Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Mathematisches Institut

Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Mathematisches Institut

Prof. Dr. H. Pabel

PD Dr. Oliver Roth, Dr. Daniela Kraus, Ralf Winkler

W¨urzburg, den 05. November 2005

2. ¨ Ubung zur Analysis I

Wintersemester 2005/06 L¨osungshinweise

7.) a.) Es ist

y∈f[A∪B] ⇔ ∃x∈A∪B f(x) =y ⇔ ∃x∈A f(x) =y ∨ ∃x∈B f(x) =y

⇔ y∈f[A] ∨ y∈f[B] ⇔ y∈f[A]∪f[B]. b.) FallsA∩B =∅, so ist die Aussage richtig. Andernfalls gilt

y∈f[A∩B] ⇔ ∃x∈A∩Bf(x) =y ⇒ ∃x∈Af(x) =y ∧ ∃x∈Bf(x) =y

⇔ y∈f[A] ∧ y∈f[B] ⇔ y∈f[A]∩f[B]. c.) Falls f⁻[C∪D] =∅, so ist die Aussage richtig. Andernfalls gilt

x∈f⁻[C∪D] ⇔ f(x)∈C∪D ⇔ f(x)∈C ∨ f(x)∈D

⇔ x∈f⁻[C] ∨ x∈f⁻[D] ⇔ x∈f⁻[C]∪f⁻[D]. d.) Wie c.) nur mit (∧,∩) statt (∨,∪).

Dass in b.) die Umkehrung nicht gilt, zeigt das Beispiel X = Y = , A = {1}, B = {2} und f :X →Y, f(x) = 1. Dann istf[A] ={1}=f[B], alsof[A]∩f[B] ={1}, aberf[A∩B] = f(∅) =∅.