Einführung in die Diskrete Mathematik

Sommersemester 2014 PD Dr. Nils Rosehr

Inhaltsverzeichnis

I Einleitung 5

II Kombinatorik 5

1 Grundlagen der Kombinatorik 6

1.1 Standardbezeichnungen . . . . 6

1.2 Endliche Mengen . . . . 6

1.5 Potenzmenge . . . . 7

1.6 Partitionen . . . . 8

1.8 Schubfachprinzip . . . . 8

1.9 Anwendungen . . . . 8

1.10 Prinzip der doppelten Abzählung . . . . 10

1.11 Beispiel . . . . 10

2 Binomialkoeffizienten 10 2.1 Permutationen und Fakultät . . . . 10

2.3 Stirling-Formel . . . . 11

2.6 Näherung von Binomialkoeffizienten . . . . 13

2.8 Ungeordnete Summationen und Multimengen . . . . 13

2.9 Wege im Gitter . . . . 14

2.10 Vandermonde-Identität . . . . 14

2.11 Polynommethode . . . . 15

2.13 Differenzieren . . . . 16

2.14 Binomische Reihe . . . . 16

2.15 Multinomialkoeffizienten . . . . 17

3 Abbildungen und Auswahlen 18 3.6 Auswahlen . . . . 19

3.8 Abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume . . . . 19

3.10 Erwartungswert und Varianz . . . . 20

4 Inklusion und Exklusion 22 4.1 Siebformel . . . . 22

4.2 Bonferroni-Ungleichungen . . . . 22

4.3 Fixpunktfreie Permutationen . . . . 22

4.4 Surjektive Abbildungen . . . . 23

4.5 Partitionen und Stirling-Zahlen . . . . 23

4.6 Einschub: Endliche Körper . . . . 23

4.8 Irreduzible Polynome über endlichen Körpern . . . . 24

5 Erzeugende Funktionen 26 5.1 (Formale) Potenzreihen . . . . 26

5.4 Anwendung farbige Kugeln . . . . 26

5.5 Fibonacci-Zahlen . . . . 27

5.6 Lineare Rekursionsgleichungen . . . . 28

III Graphentheorie 29 6 Grundlegende Begriffe 29 6.1 Definition . . . . 29

6.2 Beispiele . . . . 29

6.3 Isomorphismen und Automorphismen . . . . 31

6.4 Teilgraphen und Konstruktionsmethoden . . . . 32

VI Übungsaufgaben 34

Index 39

I Einleitung

Die diskrete Mathematik ist keine Geheimwissenschaft, sondern vielmehr ist diskret hier als Abgrenzung zu kontinuierlich zu verstehen. Dabei wird der Begriff unterschiedlich allgemein gefasst. Häufig geht es um mathematische Probleme oder Theorien die mit endlichen oder abzählbaren Strukturen zu tun haben. Am besten wird dies vielleicht an einigen Beispielen deutlich.

Beispiel 1. Nehmen wir an, wir wollen eine Treppe mit 11 Stufen besteigen und können mit einem Schritt entweder eine oder zwei Stufen nehmen. Für die ersten drei Stufen haben wir drei Möglichkeiten: 3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1. Für die gesamte Treppe von 11 Stufen gibt es 144 Möglichkeiten.

Natürlich ist man in der diskreten Mathematik nicht an der Lösung dieses speziellen Problems interessiert, sondern fragt sich: Gibt es eine Formel für die Anzahl der Möglichkeiten in Abhängigkeit der Anzahl der Stufen? Kann man auch ähnliche Probleme lösen, etwa, wenn man es schafft 3 Stufen (oder alle) auf einmal zu nehmen? Gibt es ein allgemeines Verfahren, zu solchen Lösungsformeln zu kommen?

Beispiel 2. Wir wollen ein Schachbrett aus 8 mal 8 Feldern mit 8 Farben so einfärben, dass in keiner Horizontalen oder Vertikalen eine Farbe doppelt auftritt. Dies ist auf vielerlei Weisen möglich und hängt auch gar nicht von der Zahl 8 ab. Solche Einfärbungen werden lateinische Quadrate genannt. Nun stellen wir die Frage, ob es zwei solche Einfärbungen gibt (sogenannte orthogo- nale lateinische Quadrate), so dass die von entsprechenden Feldern gebildeten Farbpaare alle 8 · 8 = 64 Farbkombinationen durchlaufen. Eine einfache (beja- hende) Antwort lässt sich mit der algebraischen Struktur des endlichen Körpers mit 8 Elementen geben. Schon 1780 hat Euler die Frage gestellt, ob es auch orthogonale lateinische Quadrate der Ordnung 6 gibt. Er konnte diese Frage nicht beantworten und vermutete, dass dies für alle Ordnungen der Form 4k+2 nicht möglich sei. Heute weiß man, dass Euler nur für k = 1 Recht hatte.

