Folgen und Reihen Aufgaben aus dem Buch

Folgen und Reihen Aufgaben aus dem Buch

L¨ osungen

S.44 A7

a) a ₂ = 0.5(1.4 + 2/1.4) ≈ 2.82857. Rekursionsgleichung: a _n+1 = 0.5(a _n + 2/a _n ).

b) (1) a _n+1 = 0.5(a _n + 3/a _n ), a ₁ = 2, allgemein: a _n+1 = 0.5(a _n + k/a _n ) mit einem Startwert a ₁ findet √

k.

S.44 A8 (wobei hier die Rekursionen teils Schwachsinn sind. Und sie starten meist mit a ₁ .)

a) a _n = − _n+1 ¹ , a _n+1 = − _n+2 ¹ = − (n+1)·(n+2) ^(n+1)·1 = − ^(n+1)·

1 n+2

n+1 = − _n+1 ¹ · ⁿ⁺¹ _n+2 = a _n · ⁿ⁺¹ _n+2 , a ₁ = − ¹ ₂ .

b) a _n = n ³ , a _n+1 = (n + 1) ³ = n ³ + 3n ² + 3n + 1 = a _n + 3n ² + 3n + 1, a ₁ = 1.

c) a _n = P n

k=0 2 ⁿ , a _n+1 = a _n + 2 ⁿ , a ₁ = 1.

d) a _n = (−1) ⁿ⁺¹ · n, a _n+1 = (−1) ⁿ − a _n , a ₁ = 1.

e) a n+1 = a n /(−2), a 1 = 16.

f) a _n = −3 − 8n, a _n+1 = a _n − 8, a ₀ = −3.

S.51 A4 (auch hier ist die Startzahl n = 1, daher ist in der Potenz ein n − 1!) a) a _n = a ₁ · q ⁿ⁻¹ = 6 · 3 ⁿ⁻¹ ⇒ a ₁ = 6, a ₂ = 6 · 3 ²⁻¹ = 18, a ₃ = 54, ..., a ₁₀ = 118098.

b) - c): einfach in die allgemeine Formel aus (a) a ₁ und q einsetzen und die Formel steht. Dann rechnen...

S.51 A7: verwendet die Form aus A4!

a) a ₁ = 30, q = 40% = 40/100 = 0.4. Einsetzen.

S.54 A1: L¨ osen wir das mit dem gerade gelesenen Satz 2. ACHTUNG: Der Satz 2 lautet anders als unsere Formel auf dem Formelblatt, weil die mit a 1 beginnen und wir mit a 0 ! Nachdenken!

a) Es gilt

3, 3 = 3

∞

X

k=0

( 1

10 ) ^k = 3 · 1

1 − ₁₀ ¹ = 3 · 10 9 = 10

3 . b) Wie oben:

(1) 4/10 + 4/100 + ... = 4(1/10 + 1/100 + ...) = 4 P ∞

k=1 (1/10) ^k = 1/10 · ¹⁰ ₉ = 4/9.

(2) 9/10 + 9/100 + ... = 9(1/10 + 1/100 + ...) = 4 P ∞

k=1 (1/10) ^k = 9/10 · ¹⁰ ₉ = 1.

(3) Wie in (5), welche ich zuerst gel¨ ost hatte: 2, 8888... = 2 + 0.8888...

0.8888... = 8/10 + 8/100 + ... = 8(1/10 + 1/100 + ...) = 8 P ∞

k=1 (1/10) ^k = 8/10 · ¹⁰ ₉ = 8/9. Jetzt addieren wir 2 + 8/9 = (18 + 8)/9 = 26/9.

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Folgen und Reihen Aufgaben aus dem Buch

(4) 15/100 + 15/10000 + ... = 15(1/100 + (1/100) ² + ...) = 15 P ∞

k=1 (1/100) ^k = 15/100 · ¹⁰⁰ ₉₉ = 15/99.

(5) Das zerlegen wir einfach; in 2.78 + 0.005555.... Die hintere Zahl ist eigentlich 0.5555..., nur das die ersten beiden Stellen nach dem Kommer fehlen. Also schreiben wir die Zahl noch einmal um:

2.785555... = 0.5555... + 2.78 − 0.55 = 0.5555... + 2.23. 0.5555... ist aber wie in (1) zu l¨ osen:

0.5555... = 5(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...) = 5( P ∞

k=1 (1/10) ^k = 5/10 · ¹⁰ ₉ = 5/9. Also haben wir 2.875555... = 5/9 + 2.23 = 5/9 + 9 · 2.23/9 = 25.07/9 = 2507/900.

