1) Betrachten Sie die Funktion ψ ∈ C ∞ ( R ) ∼ = C ∞ ( E 1 ),

Ubungsaufgaben: Partielle Differentialgleichungen I ¨ Serie 12

Prof. Dr. H.-Ch. Grunau , PD Dr. B. Rummler Wintersemester 2020/21

1) Betrachten Sie die Funktion ψ ∈ C ^∞ ( R ) ∼ = C ^∞ ( E ¹ ),

ψ(t) :=

e ^−1/t

falls t > 0, 0 falls t ≤ 0.

Zeigen Sie, dass f¨ ur alle k ∈ N ⁰ und t > 0 die Absch¨ atzung gilt:

d dt

k

ψ (t)

≤ k!

2 t

k

e ^−1/(4t

⁾ .

Hinweis. Betrachten Sie z 7→ ψ(z) f¨ ur Re(z) > 0 als holomorphe Funktion. F¨ ur t > 0 betrachten Sie den Weg [0, 2π] 3 s 7→ γ (s) := t + (t/2)e ^is . Verwenden Sie die Cauchysche Integralformel. Zeigen Sie, dass

∀x ∈ [−1, 1] : 3 + 4x + 2x ² ( ⁵ ₄ + x) ² ≥ 1.

2) Betrachten Sie wie in Aufgabe 12.1 die Funktion ψ ∈ C ^∞ ( R ) ∼ = C ^∞ ( E ¹ ), ψ(t) :=

e ^−1/t

falls t > 0, 0 falls t ≤ 0, sowie f¨ ur (t, x) ∈ [0, ∞) × E ¹

u(t, x) :=

( P ∞ k=0

∂

∂t

k

ψ(t) _(2k)! ^x

falls t > 0,

0 falls t ≤ 0.

Zeigen Sie:

(a) u ∈ C ⁰ ([0, ∞) × R ) ∩ C ^∞ ((0, ∞) × R ). Es gilt sogar C ^∞ ((−∞, ∞) × R )!

(b) ∂u

∂t − ∂ ² u

∂x ² = 0 in (0, ∞) × R , u(0, x) ≡ 0.

3) Bestimmen Sie in Abh¨ angigkeit vom Anfangsdatum u ₀ ∈ R das maximale Existenz- intervall (T ⁻ , T ⁺ ) f¨ ur das Anfangswertproblem

du

dt + u = |u| ² u f¨ ur t ∈ (T ⁻ , T ⁺ ), u(0) = u ₀ .

- - - – - - - -

Bitte wenden!!!

4) Sei −∞ < t ₀ < t ₁ ≤ ∞, ψ : [t ₀ , t ₁ ) → E ¹ sei stetig. Es gebe Konstanten a ∈ R , b ≥ 0, so dass

∀t ∈ [t ₀ , t ₁ ) : ψ(t) ≤ a + b Z t

t

ψ(τ ) dτ.

Dann folgt:

∀t ∈ [t 0 , t 1 ) : ψ(t) ≤ a · e ^b(t−t

⁾ .

Hinweis. Zeigen Sie mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises, dass f¨ ur jedes ε > 0 gilt:

∀t ∈ [t 0 , t 1 ) : ψ(t) < (a + ε) · e ^b(t−t

⁾ .

5) (Abgabe-Aufgabe) Sei T > 0, f ∈ C ¹ ( E ¹ ), ϕ ∈ C ⁰ b ( R ⁿ ). Weiter seien u, v ∈ C ⁰ b ([0, T ]×

R ⁿ ) ∩ C ^1,2 ((0, T ] × R ⁿ ) L¨ osungen des Cauchyproblems, wie in Satz 9.2 der Vorlesung konstruiert:

( ∂u

∂t − ∆u = f ◦ u in R ⁿ T , u(0, . ) = ϕ in R ⁿ ;

( ∂v

∂t − ∆v = f ◦ v in R ⁿ T , v(0, . ) = ϕ in R ⁿ . Zeigen Sie mit Hilfe des Gronwallschen Lemmas Eindeutigkeit, d.h.

u = v in R ⁿ T .

6) Sei m > 1 eine feste reelle Zahl. Man bestimme L¨ osungen u ≥ 0 f¨ ur die nichtlineare Gleichung

m ∂u

∂t − ∆(u ^m ) = 0, in (0, ∞) × R ⁿ , mit Hilfe des Separations- und Selbst¨ ahnlichkeitsansatzes

u(t, x) = h(t)f(ξ), ξ = kxk ² t ^σ ,

wobei die positive Zahl σ geeignet zu bestimmen ist. Man mache den Ansatz h(t) = t ^−nσ/2 , leite die gew¨ ohnliche Differentialgleichung f¨ ur f her und l¨ ose diese so, dass man bekommt:







u m (t, x) = t ⁻

n

1 − γ m

_kxk

t

o

+ , t > 0, γ _m = ^m−1 _2κ , κ = n(m − 1) + 2.

In welchem Sinne existiert ∆(u ^m _m )?

Man beweise, dass u _m f¨ ur m → 1 + 0 lokal gleichm¨ aßig in (0, ∞) × R ⁿ gegen ein

Vielfaches der Fundamentall¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung strebt.