Tutorium Analysis 1
13.01.2020 - Reihen, Potenzreihen, Stetigkeit WS 19/20
David Präsent
Arbeitsblatt 12
Grundlegende Fragen
Frage 1 Wie kann man sich eine komplexe Reihe grasch vorstellen?
Frage 2 Und wie die Konvergenz einer komplexen Reihe?
Frage 3 Wie ist die Stetigkeit einer Funktion exakt deniert?
Frage 4 Was bedeutet Stetigkeit im Reellen und Komplexen grasch?
Beispiel 12.1 (Potenzreihen und Konvergenzradius)
Es sei a>1. Bestimme alle x ∈Rbzw. alle z ∈C, für die die gegebenen Reihen konvergieren:
a)
∞
X
n=1
a
2n(x−2)n b)
∞
X
n=0
3n+ 4 an zn
Beispiel 12.2 (Dirichlet-Kriterium)
Es sei (an)n∈N0 eine Folge reeller Zahlen und (Bn)n∈N0 die Folge der der Partialsummen einer komplexwertigen Folge(bn)n∈N.
Das Dirichlet-Kriterium für Konvergenz besagt nun:
∞
X
n=0
anbn ist konvergent, wenn(an)n∈N0 eine monotone Nullfolge ist und(Bn)n∈N0 beschränkt ist.
a) Beweise das Dirichlet-Kriterium.
b) Argumentiere anschlieÿend, dass dessen Spezialfall, das Leibniz-Kriterium, auch gilt.
Hinweis: Verwende die Abelsche Summation:
n
X
k=0
akbk =snbn+1−
n
X
k=0
sk(bk+1−bk) mit sn =
n
X
k=0
ak
Beispiel 12.3 (ε-Denition der Stetigkeit)
Zeige mithilfe der Denition, dass die Funktion f :R→R mit f(x) =x2−2 auf ihrem gesamten Denitionsbereich stetig ist.
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