Beispiel 3. Viele kennen seit den Kindertagen das Haus vom Nikolaus. Dabei geht es darum in einem bestimmten Graphen einen Weg zu finden, der alle Kanten genau einmal durchläuft: oder . Solch ein Weg heißt übrigens Euler-Tour, nach Euler, der sich mit dem ähnlichen Königsberger Brückenpro- blem beschäftigt hat. Diese Touren haben durchaus eine praktische Relevanz, denn z.B. für die Müllabfuhr stellt solch eine Tour einen günstigen Weg dar.

Hier ergeben sich viele Fragen: Ist eine solche Tour auch für andere Graphen

möglich? Wenn nicht, gibt es ein Kriterium? Kann man die Touren auch mit

gleichem Anfangs- und Endpunkt wählen?

II Kombinatorik

1 Grundlagen der Kombinatorik

1.1 Standardbezeichnungen. Für die natürlichen Zahlen (ohne Null) schreiben wir N = {1, 2, 3, . . . }, N 0 = {0}∪ N und {1, . . . , n} = {k ∈ N : k ≤ n}

für n ∈ N 0 . Weiter benutzen wir Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C . Für die Potenzmen- ge einer Menge X (also die Menge aller Teilmengen von X) schreiben wir P (X) oder 2 ^X . Wir benutzen die Gaußklammern zum Auf- und Abrunden:

bxc := max{z ∈ Z : z ≤ x} und dxe := min{z ∈ Z : z ≥ x} für x ∈ R .

1.2 Endliche Mengen. Eine Menge A ist endlich, wenn es ein n ∈ N 0 und eine Abzählung, d.h. eine Bijektion f : {1, . . . , n} → A gibt. Die Zahl n ist eindeutig bestimmt (siehe Übungsaufgabe 1.1) und heißt die Größe, Länge oder Mächtigkeit von A; wir schreiben |A| für die Mächtigkeit von A und nennen A eine n-Menge. Falls A nicht endlich ist, setzen wir |A| := ∞ (siehe Bemerkung nach Satz 1.4) und benutzen ∞ ± x = ±x + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ sowie x < ∞ für x ∈ R .

1.3 Lemma. Seien A und B Mengen.

(a) Es gilt |A| = 0 genau dann, wenn A = ∅.

(b) Es ist A ∪ B genau dann endlich, wenn A und B endlich sind.

(c) Es gilt |A ∪ B| + |A ∩ B | = |A| + |B|.

(d) Aus B ( A folgt |B | < |A|, falls A (oder B) endlich ist.

(e) Für eine Abbildung f : A → B gilt |f (A)| ≤ |A|.

Beweis. (a) Die „leere Abbildung“ ∅ → A ist genau dann surjektiv, wenn A leer ist.

(∗) Seien nun zunächst A und B endlich und disjunkt. Wir zeigen |A ∪ B| =

|A| +|B| per Induktion über |A|: Den Induktionsanfang liefert (a). Für |A| > 0 können wir wieder nach (a) ein a ∈ A wählen. Es folgt |A \ {a}| = |A| − 1, denn ist f : {1, . . . , |A|} → A ein Abzählung, so ist g : {1, . . . , |A| − 1} → A \ {a}

mit g(x) = f (x) für x 6= f

⁻¹

(a) und g(f

⁻¹

(a)) = f (|A|), falls f

⁻¹

(a) 6= |A|, eine Abzählung [vertausche a und f (|A|)]. Es folgt |(A \ {a}) ∪ B| = |(A ∪ B) \ {a}| = |A ∪ B| − 1 ebenso, da A und B disjunkt sind, und Induktion liefert die Behauptung.

(d) In obigem Induktionsbeweis haben wir |A\{a}| = |A|−1 gezeigt für a ∈ A;

daraus folgt die Behauptung per Induktion, wenn wir a ∈ A \ B wählen. [(∗) lässt sich nicht anwenden, da wir (noch nicht) wissen, dass B und A\ B endlich sind.]

(b) Sind A und B endlich, so folgt aus (∗), dass A ∪ B endlich ist. Aus (d) folgt

die andere Implikation, weil A und B Teilmengen von A ∪ B sind.

(c) Wegen (b) müssen wir nur noch den endlichen Fall zeigen: |A ∪ B| =

|A \ (A ∩ B )| + |B| = |A| − |A ∩ B| + |B |.

(e) Für unendliches A ist nichts zu zeigen. Wähle sonst eine Teilmenge A

⁰

⊆ A, so dass für jedes b ∈ f (A) die Faser f

⁻¹

(b) genau ein Element von A

⁰

enthält [A

⁰

ist also ein Repräsentantensystem für die Fasern von f .] Da f | A

⁰

injektiv ist, folgt |f (A)| = |f (A

⁰

)| = |A

⁰

| ≤ |A| nach (d). 2 1.4 Satz. Für endliche Mengen A und B gilt |A| = |B| genau dann, wenn es eine Bijektion A → B gibt.

