Einführung in die Diskrete Mathematik

Inhaltsverzeichnis

I Einleitung 5

II Kombinatorik 5

1 Grundlagen der Kombinatorik 6

1.1 Standardbezeichnungen . . . . 6

1.2 Endliche Mengen . . . . 6

1.5 Potenzmenge . . . . 7

1.6 Partitionen . . . . 8

1.8 Schubfachprinzip . . . . 8

1.9 Anwendungen . . . . 8

1.10 Prinzip der doppelten Abzählung . . . . 10

1.11 Beispiel . . . . 10

2 Binomialkoeffizienten 10 2.1 Permutationen und Fakultät . . . . 10

VI Übungsaufgaben 11

Index 12

I Einleitung

Die diskrete Mathematik ist keine Geheimwissenschaft, sondern vielmehr ist diskret hier als Abgrenzung zu kontinuierlich zu verstehen. Dabei wird der Begriff unterschiedlich allgemein gefasst. Häufig geht es um mathematische Probleme oder Theorien die mit endlichen oder abzählbaren Strukturen zu tun haben. Am besten wird dies vielleicht an einigen Beispielen deutlich.

Beispiel 1. Nehmen wir an, wir wollen eine Treppe mit 11 Stufen besteigen und können mit einem Schritt entweder eine oder zwei Stufen nehmen. Für die ersten drei Stufen haben wir drei Möglichkeiten: 3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1. Für die gesamte Treppe von 11 Stufen gibt es 144 Möglichkeiten.

Natürlich ist man in der diskreten Mathematik nicht an der Lösung dieses speziellen Problems interessiert, sondern fragt sich: Gibt es eine Formel für die Anzahl der Möglichkeiten in Abhängigkeit der Anzahl der Stufen? Kann man auch ähnliche Probleme lösen, etwa, wenn man es schafft 3 Stufen (oder alle) auf einmal zu nehmen? Gibt es ein allgemeines Verfahren, zu solchen Lösungsformeln zu kommen?

Beispiel 2. Wir wollen ein Schachbrett aus 8 mal 8 Feldern mit 8 Farben so einfärben, dass in keiner Horizontalen oder Vertikalen eine Farbe doppelt auftritt. Dies ist auf vielerlei Weisen möglich und hängt auch gar nicht von der Zahl 8 ab. Solche Einfärbungen werden lateinische Quadrate genannt. Nun stellen wir die Frage, ob es zwei solche Einfärbungen gibt (sogenannte orthogo- nale lateinische Quadrate), so dass die von entsprechenden Feldern gebildeten Farbpaare alle 8 · 8 = 64 Farbkombinationen durchlaufen. Eine einfache (beja- hende) Antwort lässt sich mit der algebraischen Struktur des endlichen Körpers mit 8 Elementen geben. Schon 1780 hat Euler die Frage gestellt, ob es auch orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung 6 gibt. Er konnte diese Frage nicht beantworten und vermutete, dass dies für alle Ordnungen der Form 4k+2 nicht möglich sei. Heute weiß man, dass Euler nur für k = 1 Recht hatte.

Beispiel 3. Viele kennen seit den Kindertagen das Haus vom Nikolaus. Dabei geht es darum in einem bestimmten Graphen einen Weg zu finden, der alle Kanten genau einmal durchläuft: oder . Solch ein Weg heißt übrigens Euler-Tour, nach Euler, der sich mit dem ähnlichen Königsberger Brückenpro- blem beschäftigt hat. Diese Touren haben durchaus eine praktische Relevanz, denn z.B. für die Müllabfuhr stellt solch eine Tour einen günstigen Weg dar.

Hier ergeben sich viele Fragen: Ist eine solche Tour auch für andere Graphen

möglich? Wenn nicht, gibt es ein Kriterium? Kann man die Touren auch mit

gleichem Anfangs- und Endpunkt wählen?

1 Grundlagen der Kombinatorik

1.1 Standardbezeichnungen. Für die natürlichen Zahlen (ohne Null) schreiben wir N = {1, 2, 3, . . . }, N 0 = {0}∪ N und {1, . . . , n} = {k ∈ N : k ≤ n}

für n ∈ N 0 . Weiter benutzen wir Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C . Für die Potenzmen- ge einer Menge X (also die Menge aller Teilmengen von X) schreiben wir P (X) oder 2 ^X . Wir benutzen die Gaußklammern zum Auf- und Abrunden:

bxc := max{z ∈ Z : z ≤ x} und dxe := min{z ∈ Z : z ≥ x} für x ∈ R .

