Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Mathematisches Institut
Prof. Dr. H. Pabel
PD Dr. Oliver Roth, Dr. Daniela Kraus, Ralf Winkler
W¨urzburg, den 07. Dezember 2005
7. ¨ Ubung zur Analysis I
Wintersemester 2005/06 25.) F¨urA⊂ n sei der RandvonAdefiniert durch
∂A := {x∈ n|In jeder Umgebung vonxliegt ein Punkt ausA und ein Punkt aus n\A.}. Wir definieren ferner dieabgeschlossene H¨ulle vonAals
A := A∪∂A sowie die Menge allerH¨aufungspunkte der Menge Adurch
Hp(A) = {x∈ n|In jeder Umgebung vonx liegt ein Punkt ausA\{x}.}. Zeigen Sie:
a.) A ist abgeschlossen.
b.) In jeder Umgebung einesx∈Hp(A) liegen sogar unendlich viele Punkte ausA.
c.) Es gilt:A = A∪Hp(A) .
26.) a.) Gegeben sei die Folge (ak ∈ n)k∈ mit lim
k→∞ak = a. Zeigen Sie, dass dann mit mk := 1k(a1+. . .+ak) die Folge (mk ∈ n)k∈ der arithmetischen Mittel ebenfalls gegena konvergiert.
b.) Freiwillige Zusatzaufgabe (3 Punkte): Konvergiert die obige Folge (mk ∈ n)k∈ der arithmetischen Mittel unabh¨angig von der Konvergenz der Folge (ak ∈ n)k∈ , sofern diese nur beschr¨ankt ist?
27.) Untersuchen Sie die angegebenen reellen Zahlenfolgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebe- nenfalls ihren Grenzwert:
ak =
1 + 1 k2
k
, bk =
1 + (−1)k k
k
, ck =1−(1−1k)5
1−(1−1k)2, dk =√ k(√
k+ 1−√ k). Hinweis zur Folge bn: Zeigen Sie, dass lim
k→∞b2k−1 = e−1.
28.) (Verallgemeinertes Babylonisches Wurzelziehen) Zu gegebenema ∈ + berechnen wir die n.te Wurzel vonan¨aherungsweise mit folgendem Verfahren: Ausgehend von einem Startwerta0>0 berechnen wir f¨ur k∈ 0 weitere Folgenglieder gem¨aß der Vorschrift
ak+1 = (1− 1
n)ak + 1 n · a
an−1k
. Zeigen Sie, dass die so definierte Folge (ak∈ )k∈ 0 gegen √n
akonvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst (etwa mit Hilfe von Aufgabe 16b), dass die Folge (ak ∈ )k∈ 0
durch √n
anach unten beschr¨ankt ist.
Abgabe der schriftlichen L¨osungen bis sp¨atestensMittwoch, den 14. Dezember, 12:00 Uhr, in die richtigen Briefk¨asten neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
