Tutorium Analysis 1
10.01.2020 - Folgen, Reihen, Potenzreihen WS 19/20
David Präsent
Arbeitsblatt 11
Grundlegende Fragen
Frage 1 Was ist absolute Konvergenz?
Frage 2 Wie lautet das Vergleichskriterium genau?
Frage 3 Welche Aussagen über die Konvergenz können Wurzel- und Quotientenkriterium liefern?
Frage 4 In welchen Situationen werden die einzelnen Konvergenzkriterien vorwiegend eingesetzt?
Frage 5 Was ist eine Potenzreihe? Wie lautet sie in ihrer allgemeinsten Form?
Frage 6 Wie ist der Konvergenzradius im Reellen und im Komplexen zu interpretieren?
Beispiel 11.1 (Konvergenz von Folgen)
Überprüfe, ob das folgende Produkt konvergiert (D.h. die Folge der Partialprodukte konvergiert):
∞
Y
n=1
exp
1 2n−1
exp 21n .
Beispiel 11.2 (Konvergenz von Reihen) Überprüfe, ob die gegebenen Reihen konvergieren:
a)
∞
X
n=1
5n−1 n2+n+ 2
2
b)
∞
X
n=1 n√!
2n−1
c)
∞
X
n=1
(−1)n 1− √n
5
d)
∞
X
n=0
n−1 n2−3 e)
∞
X
n=1
4n(n+ 5) 3nn2 f)
∞
X
n=1
n! nn
Beispiel 11.3 (Reelle Potenzreihen und Konvergenzradius)
Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen und alle x ∈ R, für die die Reihen konvergieren:
a)
∞
X
n=1
5n−1
2n+1 ·xn b)
∞
X
n=1
4n
n ·(x−1)n
1
