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Einführung in die diskrete Mathematik SS 2015

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Academic year: 2021

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1. Übungsblatt

Einführung in die diskrete Mathematik SS 2015

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Hüpfende Pferde

Betrachten Sie das zweidimensionale Einheitsgitter. Sie sehen 4 Pferde an den Po- sitionen (0,0), (0,1), (1,0) und (1,1); die Pferde formen also ein Quadrat der Fläche 1. Bekanntlicherweise hüpfen Pferde sehr gerne über einander; wenn Pferd A über Pferd B hüpft, landet A auf demjenigen Gitterpunkt der Geraden AB, der dieselbe Distanz zu B hat, aber auf der anderen Seite liegt. Pferde können beliebig oft hüpfen.

Ist es möglich, die Pferde so übereinander hüpfen zu lassen, dass sie ein Quadrat mit größerer Fläche als 1 formen?

Aufgabe 2: Abzählbarkeit

i) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass Q

+

abzählbar ist. Zeigen Sie, dass auch Q abzählbar ist.

ii) Zeigen Sie, dass die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist.

Aufgabe 3: Mehr Abzählbarkeit

Zeigen Sie, dass N

3

abzählbar ist, ohne einen Satz aus der Vorlesung direkt zu nutzen.

Aufgabe 4: Über Abzählbarkeit

i) Sei M eine Menge. Zeigen Sie, dass M nicht gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge P (M ) ist.

Tip: Beweisen Sie stärker, dass es keine surjektive Funktion f : M → P (M ) gibt, indem Sie die Menge A := {x ∈ M | x / ∈ f (x)} betrachten.

ii) Folgern Sie, dass die Menge aller 0,1-Folgen, d.h. die Menge aller Funktionen

von N nach {0, 1}, überabzählbar ist.

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