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1. Es sei E = C( R ) der Fr´ echetraum der stetigen Funktionen auf R . Ferner definieren wir

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Academic year: 2021

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Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 12.10.2018 Blatt 1

Ubungen zu Funktionalanalysis I ¨

1. Es sei E = C( R ) der Fr´ echetraum der stetigen Funktionen auf R . Ferner definieren wir

F

1

:= {f ∈ E| f (x) = 0 f¨ ur alle x > 0} , F

2

:= {f ∈ E| f (n) > 0 f¨ ur alle n ∈ N } . (a) (5P) Ist F

1

abgeschlossen? Ist F

2

abgeschlossen?

(b) (5P) Ist F

1

offen? Ist F

2

offen?

2. Es sei X ein topologischer Raum und es sei M ⊂ X. Mit ˚ M bezeichnen wir die Menge ihrer inneren Punkte.

(a) (5P) Zeigen Sie, dass M genau dann offen ist, wenn M = ˚ M.

(b) (5P) Zeigen Sie, dass ˚ M offen ist.

3. (10P) Es sei τ

cc

die ko-abz¨ ahlbare Topologie auf R . Zeigen Sie die Unstetigkeit der Addition

+ : ( R , τ

cc

) × ( R , τ

cc

) → ( R , τ

cc

).

Abgabe: Mi, 17.10.2018, in der ¨ Ubung Besprechung: 24. Oktober

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