1.2 Endliche Mengen. Eine Menge A ist endlich, wenn es ein n ∈ N 0 und eine Abzählung, d.h. eine Bijektion f : {1, . . . , n} → A gibt. Die Zahl n ist eindeutig bestimmt (siehe Übungsaufgabe 1.1) und heißt die Größe, Länge oder Mächtigkeit von A; wir schreiben |A| für die Mächtigkeit von A und nennen A eine n-Menge. Falls A nicht endlich ist, setzen wir |A| := ∞ (siehe Bemerkung nach Satz 1.4) und benutzen ∞ ± x = ±x + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ sowie x < ∞ für x ∈ R .

1.3 Lemma. Seien A und B Mengen.

(a) Es gilt |A| = 0 genau dann, wenn A = ∅.

(b) Es ist A ∪ B genau dann endlich, wenn A und B endlich sind.

(c) Es gilt |A ∪ B| + |A ∩ B | = |A| + |B|.

(d) Aus B ( A folgt |B | < |A|, falls A (oder B) endlich ist.

(e) Für eine Abbildung f : A → B gilt |f (A)| ≤ |A|.

Beweis. (a) Die „leere Abbildung“ ∅ → A ist genau dann surjektiv, wenn A leer ist.

(∗) Seien nun zunächst A und B endlich und disjunkt. Wir zeigen |A ∪ B| =

|A| +|B| per Induktion über |A|: Den Induktionsanfang liefert (a). Für |A| > 0 können wir wieder nach (a) ein a ∈ A wählen. Es folgt |A \ {a}| = |A| − 1, denn ist f : {1, . . . , |A|} → A ein Abzählung, so ist g : {1, . . . , |A| − 1} → A \ {a}

mit g(x) = f (x) für x 6= f ⁻¹ (a) und g(f ⁻¹ (a)) = f (|A|), falls f ⁻¹ (a) 6= |A|, eine Abzählung [vertausche a und f (|A|)]. Es folgt |(A \ {a}) ∪ B| = |(A ∪ B) \ {a}| = |A ∪ B| − 1 ebenso, da A und B disjunkt sind, und Induktion liefert die Behauptung.

(d) In obigem Induktionsbeweis haben wir |A\{a}| = |A|−1 gezeigt für a ∈ A;

daraus folgt die Behauptung per Induktion, wenn wir a ∈ A \ B wählen. [(∗) lässt sich nicht anwenden, da wir (noch nicht) wissen, dass B und A\ B endlich sind.]

(b) Sind A und B endlich, so folgt aus (∗), dass A ∪ B endlich ist. Aus (d) folgt

die andere Implikation, weil A und B Teilmengen von A ∪ B sind.

(c) Wegen (b) müssen wir nur noch den endlichen Fall zeigen: |A ∪ B| =

|A \ (A ∩ B )| + |B| = |A| − |A ∩ B| + |B |.

(e) Für unendliches A ist nichts zu zeigen. Wähle sonst eine Teilmenge A ⁰ ⊆ A, so dass für jedes b ∈ f (A) die Faser f ⁻¹ (b) genau ein Element von A ⁰ enthält [A ⁰ ist also ein Repräsentantensystem für die Fasern von f .] Da f | A

injektiv ist, folgt |f (A)| = |f (A ⁰ )| = |A ⁰ | ≤ |A| nach (d). 2 1.4 Satz. Für endliche Mengen A und B gilt |A| = |B| genau dann, wenn es eine Bijektion A → B gibt.

Gilt dies, so ist eine Abbildung h : A → B genau dann bijektiv, wenn sie injektiv oder surjektiv ist.

Beweis. Gilt n := |A| = |B|, so gibt es Bijektionen f : {1, . . . , n} → A und g : {1, . . . , n} → B, und wir können als Bijektion g ◦ f ⁻¹ wählen. Ist umgekehrt eine Bijektion h : A → B gegeben, dann lässt sich diese mit einer Bijektion f : {1, . . . , |A|} → A verketten zu einer Bijektion h ◦ f : {1, . . . , |A|} → B. Es folgt |B| = |A|.

Ist h injektiv, so ist h : A → h(A) bijektiv und nach dem schon gezeigten folgt

|h(A)| = |A| = |B| und somit h(A) = B nach 1.3(d). Also ist h surjektiv.

