Sommersemester 2014 PD Dr. Nils Rosehr
Inhaltsverzeichnis
I Einleitung 5
II Kombinatorik 5
1 Grundlagen der Kombinatorik 6
1.1 Standardbezeichnungen . . . 6
1.2 Endliche Mengen . . . 6
1.5 Potenzmenge . . . 7
1.6 Partitionen . . . 8
1.8 Schubfachprinzip . . . 8
VI Übungsaufgaben 9
Index 10
I Einleitung
Die diskrete Mathematik ist keine Geheimwissenschaft, sondern vielmehr ist diskret hier als Abgrenzung zu kontinuierlich zu verstehen. Dabei wird der Begriff unterschiedlich allgemein gefasst. Häufig geht es um mathematische Probleme oder Theorien die mit endlichen oder abzählbaren Strukturen zu tun haben. Am besten wird dies vielleicht an einigen Beispielen deutlich.
Beispiel 1. Nehmen wir an, wir wollen eine Treppe mit 11 Stufen besteigen und können mit einem Schritt entweder eine oder zwei Stufen nehmen. Für die ersten drei Stufen haben wir drei Möglichkeiten: 3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1. Für die gesamte Treppe von 11 Stufen gibt es 144 Möglichkeiten.
Natürlich ist man in der diskreten Mathematik nicht an der Lösung dieses speziellen Problems interessiert, sondern fragt sich: Gibt es eine Formel für die Anzahl der Möglichkeiten in Abhängigkeit der Anzahl der Stufen? Kann man auch ähnliche Probleme lösen, etwa, wenn man es schafft 3 Stufen (oder alle) auf einmal zu nehmen? Gibt es ein allgemeines Verfahren, zu solchen Lösungsformeln zu kommen?
Beispiel 2. Wir wollen ein Schachbrett aus 8 mal 8 Feldern mit 8 Farben so einfärben, dass in keiner Horizontalen oder Vertikalen eine Farbe doppelt auftritt. Dies ist auf vielerlei Weisen möglich und hängt auch gar nicht von der Zahl 8 ab. Solche Einfärbungen werdenlateinische Quadrategenannt. Nun stellen wir die Frage, ob es zwei solche Einfärbungen gibt (sogenannteorthogo- nalelateinische Quadrate), so dass die von entsprechenden Feldern gebildeten Farbpaare alle 8·8 = 64 Farbkombinationen durchlaufen. Eine einfache (beja- hende) Antwort lässt sich mit der algebraischen Struktur des endlichen Körpers mit 8 Elementen geben. Schon 1780 hat Euler die Frage gestellt, ob es auch orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung 6 gibt. Er konnte diese Frage nicht beantworten und vermutete, dass dies für alle Ordnungen der Form 4k+2 nicht möglich sei. Heute weiß man, dass Euler nur für k= 1 Recht hatte.
Beispiel 3.Viele kennen seit den Kindertagen dasHaus vom Nikolaus. Dabei geht es darum in einem bestimmten Graphen einen Weg zu finden, der alle Kanten genau einmal durchläuft: oder . Solch ein Weg heißt übrigens Euler-Tour, nach Euler, der sich mit dem ähnlichenKönigsberger Brückenpro- blem beschäftigt hat. Diese Touren haben durchaus eine praktische Relevanz, denn z.B. für die Müllabfuhr stellt solch eine Tour einen günstigen Weg dar.
Hier ergeben sich viele Fragen: Ist eine solche Tour auch für andere Graphen möglich? Wenn nicht, gibt es ein Kriterium? Kann man die Touren auch mit gleichem Anfangs- und Endpunkt wählen?
II Kombinatorik
1 Grundlagen der Kombinatorik
1.1 Standardbezeichnungen. Für die natürlichen Zahlen (ohne Null) schreiben wirN={1,2,3, . . .},N0={0}∪Nund{1, . . . , n}={k∈N:k≤n}
für n ∈ N0. Weiter benutzen wir Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C. Für die Potenzmen- ge einer Menge X (also die Menge aller Teilmengen von X) schreiben wir P(X) oder 2X. Wir benutzen die Gaußklammern zum Auf- und Abrunden:
bxc:= max{z∈Z:z≤x} unddxe:= min{z∈Z:z≥x} fürx∈R.