In der Aufgabe ist noch nach dem allgemeinen Glied gefragt; wir haben hier schon den Limes n → ∞ betrachtet. Doch die Summe ist dann halt nicht a 1 · (1/(1 − q)), sondern a ₁ · (1 − q ⁿ )/(1 − q).

S.64 A4

a) a _n = ⁿ

_n ⁺ⁿ

→ ⁿ _n

= _n ¹ → 0.

b) Zaehler → 3, N enner → 4 ⇒ a = 3/4.

c) Zaehler → n, N enner → n ⇒ a = n/n = 1.

d) Zaehler → 4n ² , N enner → 2n ² ⇒ a = 4n ² /2n ² = 2.

e) Zaehler → 5n ² , N enner → 2n ² ⇒ a = 5n ² /2n ² = 2.5.

f) Zaehler → 8n ² , N enner → 2n ³ ⇒ mit 8n ² /2n ³ → 4/n ⇒ a = 0.

g) Zaehler → 15n ³ , N enner → 3n ³ ⇒ a = 15n ³ /3n ³ = 5.

h) Zaehler → 12n ⁴ , N enner → 6n ⁴ ⇒ a = 12n ⁴ /6n ⁴ = 2.

S.64 A5: geht wie A4.

a) Zaehler → n, N enner → n ² ⇒ Bruch → 1/n ⇒ a = 0.

b) Zaehler → n ² , N enner → n ⇒ Bruch →⇒ a = ∞.

c) Zaehler → 2n, N enner → n ² ⇒ Bruch → 2/n ⇒ a = 0.

d) Zaehler → 1, N enner → 3 ⇒ Bruch → 1/3 ⇒ a = 1/3.

e) Zaehler → 2n ² , N enner → n ² ⇒ Bruch → 2n ² /n ² ⇒ a = 2.

f) Zaehler → 2n, N enner → n ² ⇒ Bruch → 2/n ⇒ a = 0.

g) Zaehler → √

n, N enner → √

n ⇒ Bruch → 1/1 ⇒ a = 1.

h) Zaehler → n, N enner → n ² ⇒ Bruch → 1/n ⇒ a = 0.

i) Zaehler → 2 ⁿ , N enner → 2 ⁿ ⇒ Bruch → 1/1 ⇒ a = 1.

j) a _n = n ² /n ³ ⇒ Bruch → 1/n ⇒ a = 0.

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Folgen und Reihen Aufgaben aus dem Buch

S.65 A1

Z¨ ahlt man die Anzahl von Zeitintervallen, dann hat die Schildkr¨ ote scheinbar immer einen Vorsprung. Das Problem ist, dass die Zeitintervalle selbst immer kleiner werden. Praktisch ist es nicht ausf¨ uhrbar und theoretisch konvergiert die Summe dieser Zeitintervalll¨ angen gegen eine endliche Zahl, nach der Achill bei der Schildkr¨ ote ist. Rechnung bitte selbst, die ist einfach.

S.70 A7: (streng) monoton wachsend = (s)mw, (streng) monoton fallend = (s)mf.

a) smf, b) smw, c) weder noch, d) smw,

e) weder noch: a ₁ = 4 − 1 = 3, a ₂ = 8 − 4 = 4 und dann geht es abw¨ arts, f) smw, g) weder noch, h) smw, i) smf, j) smw,

k) wegen a ₁ = 1 weder noch, sonst smf, l) smw.

S.70 A9

a) Also gegeben eine Folge a _n = a ₀ ∗ q ⁿ . Nun kann q > 1 sein, dann w¨ achst die Folge, bei 0 < q < 1 f¨ allt sie. Aber bei negativem q haben wir ein alternierendes Vorzeichen und die Folge h¨ upft. Bestes Beispiel: q = −1 ⇒ a _n = (−1) ⁿ .

b) Das hatten wir ja auch schon festgestellt; einfach an die Definition halten!

c) F¨ ur positive Zahlen ist das irgendwie klar. F¨ ur negative auch? nehmen wir mal ..., −5, −3, −1, 1, .... Dann ist diese Kehrwertfolge −1/3, −1/2, −1/1 = −1, 1/1 = 1, was nicht mehr hinhaut. Der Satz ist so nicht richtig.

S.70 A13: bei diesen Aufgaben hilft Euch der GTR zum Anschauen der Folgen.

Versucht das mal ab und an.