Ist h nicht injektiv, so gibt es ein a ∈ A mit h(A \ {a}) = h(A) und es folgt

|h(A)| = |h(A \ {a})| ≤ |A \ {a}| < |A| = |B| nach 1.3. Also ist h nicht

surjektiv. 2

Die erste Aussage des Satzes ist falsch für unendliche Mengen [die zweite so- wieso]. Das liegt daran, dass es verschiedene unendliche Mächtigkeiten gibt, etwa | N | = ∞ = | R |, aber es gibt keine Bijektion N → R (Cantors zweites Diagonalargument ).

Die Forderung der Existenz einer Bijektion zwischen zwei Mengen macht aber auch für unendliche Menge Sinn und wir nennen daher zwei Mengen gleich- mächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt wie im Satz.

Die Endlichkeit von Mengen lässt sich auch noch auf andere Art definieren:

Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn es eine Injektion von ihr in eine echte Teilmenge gibt. Für eine weitere Möglichkeit siehe Übungsaufgabe 1.4.

1.5 Satz (Potenzmenge). Für eine endliche Menge M gilt |2 ^M | = 2 ^{|M |} . Beweis. Wir führen Beweis per Induktion nach |M |. Für |M | = 0 haben wir M = ∅ und daher 2 ^M = {∅}, also |2 ^M | = 1. Sei nun |M | > 0. Wir können also m ∈ M wählen und setzen

A := {X ⊆ M : m 6∈ X } und

B := {X ⊆ M : m ∈ X }.

X ∪ {m} ist eine Bijektion mit der Inversen Y 7→ Y \ {m}. Es folgt |A| = |B|

und daher |2 ^M | = 2|A| = 2 ^|M| . 2

1.6 Partitionen. Eine Partition einer Menge M ist eine Menge von paar- weise disjunkten Teilmengen von M , deren Vereinigung M ist.

Für eine endliche Partition P einer Menge M gilt

|M | = X

X∈P

|X |.

Häufige Anwendung: |M | = P

b∈B |f ⁻¹ (b)| für eine Abbildung f : M → B.

Beweis. Für |P| = 0, 1 ist die Aussage trivial und für |P | = 2 ist die Aussage ein Spezialfall von 1.3(c). Die Behauptung folgt damit per Induktion über

|P |. 2

1.7 Korollar. Für endliche Mengen A und B gilt |A × B| = |A| · |B| und

|A ⁿ | = |A| ⁿ für n ∈ N 0 (mit 0 ⁰ = 1).

Beweis. Dies folgt aus 1.6, weil A × B die Partition P := {A × {b} : b ∈ B}

hat und |A × {b}| = |A| sowie |P | = |B| gilt. Die zweite Behauptung folgt dann

per Induktion über n. 2

1.8 Schubfachprinzip. Wenn n Objekte auf weniger als n Fächer verteilt werden, so finden sich in einem Fach mindestens zwei Objekte. Oder: Wenn n Objekte mit k < n Farben eingefärbt werden, so haben mindestens zwei Objekte die gleiche Farbe.

Formal: Sind A und B endliche Mengen mit |B| < |A|, so ist jede Abbildung f : A → B nicht injektiv, d.h. es existiert ein b ∈ B mit |f ⁻¹ (b)| ≥ 2.

Allgemeiner: Für f : A → B mit |B| < ∞ existiert ein b ∈ B mit

|f ⁻¹ (b)| ≥ |A|

|B| . Beweis. Mit 1.6 folgt |A| = P

b∈B |f ⁻¹ (b)| ≤ |B| max _b∈B |f ⁻¹ (b)|. 2

1.9 Anwendungen. Wir werden im Laufe der Vorlesung viele Anwendun-

gen sehen; hier sind ein paar Beispiele dieser wichtigen Beweismethode:

(a) Unter 15 Personen, sind immer mindestens 2 im gleichen Monat geboren, oder mindestens 3 am gleichen Wochentag. [Es existieren 70.000 Menschen mit exakt gleichvielen Haaren auf dem Kopf: ca. 7 · 10 ⁹ Menschen, ca. 10 ⁵ Haare]

(b) Unter 5 Punkten im Einheitsquadrat [0, 1] ² gibt es immer zwei mit Ab- stand höchstens ¹ ₂ √

2:

Zwei der 5 Punkte liegen in einem der 4 Teilquadrate mit Seitenlänge 1/2 wie im Bild und haben daher Abstand ≤ ¹ ₂ √

2 (für Punkte auf den Trennlinien wählen wir willkürlich).

