Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Mathematisches Institut
Prof. Dr. H. Pabel
PD Dr. Oliver Roth, Dr. Daniela Kraus, Ralf Winkler
W¨urzburg, den 12. Dezember 2005
7. ¨ Ubung zur Analysis I
Wintersemester 2005/06 L¨osungshinweise
23c.) Es sei x ∈ \ . Dann ist m := min
n∈ {|x −n| } > 0 und alle Zahlen im Intervall Um
2(x) = x−m2, x+m2
liegen in \ . Somit ist das Komplement von in offen und demzufolge abgeschlossen. ist nicht offen, denn f¨urn∈ liegt in jeder Umgebung (n−a, n+a) f¨urm > a1 eine Zahln+m1 ∈/ .
Zur Untersuchung von zeigen wir zun¨achst, dass zwischen zwei rationalen Zahlen p1, p2 mit p1< p2 eine irrationale Zahl liegt. Nachdem wirp1 undp2auf den gleichen Hauptnenner gebracht haben, ist
p1 = z1
N < z2
N = p2
mitz1, z2∈ , N∈ . F¨ur die Zahla:= z1+
√2
N2 gilt wegen √22 <1 undz2≥z1+ 1:
p1 = z1
N < a < z2
N = p2. Ferner istairrational, denn andernfalls w¨urde ausa = z1+
√2 2
N = pp1
2 mit p1, p2∈ durch Aufl¨osen nach√
2 folgen, dass auch√
2∈ . Widerspruch.
Zu jedemq ∈ liegen in jeder Umgebung U(q) die reellen Zahlenq und q−2, zwischen denen nach Satz 1.2.4 wieder eine rationale Zahl p < q liegt. Nach dem gerade Gezeigten gibt es dann zwischenpundqeine irrationale Zahla∈U(q). Somit istQnicht offen.
Betrachten wir andererseits a∈ \ . Dann liegen in jeder Umgebung U(a) die rellen Zahlen a unda−2, zwischen denen nach Satz 1.2.4 eine rationale Zahl∈U(a) liegt. Somit ist auch \ nicht offen und daher nicht abgeschlossen.
Zua∈(0,1) seiN := max{n∈ |n < 1a}. Dann giltN < 1a undN+ 1≥a1, bzw. N+11 ≤a < N1, bzw. a ∈ [N+11 ,N1[, bzw. a ∈ S∞
n=1
[n+11 ,1n[. Ersichtlich ist auch ∞S
n=1
[n+11 ,n1[⊂ (0,1) und damit
∞S
n=1
[n+11 ,n1[ = (0,1), was die Offenheit von M3 impliziert. Es ist \M3 = −0 ∪ {x ∈ |x ≥ 1} nicht offen, denn in jeder Umgebung von 1 ∈ \M3 liegen Punkte aus M3. Somit ist M3 nicht abgeschlossen.
Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Mathematisches Institut
Prof. Dr. H. Pabel
PD Dr. Oliver Roth, Dr. Daniela Kraus, Ralf Winkler
W¨urzburg, den 22. Dezember 2005
7. ¨ Ubung zur Analysis I
Wintersemester 2005/06 L¨osungshinweise
25.) a.) Es seix∈ n\A, d.h.¯ x∈ n\Aundx /∈∂A. Wegenx /∈∂Agibt es eine UmgebungU(x), in welcher entweder nur Punkte aus A oder nur Punkte aus n\Aliegen. Die erste Alternative entf¨allt, da x ∈ n\A. Damit ist U(x) ⊂ n\A. Ersichtlich liegen in U(x) keine weiteren Randpunkte, denn andernfalls g¨abe es wegen der Offenheit von U(x) zu einem Randpunkt y ∈U(x) eine kleine UmgebungU(y)⊂U(x), in welcher sowohl Punkte ausA als auch aus
n\Aliegen, im Widerspruch zu oben. Also ist sogarU(x)⊂ n\A¯und n\A¯ist offen, bzw.
A¯ist abgeschlossen.
b.) Seix ∈ Hp(A). F¨ur beliebiges >0 liegt inU(x) ein Punktx1 ∈A\{x}. Zu jedem bereits konstruiertenxk∈A\{x}findet sich, dax∈Hp(A), ein weiterer Punktxk+16=xk ausA\{x}
in der Umgebung U|xk−x|
2
(x) .
c.) Wir zeigen zun¨achst, dass ∂A ⊂A∪Hp(A). Es sei dazu x ∈∂A. Falls x ∈ A, so ist nichts mehr zu zeigen. Im anderen Fall x /∈Abetrachten wir eine beliebige Umgebung U(x) vonx.
Wegen x∈∂Agibt es in U(x) einen Punkty ∈A, sogary∈A\{x}, daA3y6=x /∈A. Also istx∈Hp(A), was ebenfalls die Inklusion impliziert. Somit istA∪∂A ⊂ A∪Hp(A).
Wir zeigen nun, dass Hp(A) ⊂ A∪∂A. Es sei dazu x ∈ Hp(A). Falls x ∈ A, so ist die Behauptung bewiesen. Fallsx∈ n\Aso betrachten wir eine UmgebungU(x) vonx. Wegen x ∈Hp(A) gibt es inU(x) einen Punkt y ∈A\{x}. Neben einem Punkt aus n\A (n¨amlich x selbst) gibt es inU(x) somit auch einen Punkt y∈A. Damit istx∈∂Aund insgesamt gilt A∪Hp(A) ⊂ A∪∂A.
Beide Inklusionen ergeben nun die zu beweisende Gleichheit.