1.2 Endliche Mengen. Eine MengeAistendlich, wenn es einn∈N0und eine Abzählung, d.h. eine Bijektion f :{1, . . . , n} →A gibt. Die Zahl n ist eindeutig bestimmt (siehe Übungsaufgabe 1.1) und heißt die Größe, Länge oder Mächtigkeit von A; wir schreiben |A| für die Mächtigkeit von A und nennen Aeinen-Menge. FallsAnicht endlich ist, setzen wir|A|:=∞(siehe Bemerkung nach Satz 1.4) und benutzen ∞ ±x =±x+∞ =∞+∞=∞ sowiex <∞fürx∈R.
1.3 Lemma. Seien A undB Mengen.
(a) Es gilt|A|= 0genau dann, wennA=∅.
(b) Es istA∪B genau dann endlich, wennAund B endlich sind.
(c) Es gilt|A∪B|+|A∩B|=|A|+|B|.
(d) Aus B(Afolgt|B|<|A|, falls A(oderB)endlich ist.
(e) Für eine Abbildungf :A→B gilt |f(A)| ≤ |A|.
Beweis. (a) Die „leere Abbildung“∅ →A ist genau dann surjektiv, wennA leer ist.
(∗) Seien nun zunächstAund B endlich und disjunkt. Wir zeigen |A∪B|=
|A|+|B|per Induktion über|A|: Den Induktionsanfang liefert (a). Für|A|>0 können wir wieder nach (a) eina∈Awählen. Es folgt|A\ {a}|=|A| −1, denn ist f : {1, . . . ,|A|} →A ein Abzählung, so istg : {1, . . . ,|A| −1} →A\ {a}
mit g(x) =f(x) für x6=f−1(a) und g(f−1(a)) =f(|A|), falls f−1(a)6=|A|, eine Abzählung [vertauscheaundf(|A|)]. Es folgt|(A\ {a})∪B|=|(A∪B)\ {a}|=|A∪B| −1 ebenso, daAundBdisjunkt sind, und Induktion liefert die Behauptung.
(d) In obigem Induktionsbeweis haben wir|A\{a}|=|A|−1 gezeigt füra∈A;
daraus folgt die Behauptung per Induktion, wenn wira∈A\B wählen. [(∗) lässt sich nicht anwenden, da wir (noch nicht) wissen, dassBundA\Bendlich sind.]
(b) SindAundBendlich, so folgt aus (∗), dassA∪Bendlich ist. Aus (d) folgt die andere Implikation, weil AundB Teilmengen vonA∪B sind.
(c) Wegen (b) müssen wir nur noch den endlichen Fall zeigen: |A∪B| =
|A\(A∩B)|+|B|=|A| − |A∩B|+|B|.
(e) Für unendlichesAist nichts zu zeigen. Wähle sonst eine TeilmengeA0⊆A, so dass für jedesb∈f(A) die Faser f−1(b) genau ein Element vonA0 enthält [A0 ist also ein Repräsentantensystem für die Fasern von f.] Daf|A0 injektiv ist, folgt |f(A)|=|f(A0)|=|A0| ≤ |A|nach (d). 2 1.4 Satz. Für endliche MengenA undB gilt|A|=|B|genau dann, wenn es eine Bijektion A→B gibt.
Gilt dies, so ist eine Abbildung h : A → B genau dann bijektiv, wenn sie injektiv oder surjektiv ist.
Beweis. Gilt n:=|A| =|B|, so gibt es Bijektionen f :{1, . . . , n} →Aund g:{1, . . . , n} →B, und wir können als Bijektiong◦f−1wählen. Ist umgekehrt eine Bijektion h: A → B gegeben, dann lässt sich diese mit einer Bijektion f :{1, . . . ,|A|} →Averketten zu einer Bijektion h◦f :{1, . . . ,|A|} →B. Es folgt |B|=|A|.
Isthinjektiv, so isth:A→h(A) bijektiv und nach dem schon gezeigten folgt
|h(A)| = |A| = |B| und somit h(A) = B nach 1.3(d). Also ist h surjektiv.
Ist hnicht injektiv, so gibt es ein a∈A mit h(A\ {a}) =h(A) und es folgt
|h(A)| = |h(A\ {a})| ≤ |A\ {a}| < |A| = |B| nach 1.3. Also ist h nicht
surjektiv. 2
Die erste Aussage des Satzes ist falsch für unendliche Mengen [die zweite so- wieso]. Das liegt daran, dass es verschiedene unendliche Mächtigkeiten gibt, etwa |N| = ∞ = |R|, aber es gibt keine Bijektion N → R (Cantors zweites Diagonalargument).
