt dabei extrem langsam; hier einige Zahlenwerte zur Illustration:

n 1 2 5 10 100 10 ⁴ 10 ⁸

s n 1 1.5 2.2833 2.9290 5.1874 9.7876 18.9979

Exkurs zur Divergenz von P

1 k

Die Divergenz von P

k=1

1

k zeigt man durch Abschätzung der Partialsummen für n = 2 ^m :

s

= 1+ 1 2 +

1 3 + 1

4

+ 1

5 + 1 6 + 1

7 + 1 8

+. . .+

1

2

+ 1 +. . .+ 1 2

≥ 1+ 1 2 +

1 4 + 1

4

| {z }

2mal

+ 1

8 + 1 8 + 1

8 + 1 8

| {z }

4mal

+. . .+

1

2

+. . .+ 1 2

| {z }

2^m−1mal

= 1 + 1

2 m → ∞ für m → ∞.

Die Partialsummenfolge enthält also eine divergente Teilfolge und ist damit selbst divergent.

Dieser Beweisansatz findet sich bereits in mittelalterlicher Literatur (Nicole Oresme, frz. Bischof und Naturwissenschaftler, um 1350).

136

Rechnen mit konvergenten Reihen

Wendet man die Grenzwertsätze (Satz 2.18) auf Partialsummenfolgen an, erhält man:

Satz 2.24.

Sind P

k=1 a _k und P

k=1 b _k beide konvergent, so gilt:

∞

X

k=1

(a _k + b _k ) =

∞

X

k=1

a _k +

∞

X

k=1

b _k

∞

X

k=1

(a _k − b _k ) =

∞

X

k=1

a _k −

∞

X

k=1

b _k

∞

X

k=1

(λa k ) = λ

∞

X

k=1

a k für λ ∈ R

Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe P

k=1

1 5

+ ₃ ⁴

Machen Sie sich anhand der Partialsummen klar, dass im Allgemeinen P

k=1 (a _k · b _k ) 6 = ( P

k=1 a _k ) ( P

k=1 b _k ) gilt.

Absolut konvergente Reihen

Definition 2.25 (Absolute Konvergenz).

Eine Reihe P

k=1 a _k heißt absolut konvergent, wenn P

k=1 | a _k | konvergiert.

Absolut konvergente Reihen sind besonders komfortabel – zum Beispiel darf man nur bei ihnen die Glieder beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu verändern.

138

Der folgende Satz liefert den Bezug zur “gewöhnlichen“ Konvergenz:

Satz 2.26.

Eine absolut konvergente Reihe P

k=1 a _k ist erst recht konvergent. Für sie gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

∞

X

k=1

a _k

≤

∞

X

k=1

| a _k | .

Beispiele:

P

k=1

(−1)

k ist konvergent (Nachweis später), aber nicht absolut konvergent. Es gilt P

k=1

(−1)

k = ln 2.

P

k=1

(−1)

k

ist absolut konvergent. Es gilt 0 ≤ P

k=1

(−1)

k

= ^π ₁₂

≤ ^π ₆

= P

k=1

1

k

.

Konvergenzkriterien

Mitunter stellt man lediglich die Frage nach der Konvergenz einer Reihe, ohne deren konkreten Grenzwert berechnen zu wollen. Hierbei helfen Konvergenzkriterien.

Einen ersten Satz erhalten wir aus dem Cauchy-Kriterium (Satz 2.12).

Bei einer konvergenten Reihe P

k=1 a _k müssen die Partialsummen s _n , s n−1 für große n beliebig weit zusammenrücken, d. h.

| a _n | = | s _n − s n−1 | < ε mit beliebig kleinem ε > 0. Somit gilt

Satz 2.27 (Notwendiges Konvergenzkriterium).

Bei einer konvergenten Reihe P

k=1 a _k bilden die Glieder eine Nullfolge, d. h. a _k → 0 für k → ∞ .

140

Konvergiert die Reihe P

k=1 k

2k+1 ?

Gilt die Umkehrung von Satz 2.27? Wenn nicht, finden Sie Gegenbeispiele.

Anmerkung

Ein Konvergenznachweis mittels Satz 2.27 ist für keine Reihe möglich, allerdings kann man damit ggf. die Konvergenz ausschließen:

(a _k ) keine Nullfolge ⇒

∞

X

k=1

a _k divergiert.

Die obigen Beispiele und Fragen illustrieren das.

Für alternierende Reihen (d. h. mit wechselndem Vorzeichen der Glieder) ist oft folgendes Kriterium hilfreich:

Satz 2.28 (Leibniz-Kriterium).

Eine alternierende Reihe P

k=1 ( − 1) ^k a k konvergiert, wenn (a k ) eine monotone Nullfolge ist.

Was lässt sich über die Konvergenz der Reihen

∞

X

k=1

( − 1) ^k

√ k ,

∞

X

k=1

( − 1) ^k+1

k und

∞

X

k=1

( − 1) ^k 2k ³ sagen? Konvergieren diese Reihen auch absolut?

Können Sie mit Satz 2.28 auch Aussagen zur Konvergenz der Reihe P

k=1 (−1)

k sin k treffen?

142

Nach Satz 2.13 ist eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern genau dann konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge beschränkt ist. Daraus folgen:

Satz 2.29 (Majorantenkriterium).

Ist P

k=1 b _k eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern, und gilt fast immer | a k | ≤ b k , so konvergiert P

k=1 a k , und zwar sogar absolut.

Die Reihe P

k=1 b _k wird dabei Majorante von P

k=1 a _k genannt.

