Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Mathematisches Institut
Prof. Dr. H. Pabel
PD Dr. Oliver Roth, Dr. Daniela Kraus, Ralf Winkler
W¨urzburg, den 23. November 2005
3. ¨ Ubung zur Analysis I
Wintersemester 2005/06 L¨osungshinweise
9.) a.) ⇒: Es seif :X →Y surjektiv. Ferner seiB ⊂Y. Wir betrachteny∈f[f−[B]]. Es gibt also x∈f−[B] mitf(x) =y. Weiter impliziertx∈f−[B] die Gleichungf(x) =zf¨ur einz∈B.
Somit isty=f(x) =z∈B. Umgekehrt wollen wir einy ∈B betrachten. Da f surjektiv ist, gibt es einx∈X mitf(x) =y, insbesonderex∈f−[B], also y=f(x)∈f[f−[B]].
⇐: Es gelte f[f−[B]] = B f¨ur jede Teilmenge B ⊂ Y. Zu gegebenem y ∈ Y betrachten wir speziell B := {y}. Dann ist f−[B] 6= ∅, denn ansonsten w¨are f[∅] = ∅ = B ein Widerspruch. Damit gibt esx∈f−[B] mit f(x) =y undf ist surjektiv.
b.) ⇒: Es seif :X →Y injektiv. Ferner seiA⊂X. Wir betrachten x∈f−1[f[A]], d.h. es gibt y∈f[A] mit f(x) =y. Wegeny∈f[A] ist andererseitsy=f(z) f¨ur einz∈A. Aufgrund der Injektivit¨at gilt somit x = z ∈ A. Umgekehrt sei x ∈ A. Dann ist nach Definition f(x)∈f[A] und somitx∈f−1[f[A]].
⇐: Es gelte f−[f[A]] =A f¨ur jede TeilmengeA ⊂X. G¨abe es f¨ur ein y ∈ Y zwei Urbilder x16=x2 mitf(x1) =f(x2) =y, so w¨are f¨urA:={x1}
f−[f[A]] = f−[{y}] = {x1, x2} im Widerspruch zur vorausgesetzten Gleichheit.
12.) a.) Es seiT0 := {n∈T |n+ 1∈T} ⊂ T ⊂ . Nach Voraussetzung ist 1∈T0. Ferner folgt n∈T0 ⇒ n∈T ∧ n+ 1∈T Vorraussetzung
⇒ n∈T ∧ n+ 1∈T ∧ n+ 2∈T ⇒ n+ 1∈T0. Nach dem Induktionsprinzip ist somit T0 = und damit =T0 ⊂T ⊂ , woraus T = folgt.
b.) F¨urn= 1,2 ist die Formel wegen F1 = (−1
3)·(−1) +1
3·2 = 1 und F2 = (−1
3)·1 + 4 3 = 1
richtig. Sei die explizite Formel f¨ur ein n∈ und seinen Nachfolgern+ 1 richtig. Dann ist Fn+2 = Fn+1 + 2Fn = (−1
3)·(−1)n+1 + 1
3·2n+1 + 2·(−1
3)·(−1)n + 2 3·2n
= 1
3·(−1)n+2 + 1
6·2n+2 − 2
3·(−1)n+2 + 1 6·2n+2
= (−1
3)·(−1)n+2 + 1 3·2n+2. Nach Teil a.) gilt somit die Formel f¨ur allen∈ .