Gilt dies, so ist eine Abbildung h : A → B genau dann bijektiv, wenn sie injektiv oder surjektiv ist.

Beweis. Gilt n := |A| = |B|, so gibt es Bijektionen f : {1, . . . , n} → A und g : {1, . . . , n} → B, und wir können als Bijektion g ◦ f

⁻¹

wählen. Ist umgekehrt eine Bijektion h : A → B gegeben, dann lässt sich diese mit einer Bijektion f : {1, . . . , |A|} → A verketten zu einer Bijektion h ◦ f : {1, . . . , |A|} → B. Es folgt |B| = |A|.

Ist h injektiv, so ist h : A → h(A) bijektiv und nach dem schon gezeigten folgt

|h(A)| = |A| = |B| und somit h(A) = B nach 1.3(d). Also ist h surjektiv.

Ist h nicht injektiv, so gibt es ein a ∈ A mit h(A \ {a}) = h(A) und es folgt

|h(A)| = |h(A \ {a})| ≤ |A \ {a}| < |A| = |B| nach 1.3. Also ist h nicht

surjektiv. 2

Die erste Aussage des Satzes ist falsch für unendliche Mengen [die zweite so- wieso]. Das liegt daran, dass es verschiedene unendliche Mächtigkeiten gibt, etwa | N | = ∞ = | R |, aber es gibt keine Bijektion N → R (Cantors zweites Diagonalargument ).

Die Forderung der Existenz einer Bijektion zwischen zwei Mengen macht aber auch für unendliche Menge Sinn und wir nennen daher zwei Mengen gleich- mächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt wie im Satz.

Die Endlichkeit von Mengen lässt sich auch noch auf andere Art definieren:

Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn es eine Injektion von ihr in eine echte Teilmenge gibt. Für eine weitere Möglichkeit siehe Übungsaufgabe 1.4.

1.5 Satz (Potenzmenge). Für eine endliche Menge M gilt |2 ^M | = 2

^|M|

. Beweis. Wir führen Beweis per Induktion nach |M |. Für |M | = 0 haben wir M = ∅ und daher 2 ^M = {∅}, also |2 ^M | = 1. Sei nun |M | > 0. Wir können also m ∈ M wählen und setzen

A := {X ⊆ M : m 6∈ X } und

B := {X ⊆ M : m ∈ X }.

Dann gilt 2 ^M = A ∪ B und A ∩ B = ∅. Es folgt |2 ^M | = |A| + |B|. Ferner ist A = 2 ^M

^\{m}

also |A| = 2

^|M|−1

per Induktion. Die Abbildung A → B, X 7→

X ∪ {m} ist eine Bijektion mit der Inversen Y 7→ Y \ {m}. Es folgt |A| = |B|

und daher |2 ^M | = 2|A| = 2

^|M|

. 2

1.6 Partitionen. Eine Partition einer Menge M ist eine Menge von paar- weise disjunkten Teilmengen von M , deren Vereinigung M ist.

Für eine endliche Partition P einer Menge M gilt

|M | = X

X∈P

|X |.

Häufige Anwendung: |M | = P

b∈B |f

⁻¹

(b)| für eine Abbildung f : M → B.

Beweis. Für |P| = 0, 1 ist die Aussage trivial und für |P | = 2 ist die Aussage ein Spezialfall von 1.3(c). Die Behauptung folgt damit per Induktion über

|P |. 2

1.7 Korollar. Für endliche Mengen A und B gilt |A × B| = |A| · |B| und

|A ⁿ | = |A| ⁿ für n ∈ N 0 (mit 0 ⁰ = 1).

Beweis. Dies folgt aus 1.6, weil A × B die Partition P := {A × {b} : b ∈ B}

hat und |A × {b}| = |A| sowie |P | = |B| gilt. Die zweite Behauptung folgt dann

per Induktion über n. 2

1.8 Schubfachprinzip. Wenn n Objekte auf weniger als n Fächer verteilt werden, so finden sich in einem Fach mindestens zwei Objekte. Oder: Wenn n Objekte mit k < n Farben eingefärbt werden, so haben mindestens zwei Objekte die gleiche Farbe.

Formal: Sind A und B endliche Mengen mit |B| < |A|, so ist jede Abbildung f : A → B nicht injektiv, d.h. es existiert ein b ∈ B mit |f

⁻¹

(b)| ≥ 2.