Beispiel:

P

k=1 1

k

+k konvergiert, denn _k

¹ +k ≤ _k ¹

für alle k ∈ N , und P

k=1 1

k

konvergiert (harmonische Reihe).

Satz 2.30 (Minorantenkriterium).

Ist P

k=1 b _k eine divergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern, und gilt fast immer a _k ≥ b _k , dann ist auch P

k=1 a _k divergent.

Die Reihe P

k=1 b _k wird dabei Minorante von P

k=1 a _k genannt.

Beispiel:

P

k=1 1

k+

k divergiert, denn ¹

k+

k ≥ _k+k ¹ = _2k ¹ für alle k ∈ N , und P

k=1 1

2k divergiert (harmonische Reihe).

144

Durch Verwendung von geometrischen Reihen als Majoranten bzw.

Minoranten erhält man zwei Kriterien, die häufig bei Reihengliedern mit Quotienten-/Potenzstruktur greifen:

Satz 2.31 (Quotientenkriterium).

Gilt mit einer festen positiven Zahl q < 1 fast immer

a _k+1 a k

≤ q, so konvergiert die Reihe P

k=1 a k , und zwar sogar absolut. Gilt jedoch

fast immer

a _k+1 a _k

≥ 1, so ist P

k=1 a k divergent.

Dabei ist natürlich vorauszusetzen, dass fast immer a k 6 = 0 ist.

Satz 2.32 (Wurzelkriterium).

Gilt mit einer festen positiven Zahl q < 1 fast immer p

| a _k | ≤ q, so konvergiert die Reihe P

k=1 a _k , und zwar sogar absolut. Gilt jedoch fast immer

p

| a _k | ≥ 1, so ist P

k=1 a _k divergent.

Achtung: Es reicht nicht, lediglich p

| a k | < 1 bzw.

a

a

< 1 nachzuweisen, um auf Konvergenz zu schließen!

Testen Sie dies am Beispiel P

k=1 k+1

k .

146

Folgende Version von Quotienten- und Wurzelkriterium ist besonders handlich und wird in der Praxis am häufigsten verwendet:

Folgerung 2.33 (Quotienten- und Wurzelkriterium).

Konvergiert die Quotientenfolge (

a

a

) oder die Wurzelfolge ( p

| a _k | ) gegen einen Grenzwert α, so ist die Reihe P

k=1 a _k (absolut) konvergent, wenn α < 1,

divergent, wenn α > 1.

Bemerkung: Im Falle α = 1 liefern die Kriterien kein Ergebnis. Es sind dann weitere Untersuchungen notwendig.

Warum ist Folgerung 2.33 eine unmittelbare Konsequenz der Sätze

2.31 und 2.32?

Beispiele P

k=1 k

2

konvergiert, denn

a

a

= ^(k+1) _k

2

2

= ¹ ₂ (1+ ¹ _k ) ² → ¹ ₂ . P

k=1 k

k

konvergiert, denn

q

^k

k

=

√

k

k → 0 (da √

k → 1).

P

k=0

1

k! konvergiert, denn

a

a

= _(k+1)! ^k! = _k+1 ¹ → 0.

Dabei ist k! := 1 · 2 · . . . · k(k ∈ N), 0! := 1 (“k-Fakultät“).

Es konvergiert sogar P

k=0

x

k! für beliebiges x ∈ R, denn

a _k+1 a k

=

x ^k+1

x ^k · k!

(k + 1)!

= | x | k + 1 → 0.

Wir nutzen diese Reihe später für die Definition der Exponentialfunktion: e ^x := P

k=0 x

k! .

148

Ausblick: Anwendungen in den Naturwissenschaften In den Naturwissenschaften tauchen Reihen häufig in der Gestalt von Potenz- und Fourierreihen auf (spezielles Kapitel in HM 2).

Weiterhin behandeln wir im Kapitel Differentialrechnung den Satz von Taylor kennen, der mit Reihenentwicklungen im Zusammenhang steht.

Reihenentwicklungen begründen u. a. folgende häufig verwendeten Näherungen für betragsmäßig kleine x ∈ R:

sin x ≈ tan x ≈ x, cos x ≈ 1 − ¹ ₂ x ² ,

1

1−x ≈ 1 + x bzw. _1+x ¹ ≈ 1 − x.

Die erste Näherung verwendet man u. a. in der Bewegungsgleichung für das Fadenpendel und erhält damit die typischen Sinusschwingungen.

Die Näherungen in der letzten Zeile beruhen auf geometrischen Reihen.

Man kann damit z. B. in Skandinavien leichter Überschläge bei der

Währungsumrechnung durchführen (1 EUR = 8.79 SEK).

Ziele erreicht?

Sie sollten nun (bzw. nach Abschluss der Übungen/Tutorien):

wissen, was man unter Folgen und Reihen versteht, die Grenzwertdefinition tiefgehend verstanden haben und beherrschen (auswendig!),

Grenzwerte von Folgen mit Hilfe der Grenzwertsätze sicher berechnen können,

an einfachen Beispielen Vergleichskriterien anwenden können (gilt für Folgen und Reihen),

über die Konvergenzeigenschaften von geometrischer und harmonischer Reihe bescheidwissen,

anhand von Konvergenzkriterien das Konvergenzverhalten von Reihen analysieren können (mit besonderem Schwerpunkt auf den Sätzen 2.27 und 2.28 sowie Folgerung 2.33).

Sie sind sich nicht sicher oder meinen “nein“? Werden Sie aktiv!

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