(k)os = (kleinste) obere Schranke, (g)us= (gr¨ oßte) untere Schranke

a) −2 < a _n < 2, wobei 2, −2 die gefragten kleinste obere/gr¨ oßte untere Schranken sind. Weitere obere bsp. 5,10,100.

b) kos = 5, os = 10, 100, 1000; gus = 0, us = -10, -100, -1000

c) Das ist ja irgend so eine _n+1 ⁿ -Folge. Die geht aber gegen 1. Also: kos = 1, os = 10, 100, 1000; gus = 3/4, us = 0, -10, -100.

d) Da gibt’s nichts; es laufen die Zahlen in beide Richtungen davon; gegen ±∞. e) Oben gibt’s nichts, weil die Zahl vor dem Komma immer weiter w¨ achst. Nach unten ist die gus = 0.9. Weitere us = -10, -100, -1000.

f) Die Folge geht alternierend gegen Null:

a _n = ₍₋₃₎ ¹

= _(−1·3)n ¹ = ₍₋₁₎ ¹

_·

h

= ₍₋₁₎ ¹

· ₃ ¹

= ( ₋₁ ¹ ) ⁿ + ₃ ¹

= (−1) ⁿ · ₃ ¹

i

und da steht es. Nur damit Ihr seht, wie man das rechnet, ist aber nicht so wichtig.

Zur Aufgabe: kos = 1, gus = -1/3, was man mit Bilden von a ₀ und a ₁ findet, denn danach zieht sich die Folge auf die Null zusammen und kommt sicher nicht mehr

¨ uber diese Werte. Weiter Schranken findet Ihr leicht selbst.

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Folgen und Reihen Aufgaben aus dem Buch

g) 2 < a _n < 3, das sind auch die besonderen. h) Nach oben ist es f¨ ur n=1 die 0, dar¨ uber sind die anderen Schranken. Unten gibt es keine, denn das ist ja wie eine nach unten ge¨ offnete Parabel und die geht gegen −∞!

i) Da betrachtet man erst einmal, was unter der Wurzel steht, die Wurzel-Funktion wurzelt nur noch die Zahl drunter. 1 − 1/n ist aber einfach; es ist anfangs 0, w¨ achst aber bis auf 1. Die Wurzelfunktion wurzelt 0 und 1, l¨ asst sie aber unver¨ andert.

Also das war es auch schon. j) Da k¨ urzt man und es ist a _n = 1 − n. Die Folge ist, falls n=0 zugelassen ist, mit 1 beschr¨ ankt, bei n=1 als Start eben mit 0.

k) Hier macht man sich erst einmal klar, was diese Klammer hinten wirklich tut:

entweder, n ist gerade, dann gilt 1 + 1 = 2 oder n ist ungerade, dann ist

(1 − 1 = 0). Also haben wir bei geradem n folgendes: a _n = n/2 · 2 = n und sonst liefert die Folge eine 0: 0,2,0,4,0,6,0,8,...! Damit ist klar, das nach oben keine Schranke da ist und nach unten die gus = 0 ist.

l) Hier haut n ² − 1 einfach ab. Das es gewurzelt wird, tut nichts zur Sache. Also gibt es f¨ ur den Startwert n = 1 (wir sind halt im Buch) eine gus = 0.

m) Der Grenzwert 0 und damit die gus ist klar. Die kos ist mit n = 1 gegeben, was mit probieren klar wird. Dumme Aufgabe, wie auch die (o)!

n) Die Folge geht gegen 1. Das ist also schon mal die kos. Da sie mit 1/2 startet und dann monoton w¨ achst, ist gus = 0.5.

o) Die Folge ist schwierig. Man weiß, dass sie gegen gus = 0 geht. Nach oben findet man entweder mit Kurvendiskussion oder mit Probieren f¨ ur n = 2 den

Maximalwert a ₂ = 13/4. Das ist die kos.

S.71 A17: wie S.54 A1!

Da wir das schon gemacht haben, nur ganz kurz: in jedem Schritt kommen

irgendwelche Zahlen dazu. Also ms. Eine Schranke findet man einfach, wenn man die Zahl vor dem Komma hochsetzt, denn die ¨ andert sich bei diesen Folgen sicher nicht mehr. Die (b) ist f¨ ur die Klausur unwichtig und gar nicht so leicht. Eigentlich kann man das nur so beantworten:

” Weil wir wollen, dass es so ist.“ Es handelt sich hier n¨ amlich um ein Axiom.

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