a) Bestimmen Sie die Koeffizienten des impliziten Runge-Kutta-Verfahrens, dass durch Kolloka- tion mit den St ¨utzstellen der Simpsonregel erstellt wird

Numerik, Wintersemester 2013 Aufgabenblatt 8

Prof. Dr. Peter Bastian Abgabe 18. Dezember 2013 bis 11:15

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 KOLLOKATION

In dieser ¨Ubung sollen Sie ein Runge-Kutta-Verfahren durch Kollokation erzeugen.

a) Bestimmen Sie die Koeffizienten des impliziten Runge-Kutta-Verfahrens, dass durch Kolloka- tion mit den St ¨utzstellen der Simpsonregel erstellt wird.

Simpsonregel:Q(f) = ^b−a₆ (f(a) + 4f(^a+b₂ ) +f(b)) b) Welche Konsistenzordnung hat dieses Verfahren?

4 Punkte U¨BUNG2 KOLLOKATION

Zeigen Sie, dass die Koeffizienten eines durch Kollokation definierten impliziten Runge-Kutta-Verfahrens folgende Beziehungen erf ¨ullen:

a)

s

X

j=1

b_jc^k−1_j = 1

k, k= 1, . . . , s

b)

s

X

j=1

a_ijc^k−1_j = c^k_i

k, i, k= 1, . . . , s

Anmerkung: F ¨urk= 1folgt damit insbesondere die Konsistenz und die Invarianz unter Autonomi-

sierung (vgl. ¨Ubung 4/Aufgabe 4). 3 Punkte

U¨BUNG3 KONTRAKTION IN DERNEWTON-ITERATION

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass f ¨ur gen ¨ugend kleine Schrittweitenh_nf ¨ur das implizite Euler- Verfahren auch das Newton-Verfahren konvergiert. Leider wurde der Beweis nicht ganz korrekt ge- macht. In dieser Aufgabe sollen Sie den Beweis wasserglatt beweisen.

a) SeienA, B ∈R^n×n, regul¨ar. Zuerst zeigen Sie die Ungleichung kA⁻¹−B⁻¹k ≤ kA⁻¹kkB⁻¹kkA−Bk.

b) F ¨ur die Newton-Iteration gilt

y^(k+1)_n =− J^(k)

y^(k)_n −1

yn−1−

J^(k)y^(k)_n −1 h_nf

t_n, y^(k)_n

−h_nf_x

t_n, y^(k)_n y_n^(k)

=g y_n^(k)

.

Benutzen Sie das Ergebnis aus a) um folgende Ungleichung zu beweisen:

kg y^(k)_n

−g

˜ y_n^(k)

k ≤K h_nky^(k)_n −y˜^(k)_n k, wobeiKeine Konstante ist. Der Beweis muss technisch korrekt sein!

4 Punkte

U¨BUNG4 BDF 2

Die Koeffizienten der impliziten R ¨uckw¨artsdifferenzenformeln

m

X

µ=0

L⁰_µ,m(tn)yn−µ=fn

ergeben sich direkt aus den Ableitungen der Lagrange-Polynome

Lµ,m(t) =

m

Y

l=0,l6=µ

t−tk−l

tk−µ−tk−l

.

Geben Sie im Fallm= 2die Koeffizienten in Abh¨angigkeit der beliebigen Schrittweitenhn=tn−tn−1

undhn−1 =tn−1−tn−2an. 4 Punkte

U¨BUNG5 LMM FORMEN

Die L ¨osungu(t)einer AWA erf ¨ulle

u(tn) =u(tn−σ) + Z tn

tn−σ

f(s, u(s))ds.

a) Beweisen Sie unter Verwendung des Interpolationspolynoms

pm(t) =

m

X

µ=0

f(tk−µ, u(tk−µ))Lµ,m(t) mit Lµ,m(t) =

m

Y

l=0,l6=µ

t−tk−l

tk−µ−tk−l

die Beziehung

u(t_n) =u(tn−σ) +

m

X

µ=0

f(tk−µ, u(tk−µ)) Z tn

tn−σ

L_µ,m(s)ds+O(h^m+2),

welche die Grundlage der Adams-Formeln beschreibt. (Hinweis: Verwenden Sie die Interpola- tionsfehlerabsch¨atzung aus Numerik 0.)

b) Beweisen Sie die Beziehung

m

X

µ=0

L⁰_µ,m(t_n)u(t_k−µ) =f(t_n, u(t_n)) +O(h^m),

welche die R ¨uckw¨artsdifferenzenformeln begr ¨undet.

4 Punkte