Allgemeiner: Für f : A → B mit |B| < ∞ existiert ein b ∈ B mit

|f

⁻¹

(b)| ≥ |A|

|B| . Beweis. Mit 1.6 folgt |A| = P

b∈B |f

⁻¹

(b)| ≤ |B| max _b∈B |f

⁻¹

(b)|. 2

1.9 Anwendungen. Wir werden im Laufe der Vorlesung viele Anwendun-

gen sehen; hier sind ein paar Beispiele dieser wichtigen Beweismethode:

(a) Unter 15 Personen, sind immer mindestens 2 im gleichen Monat geboren, oder mindestens 3 am gleichen Wochentag. [Es existieren 70.000 Menschen mit exakt gleichvielen Haaren auf dem Kopf: ca. 7 · 10 ⁹ Menschen, ca. 10 ⁵ Haare]

(b) Unter 5 Punkten im Einheitsquadrat [0, 1] ² gibt es immer zwei mit Ab- stand höchstens ¹ ₂ √

2:

Zwei der 5 Punkte liegen in einem der 4 Teilquadrate mit Seitenlänge 1/2 wie im Bild und haben daher Abstand ≤ ¹ ₂ √

2 (für Punkte auf den Trennlinien wählen wir willkürlich).

(c) Sind a ₁ , . . . , a _n+1 ∈ {1, . . . , 2n}, so gibt es Indices i 6= j, so dass a _i ein Teiler von a _j ist:

Wir schreiben a i = 2 ^e

ⁱ

u i mit e i ∈ N 0 und u i ∈ N ungerade. Wegen 1 ≤ u i ≤ 2n gibt es n Möglichkeiten für u i und das Schubfachprinzip liefert i 6= j mit u i = u j und etwa e i ≤ e j . Es folgt a i = e ⁱ u i | e ^j u i = a j .

Für die n Zahlen n + 1, . . . , 2n ist die Folgerung falsch.

(d) Sei n ∈ N und a ₁ , . . . , a _n

2

+1 eine Folge von n ² + 1 verschiedenen reellen Zahlen. Dann gibt es eine monoton fallende oder monoton steigende Teilfolge der Länge n + 1:

Wir definieren [Erdös und Szekeres folgend] zwei Abbildungen f, g : {1, . . . , n ² + 1} → N . Dabei sei f (i) (bzw. g(i)) die Länge der längsten steigenden (bzw.

fallenden) Teilfolge, die bei a i endet (bzw. beginnt). Wir führen einen Wider- spruchsbeweis, und nehmen daher (f (i), g(i)) ∈ {1, . . . , n} ² für alle i an. Das Schubfachprinzip liefert uns i < j mit (f (i), g(i)) = (f (j), g(j)). Damit können wir eine der beiden Folgen verlängern, nämlich, falls a _i < a _j , am Ende um a _j , also f (j) > f (i), oder, falls a _i > a _j , am Anfang um a _i , also g(i) > g(j). Beides ist ein Widerspruch zu (f (i), g(i)) = (f (j), g(j)).

Die y-Koordinaten der 17 Punkte im Bild, sortiert von links nach rechts, enthalten monotone Folgen der Länge 5 (wie viele?), aber ohne den zentralen Ausnahmepunkt ist dies falsch.

(e) Approximationssatz von Dirichlet: Für α ∈ R und n ∈ N existieren k, l ∈ Z mit 0 < k ≤ n und |kα − l| < 1/n. [(α Z + Z )/ Z liegt dicht in R / Z ] [Das Schubfachprinzip wird auch oft als Dirichlet-Prinzip bezeichnet.] Aus dem Approximationssatz folgt, dass es für irrationale α unendlich viele Brüche l/k gibt mit 0 < |α − l/k| < 1/k ² ; für rationale α ist dies falsch.

Beweis. Wir betrachten die n + 1 „Rundungsreste“ a i := iα − biαc ∈ [0, 1[

für i = 0, . . . , n. Nach dem Schubfachprinzip 1.8 liegen also in einem der n halboffenen Intervalle [r/n, (r + 1)/n[ für r = 0, . . . , n − 1 zwei Reste a i und a j mit i < j. Es folgt 1/n > |a j − a i | = |(j − i)α − (bjαc − biαc)| = |kα − l|

mit k := j − i und l := bjαc − biαc. 2

1.10 Prinzip der doppelten Abzählung. Sei M eine endliche Menge, und seien P und Q Partitionen von M . Dann liefert 1.6 folgenden Zusammen- hang:

X

X∈P

|X | = |M | = X

Y

∈Q

|Y |.

Häufig besteht M aus Paaren, also M ⊆ A × B. Dann hat man X

a∈A

|M ∩ ({a} × B)| = |M | = X

b∈B

|M ∩ (A × {b})|.

1.11 Beispiel. Bei einem Treffen ist die Anzahl der Personen, die einer un- geraden Anzahl von Leuten die Hände schütteln, gerade:

Für die Menge A der Personen betrachten wir die Menge M der Paare (a, b) ∈ A ² von Personen die Hände miteinander schütteln. Wir zählen M auf zwei Weisen. Einerseits gilt für (a, b) ∈ M auch (b, a) ∈ M und a 6= b, also ist |M | = 2h gerade, wobei h die Anzahl der „Händeschüttelungen“ ist. Andererseits folgt

|M | = P

a∈A n a , wobei n a := |M ∩ ({a} × A)| die Anzahl der Leute ist, die mit a die Hände schütteln. Also muss die Anzahl der ungeraden n a gerade sein.