(c) Sind a ₁ , . . . , a _n+1 ∈ {1, . . . , 2n}, so gibt es Indices i 6= j, so dass a _i ein Teiler von a _j ist:

Wir schreiben a i = 2 ^e

u i mit e i ∈ N 0 und u i ∈ N ungerade. Wegen 1 ≤ u i ≤ 2n gibt es n Möglichkeiten für u i und das Schubfachprinzip liefert i 6= j mit u i = u j und etwa e i ≤ e j . Es folgt a i = e ⁱ u i | e ^j u i = a j .

Für die n Zahlen n + 1, . . . , 2n ist die Folgerung falsch.

(d) Sei n ∈ N und a ₁ , . . . , a _n

+1 eine Folge von n ² + 1 verschiedenen reellen Zahlen. Dann gibt es eine monoton fallende oder monoton steigende Teilfolge der Länge n + 1:

Wir definieren [Erdös und Szekeres folgend] zwei Abbildungen f, g : {1, . . . , n ² + 1} → N . Dabei sei f (i) (bzw. g(i)) die Länge der längsten steigenden (bzw.

fallenden) Teilfolge, die bei a i endet (bzw. beginnt). Wir führen einen Wider- spruchsbeweis, und nehmen daher (f (i), g(i)) ∈ {1, . . . , n} ² für alle i an. Das Schubfachprinzip liefert uns i < j mit (f (i), g(i)) = (f (j), g(j)). Damit können wir eine der beiden Folgen verlängern, nämlich, falls a _i < a _j , am Ende um a _j , also f (j) > f (i), oder, falls a _i > a _j , am Anfang um a _i , also g(i) > g(j). Beides ist ein Widerspruch zu (f (i), g(i)) = (f (j), g(j)).

Die y-Koordinaten der 17 Punkte im Bild, sortiert von links nach rechts, enthalten monotone Folgen der Länge 5 (wie viele?), aber ohne den zentralen Ausnahmepunkt ist dies falsch.

(e) Approximationssatz von Dirichlet: Für α ∈ R und n ∈ N existieren k, l ∈ Z mit 0 < k ≤ n und |kα − l| < 1/n. [(α Z + Z )/ Z liegt dicht in R / Z ] [Das Schubfachprinzip wird auch oft als Dirichlet-Prinzip bezeichnet.] Aus dem Approximationssatz folgt, dass es für irrationale α unendlich viele Brüche l/k gibt mit 0 < |α − l/k| < 1/k ² ; für rationale α ist dies falsch.

Beweis. Wir betrachten die n + 1 „Rundungsreste“ a i := iα − biαc ∈ [0, 1[

für i = 0, . . . , n. Nach dem Schubfachprinzip 1.8 liegen also in einem der n halboffenen Intervalle [r/n, (r + 1)/n[ für r = 0, . . . , n − 1 zwei Reste a i und a j mit i < j. Es folgt 1/n > |a j − a i | = |(j − i)α − (bjαc − biαc)| = |kα − l|

mit k := j − i und l := bjαc − biαc. 2

hang:

X

X∈P

|X | = |M | = X

Y ∈Q

|Y |.

Häufig besteht M aus Paaren, also M ⊆ A × B. Dann hat man X

a∈A

|M ∩ ({a} × B)| = |M | = X

b∈B

|M ∩ (A × {b})|.

1.11 Beispiel. Bei einem Treffen ist die Anzahl der Personen, die einer un- geraden Anzahl von Leuten die Hände schütteln, gerade:

Für die Menge A der Personen betrachten wir die Menge M der Paare (a, b) ∈ A ² von Personen die Hände miteinander schütteln. Wir zählen M auf zwei Weisen. Einerseits gilt für (a, b) ∈ M auch (b, a) ∈ M und a 6= b, also ist |M | = 2h gerade, wobei h die Anzahl der „Händeschüttelungen“ ist. Andererseits folgt

|M | = P

a∈A n a , wobei n a := |M ∩ ({a} × A)| die Anzahl der Leute ist, die mit a die Hände schütteln. Also muss die Anzahl der ungeraden n a gerade sein.

