Folgen und Reihen

F

ACH

H

OCHSCHULE

L

AUSITZ University of Applied Sciences

Folgen und Reihen

Bearbeitet durch:

Holger Eschler und Robert Stein

F

ACH

H

OCHSCHULE

L

AUSITZ University of Applied Sciences

Übung 1: Aufgabe 1

5

1 10 3 . :

:

. a d ges a

geg = = −

( ⁿ ) ^d

a a

Lös . : _n = ₁ + − 1 ⋅

( ) ( ) ^{5 1 3}

5 = 10 + − ⋅ −

a

5 = − 2

a

74

1 1 4 . :

:

. a d ges a

geg = =

( 74 1 ) 4

74 = 1 + − ⋅

a

74 = 293 a

F

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H

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Übung 1: Aufgabe 3

d ges a

a

geg . : ₁ = 1 ₂₅ = 73 . :

( ⁿ ) ^d

a a

Lös . : _n = ₁ + − 1 ⋅

( ) ( 25 1 )

1 73 1

1

−

= −

− →

= − d

n a d a ⁿ

24 3 72 =

=

d

F

ACH

H

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n ges d

a a

geg . : ₁ = 5 _End = 209 = 12 . :

( n ) d a

a

Lös . : _n = ₁ + − 1 ⋅

12 1 5 1 209

1 − +

=

→

− +

= n

d a n a ⁿ

= 18 n

F

ACH

H

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Übung 1: Aufgabe 5

S n

ges a

Endglied a

n

geg . : = 10 ₁ = 2 : ₁₀ = 38 . :

) (

:

. S _n ¹ ₂ n a ₁ a _n

Lös = +

) 38 2

( 2 10

1

10 = ⋅ ⋅ +

S

S n

ges d

a n

geg . : = 10 ₁ = 2 = 4 . : ) ) 1 (

2 2 ( :

. n a ₁ n d

S

Lös _n = + −

= 200 a n

) 4 ) 1 10 ( 2 2 2 (

10 ⋅ + −

n = S

F

ACH

H

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Übung 1: Aufgabe 7

d ges a

a n

geg

i

i 110 . :

2 10

: .

10

1

1 = =

= ∑

=

) 1 10 ( 10

10 2 2 110 2 )

1 (

2 2

−

⋅

⋅

−

= ⋅

−

= − n n

an d S ⁿ

= 2 d

) ) 1 ( 2

2 ( :

. n a

₁

n d

S

Lös

_n

= + −

F

ACH

H

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(Variante 1)

1

9

29 3 153 . :

9 :

. n a d S ges a

geg = = =

_n

=

( a n d )

S n

Lös

_n

2 ( 1 )

: 2

. =

₁

+ −

( )

[ ] [ ( ) ]

2 3 1 1 9 9

153 2 2

1 1 2

1

1

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ − − ⋅

=

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

= n d a

n

a S

ⁿ

1 = 5 a

F

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Übung 1: Aufgabe 8 (Variante 2)

1

9

29 3 153 . :

9 :

. n a d S ges a

geg = = =

_n

=

d n

a a

Lös . : _n = ₁ + ( − 1 ) ⋅ d n

a

a ₁ = _n − ( − 1 ) ⋅ a ₁ = 29 − ( 9 − 1 ) ⋅ 3

1 = 5

a

a n

ges q

a n

geg . : = 5 ₁ = 5 = 3 . :

1

: a _n = a 1 ⋅ q ^{n −} Lösung

) 1 5

3 (

5 ⋅ ⁻

n = a

= 405 a n

F

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Übung 1: Aufgabe 10

S

n

ges q

a a

n

geg . : = 5

₁

= 5

₅

= 405 = 3 . :

q a q

S Lös

n

n −

⋅ −

= 1

: 1

. ₁

3 1

3 5 1

5

−

⋅ −

n = S

= 605

S n

F

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4

1 10 4 . :