2 Binomialkoeffizienten

2.1 Permutationen und Fakultät. Für eine Menge M bezeichnet Sym M die Menge aller Bijektionen von M nach M , die sogenannte symmetrische Gruppe auf M . Ihre Elemente werden Permutationen genannt. Für uns ist die endliche symmetrische Gruppe S n := Sym{1, . . . , n} auf n ∈ N 0 Ziffern interessant. Ihre Mächtigkeit |S n | wird als Fakultät von n, in Zeichen n!, bezeichnet. Man überlegt sich leicht, dass die Rekursionsgleichung n! = n · (n − 1)! gilt für n ∈ N und zeigt per Induktion n! = n · (n − 1) · (n− 2) · · · 2 · 1 = Q n−1

i=0 (n − i); beachte 0! = 1. Für ein Element x eines kommutativen Rings und k ∈ N definieren wir x ^k := Q k−1

i=0 (x − i) und x ^k := Q k−1

i=0 (x + i) sowie x ⁰ := x ⁰ := 1 (steigende und fallende Faktorielle). Die Produkte x ^k und x ^k bestehen also aus k um 1 absteigende bzw. aufsteigende Faktoren beginnend mit x. Mit dieser Notation gilt n! = n ⁿ und n ^k = n!/(n − k)! .

Erstaunlicherweise lässt sich die Fakultätsfunktion auf R

≥0

fortsetzen [sogar noch weiter und holomorph] durch die Definition F (x) := R

∞

0 t ^x e

^−t

dt. Es gilt F (0) = F (1) = 1 und F (x) = xF (x − 1) (partielle Integration). Durch Γ(x) :=

F (x − 1) wird die Gammafunktion definiert.

Das Wachstumsverhalten von n! entspricht √

n( ⁿ _e ) ⁿ mit annähernd konstantem relativen Fehler. Genauer hat man die folgende Abschätzung, die wir ohne Beweis (mit Gammafunktion) angeben.

2.2 Satz. Für n ∈ N und a _n := √

2πn( ⁿ _e ) ⁿ gilt a _n ≤ n! ≤ a _n e

¹²ⁿ¹

.

Die schwächere Abschätzung e( ⁿ _e ) ⁿ ≤ n! ≤ en( ⁿ _e ) ⁿ lässt sich leicht per Induk- tion unter Benutzung von 1 + x ≤ e ^x für x ∈ R zeigen.

2.3 Korollar (Stirling-Formel). Es gilt lim

n→∞

√ n!

2πn( ⁿ _e ) ⁿ = 1.

2.4 Definition. Für eine Menge M und k ∈ Z bezeichnen wir mit M

k

:= {X ⊆ M : |X | = k}

die Menge aller k-Teilmengen von M . Ist |M | = n ∈ N 0 , so definieren wir den Binomialkoeffizient zu n und k durch

n k

:=

M k

. Der Binomialkoeffizient ⁿ _k

hängt nicht von M , sondern nur von n = |M | ab. Er gibt also die Anzahl der k-Teilmengen jeder n-Menge an. Daher gilt

n 0

= 1 = ⁿ _n

für n ∈ N 0 und ⁿ _k

= 0 für k < 0 und k > n.

Wir notieren grundlegende Eigenschaften von Binomialkoeffizienten:

2.5 Lemma. Für k, l, n ∈ N 0 gilt (a) ⁿ⁺¹ _k+1

= ⁿ _k

+ _k+1 ⁿ , (b) ⁿ _k

= _n−k ⁿ , (c) P n

k=0 n k

= 2 ⁿ , (d) (x+y) ⁿ = P n

k=0 n k

x ^k y ^n−k für Elemente x, y eines kommutativen Rings (binomischer Lehrsatz), (e) ⁿ _k k

l

= ⁿ _{l n−l}

k−l

für l ≤ n, (f) ⁿ _k

= n(n−1)···(n−k+1)

k(k−1)···1 = ⁿ _k!

^k

= _k!(n−k)! ^n! für k ≤ n.

Beweis. (a) Sei M eine (n + 1)-Menge und m ∈ M . Dann ist _k+1 ^M eine disjunkte Vereinigung von A := ^M\{m} _k+1

und B := {X ∈ _k+1 ^M

: m ∈ X }.

Weil B → ^M\{m} _k

, X 7→ X \ {m} eine Bijektion ist, folgt n + 1

k + 1

=

M k + 1

= |A| + |B| = n

k + 1

+ n

k

.

(b) Sei nun |M | = n. Die Komplementbildung X 7→ M \ X ist eine Bijektion von ^M _k

auf _n−k ^M .

(c) folgt aus 1.5 und 1.6, denn M k

: k ∈ {0, . . . , n} ist eine Partition der

Potenzmenge 2 ^M .