Die Forderung der Existenz einer Bijektion zwischen zwei Mengen macht aber auch für unendliche Menge Sinn und wir nennen daher zwei Mengen gleich- mächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt wie im Satz.
Die Endlichkeit von Mengen lässt sich auch noch auf andere Art definieren:
Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn es eine Injektion von ihr in eine echte Teilmenge gibt. Für eine weitere Möglichkeit siehe Übungsaufgabe 1.4.
1.5 Satz (Potenzmenge). Für eine endliche Menge M gilt|2M|= 2|M|. Beweis. Wir führen Beweis per Induktion nach|M|. Für|M|= 0 haben wir M =∅ und daher 2M ={∅}, also|2M|= 1. Sei nun|M|>0. Wir können also
m∈M wählen und setzen
A:={X⊆M :m6∈X} und B:={X⊆M :m∈X}.
Dann gilt 2M =A∪B und A∩B =∅. Es folgt|2M| =|A|+|B|. Ferner ist A = 2M\{m} also |A| = 2|M|−1 per Induktion. Die Abbildung A →B, X 7→
X∪ {m} ist eine Bijektion mit der InversenY 7→Y \ {m}. Es folgt|A|=|B|
und daher |2M|= 2|A|= 2|M|. 2
1.6 Partitionen. EinePartitioneiner MengeM ist eine Menge von paar- weise disjunkten Teilmengen von M, deren VereinigungM ist.
Für eine endliche PartitionP einer MengeM gilt
|M|= X
X∈P
|X|.
Häufige Anwendung: |M|=P
b∈B|f−1(b)|für eine Abbildungf :M →B.
Beweis. Für|P|= 0,1 ist die Aussage trivial und für|P|= 2 ist die Aussage ein Spezialfall von 1.3(c). Die Behauptung folgt damit per Induktion über
|P|. 2
1.7 Korollar. Für endliche Mengen A und B gilt |A×B| = |A| · |B| und
|An|=|A|n fürn∈N0 (mit00= 1).
Beweis. Dies folgt aus 1.6, weilA×B die Partition P :={A× {b} :b∈B}
hat und|A× {b}|=|A|sowie|P|=|B|gilt. Die zweite Behauptung folgt dann
per Induktion übern. 2
1.8 Schubfachprinzip. WennnObjekte auf weniger alsnFächer verteilt werden, so finden sich in einem Fach mindestens zwei Objekte. Oder: wenn n Objekte mit k < n Farben eingefärbt werden, so haben mindestens zwei Objekte die gleiche Farbe.
Formal:SindAundB endliche Mengen mit|B|<|A|, so ist jede Abbildung f :A→B nicht injektiv, d.h. es existiert einb∈B mit |f−1(b)| ≥2.
Allgemeiner: Fürf :A→B mit|B|<∞existiert einb∈B mit
|f−1(b)| ≥ |A|
|B|.
VI Übungsaufgaben
1.1 Aufgabe. Beweisen Sie die folgende Aussage: Für n, m ∈ N0 existiert genau dann eine Bijektionf :{1, . . . , n} → {1, . . . , m}, wennn=mgilt.
1.2 Aufgabe. Die folgende Figur ist aus zwei Quadraten und vier gleichseiten Dreiecken mit gleicher Seitenlänge zusammengesetzt. Finden Sie eine Zerle- gung in 7 kongruente Teile (das sind bis auf Verschiebungen, Drehungen oder Spiegelungen gleiche Teile).
1.3 Aufgabe. Zwei Spieler spielen folgendes Spiel. Als Vorbereitung werden sechs Punkte auf ein Blatt Papier gezeichnet, so dass keine drei auf einer Gera- den liegen. Jeder Spieler hat eine Farbe, und die Spieler zeichnen abwechselnd eine Strecke mit ihrer Farbe zwischen zwei noch nicht verbundene Punkte. Ver- loren hat, wer zuerst ein Dreieck komplett in seiner Farbe fertig stellen muss.
Zeigen Sie, dass ein Unentschieden nicht möglich ist.
1.4 Aufgabe. Zeigen Sie, dass eine Menge M genau dann endlich ist, wenn es eine Abbildung f : M →M gibt, so dass für jede Teilmenge X ⊆M die Inklusionf(X)⊆X nur für die offensichtlichen FälleX =∅oderX=M gilt.
Index
Abzählung, 6 endlich, 6 gleichmächtig, 7 Größe, 6 Länge, 6 Mächtigkeit, 6 n-Menge, 6 Partition, 8 Potenzmenge, 6 Schubfachprinzip, 8
