Grundwissen-Mathematik-9.Jahrgangsstufe Geometrie G9
1
• Die zentrische Streckung
Eine zentrische Streckung mit Zentrum Z und Abbildungsfaktor m (m ∈ ℝ\{0}) ist eine Abbildung, bei der jedem Punkt P der Zeichenebene ein Punkt P’ wie folgt zugeordnet wird:
1) P ≠ Z : P’ liegt auf der Geraden PZ mit ZP'=m⋅ZP Für m > 0 liegt Z nicht zwischen P und P’
Für m < 0 liegt Z zwischen P und P’
2) P = Z: P’ = P = Z (Z ist der einzige Fixpunkt) Eigenschaften
o Die zentrische Streckung ist geradentreu, kreistreu, winkeltreu, verhältnistreu und inzidenztreu
o Gerade und Bildgerade sind parallel
o Jede Bildstrecke ist |m|-mal so lang wie die Originalstrecke o Die Bildfigur hat den m2-fachen Flächeninhalt der Originalfigur
• Der Strahlensatz
Wird eine Geradenkreuzung von einem Parallelenpaar geschnitten, das den Kreuzungs- punkt nicht enthält, dann gilt:
Je zwei Abschnitte auf der einen Kreuzungsgeraden verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Kreuzungsgeraden.
Die ausgeschnittenen Parallelstrecken verhalten sich wie die Entfernungen entsprechender Endpunkte vom Kreuzungspunkt.
Beispiele:
BB' ZB AA'
; ZA AB
B' A' ZB ZB' ZA
ZA'= = =
Folgerung aus dem Strahlensatz
In jedem Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt, dem Schwerpunkt S.
S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1.
A A
A'
B
B'
B A'
B'
Z
Z
Grundwissen-Mathematik-9.Jahrgangsstufe Geometrie G9
2
• Innere und äußere Teilung einer Strecke
Innere Teilung von [AB]: τ > 0
Äußere Teilung von [AB]: τ < 0
Der Punkt Ti ≠ B teilt die Strecke [AB] innen im Verhältnis τ = ATi :TiB
(
τ>0)
.Der Punkt Ta ≠ B auf AB (außerhalb [AB]) teilt die Strecke [AB] außen im Verhältnis |τ|
mit τ = −ATa :TaB.
• Goldener Schnitt
Eine Strecke wird nach dem goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die ganze Strecke zum größeren Abschnitt verhält wie der größere Abschnitt zum kleineren.
b a a
b a+ =
• Ähnlichkeitssätze
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie o in zwei Winkeln übereinstimmen
o im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen
o im Verhältnis zweier Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen
o im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen
• Die Satzgruppe des Pythagoras Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Höhensatz: h2 = p⋅q
Kathetensatz: a2 = c⋅p bzw. b2 = c⋅q Satz des Pythagoras: c2 = a2 + b2
Folgerungen:
Diagonale d im Quadrat mit der Seitenlänge a: d = a 2
Höhe h im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a: h = 3 2 a
Entfernung zweier Punkte A(a1 | a2) und B(b1 | b2): AB=
(
a2−a1)
2+(
b2−b1)
2• Pyramide
Ist die Grundfläche ein n-Eck, so heißt die Pyramide n-seitig.
Eine Pyramide heißt gerade, wenn die Grundfläche einen Umkreis hat und der Höhenfußpunkt mit dem Umkreismittelpunkt zusammenfällt.
Volumen der Pyramide: V = G h 3
1⋅ ⋅ (G: Grundfläche, h: Höhe)
A A
B B Ti
Ta
a b
A B
C
b a
c
p h
q