(d) folgt per Induktion aus (a) [oder direkt über die Definition von Binomial- koeffizienten durch Ausmultiplizieren des n-fachen Produktes].

(e) Wir zählen X := {(A, B) ∈ ^M _l

× ^M _k

: A ⊆ B} auf zwei Weisen ge- mäß 1.10: ⁿ _l n−l

k−l

= |X | = ⁿ _k k l

(einerseits wird zuerst A gewählt und dann durch eine (k − l)-Teilmenge von M \ A zu B ergänzt, und andererseits wird zuerst B gewählt und darin eine l-Teilmenge gewählt).

(f) Für l = 1 gilt nach (e) die Gleichung ⁿ _k

k = n ⁿ⁻¹ _k−1

, also ⁿ _k

= ⁿ _k ⁿ⁻¹ _k−1 für k ∈ N ; die Gleichung folgt hieraus per Induktion. 2 Die Rekursionsformel 2.5(a) ist das Bildungsgesetz für das Pascal-Dreieck;

dabei ist jeder Zahl die Summe der beiden Zahlen links und rechts darüber:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1

3 6

10 20

.. . .. .

Lemma 2.5(b) drückt die Spiegel-Symmetrie des Dreiecks aus. Mit 2.5(f) kann man leicht zeigen, dass die Koeffizienten bis zur Mitte ansteigen (und dann fallen).

Die Summe der Zahlen in einer Diagonalen (siehe fett gedruckte Zahlen im Bild) ist wieder ein Binomialkoeffizient, genauer gilt P k

l=0 n+l

n

= P k l=0

n+l l

=

n+k+1 k

; dies zeigt man leicht per Induktion.

Vermutung von Singmaster: Jede Zahl ab 2 tritt im Pascal-Dreieck höchstens 10 Mal auf.

Singmaster hat 1975 bewiesen, dass unendlich viele Zahlen mindestens 6 Mal auftreten. Die Zahl

3003 = 3003

1

= 78

2

= 15

5

= 14

6

tritt 8 Mal auf; häufigeres Auftreten ist nicht bekannt.

2.6 Näherung von Binomialkoeffizienten. Für m ∈ N gilt 2 ^2m

2 √ m <

2m m

< 2 ^2m

√ 2m .

Beweis. Wir betrachten P := ₂

_2m

^{1 2m} _m

und müssen 1 < 2 √

mP < √

2 zeigen.

Es gilt

P = (2m)!

(2 ^m m!) ² = 1 · 3 · 5 · · · · · (2m − 1) 2 · 4 · 6 · · · · · 2m , und daher

2(2m)P ² = 3 ² 2 · 4 · 5 ²

4 · 6 · · · (2m − 1) ² (2m − 2)(2m)

| {z }

=

^(2m−1)2

(2m−1)2−1

>1

> 1

sowie

(2m)P ² < (2m + 1)P ² = 1 · 3 2 ² · 3 · 5

4 ² · · · (2m − 1)(2m + 1) (2m) ²

| {z }

=

^(2m)2−1

(2m)2

<1

< 1

2

Die Stirling-Formel liefert etwas genauer

m→∞ lim 2m

m

·

√ m 2 ^2m = 1

√ π , was zu √

2 < √

π < 2 passt.

Außerdem lässt sich mit Hilfe der Stirling-Formel zeigen, dass _m−t ^2m / ^2m _m durch e

^−t2

^/m approximiert wird, d.h. die normierten Binomialkoeffizienten ver- halten sich wie die Gaußsche Glockenkurve.

2.7 Lemma (Erdös-Szekeres 1978). Je zwei Zahlen 6= 1 in einer Zeile des Pascal-Dreiecks haben einen gemeinsamen Teiler (> 1).

Beweis. Für 0 < l < k < n gilt ⁿ _k k l

= ⁿ _l n−l k−l

nach 2.5(e), und daher ist ⁿ _l

ein Teiler von ⁿ _k k l

. Wegen ^k _l

< ⁿ _l

haben also ⁿ _l

und ⁿ _k einen

gemeinsamen Teiler. 2

2.8 Ungeordnete Summationen und Multimengen. Auf wie viele Ar- ten kann man 24 gleiche Stücke Schokolade an 5 Kinder verteilen? Allgemeiner ist dies die Frage nach der Mächtigkeit von

X _n,k := {(s ₁ , s ₂ , . . . , s _k ) ∈ N ^k 0 : s ₁ + s ₂ + · · · + s _k = n}

für k, n ∈ N 0 . Wir notieren solche Summen durch Zeichenketten gebildet aus den Symbolen und (für Schokolade und Trenner). Die Summe 1 + 2 + 3 = 6 wird etwa durch und die Summe 0 + 2 + 1 + 0 + 4 = 7 durch dargestellt. Die Elemente aus X _n,k entsprechen eindeutig den Zei- chenfolgen der Länge n+k−1 bestehend aus n Einheiten und k−1 Trennsym- bolen . Das bedeutet aber, sie entsprechen den Teilmengen in

{1,...,n+k−1}

k−1

; dabei gibt eine Teilmenge an, an welchen Stellen in der Zeichenkette das Sym- bol steht. Also gilt |X n,k | = ^n+k−1 _k−1

. Für die Ausgangsfrage gibt es also

24+4 4

= 28·27·26·25

4·3·2·1 = 7 · 9 · 13 · 25 = 20475 Möglichkeiten.

