Tutorium Analysis 1
08.01.2020 - Probeklausur WS 19/20
David Präsent
Probeklausur
Die Probeklausur besteht aus 4 Aufgaben, für die jeweils bis zu 4 Punkte vergeben werden und es stehen 90 Minuten für deren Bearbeitung zur Verfügung. Es sind keinerlei Hilfsmittel erlaubt.
Alle Rechenschritte und Argumentationen müssen lückenlos angegeben werden und die Notation muss in einer Form geschehen, dass diese problemlos nachvollzogen werden kann.
Gutes Gelingen!
Aufgabe P.1
Zeigen Sie für alle n∈N:
n
X
k=1
1 k√
k ≤ 3− 2
√n
Aufgabe P.2
Es sei a>0, B ⊆Rund f eine Funktion, die gegeben ist durch f : (−∞,1)→B mit f(x) = 2− a
1−x .
Es werde weiters angenommen, dass B alle notwendigen Elemente ausRenthält, damit f wohlde- niert ist, d.h. die Funktionsgleichung bildet für alle x ∈(−∞,1) auf ein Element in B ab.
a) Zeichnen Sie eine qualitative Skizze des Graphen von f und beweisen Sie, dass f injektiv ist.
b) Wählen Sie B derart, dass f auch surjektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrabbildung f−1.
Aufgabe P.3
Es sei die Folge(xn)n∈N0 gegeben durch die Rekursion xn+1= 1
√xn und x0= 2. Zeigen Sie, dass die Teilfolge(x2n)n∈N0 konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
Hinweis: Eine explizite Darstellung der Teilfolge ist hilfreich
Aufgabe P.4
Argumentieren Sie mit dem Vergleichskriterium und geeigneten Majoranten oder Minoranten, ob die folgenden Reihen konvergieren oder nicht.
a)
∞
X
n=1
n+ 2 n3+ 1 b)
∞
X
n=1
1 pn(n+ 3)