2 Binomialkoeffizienten

2.1 Permutationen und Fakultät. Für eine Menge M bezeichnet Sym M die Menge aller Bijektionen von M nach M , die sogenannte symmetrische Gruppe auf M . Ihre Elemente werden Permutationen genannt. Für uns ist die endliche symmetrische Gruppe S n := Sym{1, . . . , n} auf n ∈ N 0 Ziffern interessant. Ihre Mächtigkeit |S n | wird als Fakultät von n, in Zeichen n!, bezeichnet. Man überlegt sich leicht, dass die Rekursionsgleichung n! = n · (n − 1)! gilt für n ∈ N und zeigt per Induktion n! = n · (n − 1) · (n− 2) · · · 2 · 1 = Q n−1

i=0 (n − i); beachte 0! = 1. Für ein Element x eines kommutativen Rings und k ∈ N definieren wir x ^k := Q k−1

i=0 (x − i) und x ^k := Q k−1

i=0 (x + i) sowie x ⁰ := x ⁰ := 1 (steigende und fallende Faktorielle). Die Produkte x ^k und x ^k bestehen also aus k um 1 absteigende bzw. aufsteigende Faktoren beginnend mit x. Mit dieser Notation gilt n! = n ⁿ und n ^k = n!/(n − k)! .

Erstaunlicherweise lässt sich die Fakultätsfunktion auf R ≥0 fortsetzen [sogar noch weiter und holomorph] durch die Definition F (x) := R ∞

0 t ^x e ^−t dt. Es gilt F (0) = F (1) = 1 und F (x) = xF (x − 1) (partielle Integration). Durch Γ(x) :=

F (x − 1) wird die Gammafunktion definiert.

VI Übungsaufgaben

1.1 Aufgabe. Beweisen Sie die folgende Aussage: Für n, m ∈ N 0 existiert genau dann eine Bijektion f : {1, . . . , n} → {1, . . . , m}, wenn n = m gilt.

1.2 Aufgabe. Die folgende Figur ist aus zwei Quadraten und vier gleichseiten Dreiecken mit gleicher Seitenlänge zusammengesetzt. Finden Sie eine Zerle- gung in 7 kongruente Teile (das sind bis auf Verschiebungen, Drehungen oder Spiegelungen gleiche Teile).

1.3 Aufgabe. Zwei Spieler spielen folgendes Spiel. Als Vorbereitung werden sechs Punkte auf ein Blatt Papier gezeichnet, so dass keine drei auf einer Gera- den liegen. Jeder Spieler hat eine Farbe, und die Spieler zeichnen abwechselnd eine Strecke mit ihrer Farbe zwischen zwei noch nicht verbundene Punkte. Ver- loren hat, wer zuerst ein Dreieck komplett in seiner Farbe fertig stellen muss.

Zeigen Sie, dass ein Unentschieden nicht möglich ist.

1.4 Aufgabe. Zeigen Sie, dass eine Menge M genau dann endlich ist, wenn es eine Abbildung f : M → M gibt, so dass für jede Teilmenge X ⊆ M die Inklusion f (X ) ⊆ X nur für die offensichtlichen Fälle X = ∅ oder X = M gilt.

2.1 Aufgabe. Zeigen Sie, dass eine endliche nichtleere Menge genauso viele Teilmengen gerader wie ungerader Länge hat.

2.2 Aufgabe. Endlich viele Personen begrüßen sich mit einem Handschlag.

Zeigen Sie, dass es zu jedem Zeitpunkt zwei Personen gibt, die der gleichen Anzahl von Leuten die Hände geschüttelt haben.

2.3 Aufgabe. Sei n ∈ N , und seien a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ Z . Zeigen Sie, dass es eine nichtleere Teilmenge I ⊆ {1, . . . , n} gibt, so dass die Summe P

i∈I a i durch n teilbar ist.

2.4 Aufgabe. In der Ebene sei ein regelmäßiges n-Eck gegeben, n ≥ 3. Dabei

seien R viele Ecken rot und B viele Ecken blau, so dass R + B = n gilt. Eine

Kante sei rot, wenn sie zwischen zwei roten Punkten liegt und blau, wenn

sie zwischen zwei blauen Punkten liegt. Kanten, die zwischen zwei Punkten

verschiedener Farbe liegen, seien farblos. Sei r die Anzahl der roten und b die

Anzahl der blauen Kanten. Zeigen Sie, dass R − B = r − b gilt.

Abzählung, 6

Approximationssatz von Dirichlet, 9 Dirichlet-Prinzip, 9

doppelte Abzählung, 10 endlich, 6

Faktorielle fallende, 10 steigende, 10 Fakultät, 10

fallende Faktorielle, 10 Gammafunktion, 10 gleichmächtig, 7 Größe, 6 Länge, 6 Mächtigkeit, 6 n-Menge, 6 Partition, 8 Permutationen, 10 Potenzmenge, 6

Prinzip der doppelten Abzählung, 10 Schubfachprinzip, 8

S n , 10

steigende Faktorielle, 10 Sym M , 10

Symmetrische Gruppe, 10