Wir geben noch eine andere Interpretation von X n,k . Sei A eine Menge. Dann heißt eine Abbildung M : A → N 0 Multimenge über A, die Werte M (a) heißen Häufigkeiten oder Gewichte von a, und |M | := P

a∈A M (a) wird als Gesamtgewicht oder Mächtigkeit von M bezeichnet. Dann gibt |X n,k | =

n+k−1 k−1

= ^n+k−1 _n

die Anzahl der Multimengen über einer k-Menge mit Ge- samtgewicht n an.

[In unserem Beispiel haben wir also eine Multimenge von Kindern, und die Häufigkeit jedes Kindes gibt an, wie viel Stücke Schokolade es erhält.]

Jetzt wollen wir etwas gerechter sein und jedem Kind mindestens ein Stück Schokolade zukommen lassen, wir suchen also |{(s 1 , s 2 , . . . , s k ) ∈ N ^k : s 1 + s 2 +

· · ·+s k = n}|. Dies führt zu Zeichenketten, die nicht enthalten und bei denen nicht am Anfang oder Ende steht, d.h. hinter jedem der ersten n −1 Symbole kann jeweils höchstens einer der k − 1 Trenner stehen; dies bedeutet das Doppelzeichen muss (k−1)-mal auf n−1 Stellen verteilt werden. Als Anzahl ergibt sich ⁿ⁻¹ _k−1

und für das Beispiel ²³ ₄

= 23·22·21·20

4·3·2·1 = 23 · 11 · 7 · 5 = 8855.

2.9 Wege im Gitter. Viele Formeln für Binomialkoeffizienten lassen sich auch über Wege in Gittern beweisen. Ein kürzester Weg in einem Gitter der Größe m × n von (0, 0) nach (m, n) besteht aus m + n Schritten, nämlich m Schritten nach rechts und n Schritten nach oben.

(0, 0)

(m, n)

Jeder Weg ist eindeutig festgelegt durch die Schritte nach oben (oder durch die Schritte nach rechts). Daher gilt ^m+n _m

= ^m+n _n

, siehe 2.5(b). Jeder dieser Wege läuft entweder durch den Punkt (m, n − 1) oder durch (m − 1, n). Daher gilt ^n+m _n

= ^n+m−1 _n−1

+ ^n+m−1 _n

für die Anzahl solcher Wege, siehe 2.5(a).

2.10 Satz (Vandermonde-Identität). Für n, m, k ∈ N 0 gilt n + m

k

=

k

X

l=0

n l

m k − l

und insbesondere 2n

n

=

n

X

l=0

n l

2

.

1. Beweis. Seien N und M disjunkte Mengen mit |N | = n und |M | = m.

Die Mengen S l := {A ∪ B : A ∈ ^N _l

, B ∈ _k−l ^M

} für l = 0, . . . , k bilden eine Partition von ^N

^∪M

_k

. Also folgt ^n+m _k

= P k

l=0 |S _l | = P k l=0

n l

m k−l

nach 1.6

und 1.7. 2

2. Beweis. Nach 2.9 ist ^n+m _k

die Anzahl der kürzesten Wege im Gitter von (0, 0) nach (n + m − k, k). Jeder der Wege verläuft durch genau einen der Punkte (n − l, l) mit 0 ≤ l ≤ k wie im Bild [auch für l > n].

(0,0)

(n + m − k, k) (n − k, k)

(n, 0)

Es gibt genau ⁿ _l

kürzeste Wege von (0, 0) nach (n − l, l), und von (n − l, l) nach (n + m − k, k) genau (n+m−k)−(n−l)+k−l

k−l

= _k−l ^m

. 2

2.11 Polynommethode. Häufig lassen sich für natürliche Zahlen definierte Funktionen auf allgemeinere Zahlbereiche ausdehnen. Für ein Element z eines kommutativen Ringes, der Q enthält (also etwa Q , R , C oder C [x]), definieren wir in Verallgemeinerung von 2.5(f)

z k

:= z ^k

k! = z(z − 1) · · · (z − k + 1) k!

für k ∈ N 0 . Insbesondere ist ^x _k

z.B. ein Polynom in Q [x]. Für alle k ∈ N 0 gilt die Identität

z + 1 k + 1

= z

k

+ z

k + 1 z.B. für alle komplexen Zahlen z, denn f := ^x+1 _k+1

− ^x _k

− _k+1 ^x

ist ein Polynom vom Grad höchstens k + 1 in Q [x] mit den unendlich vielen Nullstellen n ∈ N wegen 2.5(a); und daher folgt f = 0, weil ein solches Polynom sonst höchstens k + 1 Nullstellen hätte. Entsprechend gilt z.B. auch die Vandermonde-Identität für komplexe Zahlen. Direkt aus der Definition folgt

−z k

= (−1) ^k

z + k − 1 k

.