:

. a q ges a

geg = =

1

: 1

. a _n = a ⋅ q ^{n −} Lös

1 4

4 = 10 ⋅ 4 ⁻

a

F

ACH

H

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Übung 1: Aufgabe 12

1

5 4375 5 5 . :

:

. a q n ges a

geg = = =

1

: 1

. a _n = a ⋅ q ^{n −} Lös

1 5

5

1 = −

q a a

1 1 5

5 4375

= −

a = 7

: 1

. 43112

, 15 1

, 1 6

:

. n q S ges a

geg = = _n =

q a q

S Lös

n

n −

⋅ −

= 1

: 1

. ₁

q

n

q a Sn

−

= − 1

) 1 (

1

1 = 2 a

F

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Übung 1: Aufgabe 14 a.)

DM Mill bei

n q

Zuwachs Jahr

in a ges a

Jahr DM geg

a

. 1 12

, 1 /

% 12

2000 :

. /

000 . 24 1974 : .

.)

_{1 27}

∅

⇒

=

=

∅

1 27 1

: 27

. a = a ⋅ q ⁻ Lös

26 27 = 24 . 000 ⋅ 1 , 12 a

DM a ₂₇ = 456961 , 73

EUR

a ₂₇ = 233640 , 82

F

ACH

H

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EUR q

Zuwachs Jahr

MioDM bei

n ges a

Jahr DM geg

b

88 , 291 511 12

, 1 /

% 12

1 : . /

000 . 24 1974 : .

.)

₁

→

⇒

=

=

∅

1

: 1

. a _n = a ⋅ q ^{n −} Lös

log 1 log

1

⎟⎟ ⎠ +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= q

a a n

n

12 1 , 1 log

24000 10 log 1

6

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

= n

2008 34 1974 34

91 ,

33 → + =

= Jahre

n

F

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Übung 1: Aufgabe 15

5

1

5 . :

2 10 1

:

. a q n ges S S

geg = = =

_n

=

q a q

S Lös

n

n −

⋅ −

= 1

: 1

. ₁

5 , 0 1

5 , 0 10 1

5

5

−

⋅ −

= S

375 ,

= 19

S n

1

5 5 . :

4 100 1

. 34 :

. S q n ges a

geg = = =

q a q

S Lös

n

n −

⋅ −

= 1

: 1

. ₁

_{n n}

q S q

a −

⋅ −

= 1

1

1

1 5

25 , 0 1

25 , 0 34100 1

−

⋅ − a =

25600

1 = a

F

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Übung 1: Aufgabe 17

6

6 6 . :

5 7812 1

:

. S q n ges a

geg = = =

1 1

1 ;

1 : 1

. = ₋

−

⋅ −

= ⁿ _n ⁿ

n q

a a q

a q S Lös

1 1

1 −

⋅ −

= ₋ q q q S a

n n

n n

( )

n n n

n

q

q q

a S

−

−

⋅

= ⋅

⁻

1

1

1

( )

6 1 6

2 , 0 1

2 , 0 1 2 , 0 7812

−

−

⋅

= ⋅ ⁻

a n a ₆ = 2

F

ACH

H

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∞

→

=

= q ges S für n

a

geg . : _n

5 5 1

: . ₁

q a q

S Lös

n

n −

⋅ −

= 1

: 1

. ₁

q a q

S

n n

n −

⋅ −

=

∞

→ 1

1

lim 1

a q S = ⋅ −

1 1

1 1 0 , 2

5 1

⋅ −

= S

25 ,

= 6 S

F

ACH

H

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Übung 1: Aufgabe 19

∞

→

=

= q ges S für n

a

geg . : _n

2 500 1

: . ₁

q a q

S Lös

n n

n −

⋅ −

=

∞

→ 1

: 1

. lim ₁

a q S = ⋅ −

1 1

1

5 , 0 1 500 1

⋅ −

= S

= 1000

S

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