Jedes Polynom ^x _k

∈ Q [x] hat an jeder Stelle x = n ∈ Z einen ganzzahligen Wert (Definition 2.4 und Formel für

⁻ⁿ

_k

). Hier ist eine Umkehrung:

2.12 Satz (Pólya). Erfüllt ein Polynom f ∈ Q [x] die Bedingung f ( N 0 ) ⊆ Z , so ist f eine ganzzahlige Linearkombination von Polynomen ^x _k

mit k ∈ N 0 .

Beweis. Die Polynome ^x _k

bilden eine Basis des Q -Vektorraums Q [x] wegen grad ^x _k

= k. Daher existieren a k ∈ Q und m ∈ N mit f = P m k=0 a k x

k

. Wegen

0 k

= 0 für k ∈ N gilt a 0 = f (0) ∈ Z . Wir führen Induktion über n und nehmen an a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ Z . Dann folgt

Z 3 f (n + 1) =

n

X

k=0

a k

n + 1 k

| {z }

∈Z

+ a n+1

n + 1 n + 1

| {z }

=1

+

m

X

k=n+2

a k

n + 1 k

| {z }

=0

,

also a n+1 ∈ Z . 2

2.13 Differenzieren. Aus Polynomidentitäten wie oben lassen sich durch (formales) Differenzieren neue Identitäten gewinnen: Z.B. erhält man aus 2.5(d) für y = 1 die Gleichung (1 + x) ⁿ = P n

k=0 n k

x ^k . Differenzieren liefert n(1 + x) ⁿ⁻¹ = P n

k=1 k ⁿ _k

x ^k−1 und n(n −1)(1 + x) ⁿ⁻² = P n

k=2 k(k − 1) ⁿ _k

x ^k−2 usw.

Durch Einsetzen von x = 1 erhält man n2 ⁿ⁻¹ = P n k=1 k ⁿ _k

usw.

2.14 Binomische Reihe. Für r ∈ R und x ∈ C mit |x| < 1 gilt (1 + x) ^r =

∞

X

k=0

r k

x ^k .

Beweisidee. Man differenziert die rechte Seite R(x) und stellt fest, dass sie der Differentialgleichung rR(x) = (1 + x)R

⁰

(x) genügt; siehe Köhler, Analysis,

Heldermann-Verlag 2006, Satz 16.3. 2

Wir notieren einige Spezialfälle:

(1 − x)

⁻ⁿ

=

∞

X

k=0

−n k

(−x) ^k =

∞

X

k=0

n + k − 1 k

x ^k

(1 − x)

⁻¹

=

∞

X

k=0

x ^k (geometrische Reihe)

√ 1 + x =

∞

X

k=0

1 2

k

x ^k = 1 + ¹ ₂ x − ¹ ₈ x ² · · ·

Für n ∈ N 0 erhalten wir 1

2

n + 1

= 1

(n + 1)! · 1 2

1

2 − 1 1 2 − 2

· · · 1 2 − n

= (−1) ⁿ

2 ⁿ⁺¹ (n + 1)! · 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)

= (−1) ⁿ

2 ⁿ⁺¹ (n + 1)! · (2n)!

2 ⁿ n!

= (−1) ⁿ 2 ²ⁿ⁺¹ · 1

n + 1 2n

n

Dabei besteht der letzte Faktor aus den sogenannten Catalan-Zahlen C n := 1

n + 1 2n

n

= 2n

n

− 2n

n + 1

∈ N 0 ,

die uns später noch wieder begegnen werden. Man kann zeigen, dass C n die Anzahl der Zeichenketten der Länge 2n gebildet aus den Klammerzeichen ‘(’

und ‘)’ mit korrekter Klammerung ist, siehe Übungsaufgabe 4.3.

2.15 Multinomialkoeffizienten. Sei t ∈ N 0 und M eine n-Menge, und seien k ₁ , k ₂ , . . . , k _t ∈ Z . Wir setzen

M k ₁ , k ₂ , . . . , k _t

:=

(A 1 , A 2 , . . . , A t ) : {A 1 , A 2 , . . . , A t } ist Partition von M und für i = 1, 2, . . . , t gilt |A i | = k i

und nennen die Mächtigkeiten

n k 1 , k 2 , . . . , k t

:=

M k 1 , k 2 , . . . , k t

Multinomialkoeffizienten [Achtung: Es werden „geordnete“ Partitionen ge- zählt, und die Partitionen dürfen ∅ enthalten].

Jede Teilmenge A von M definiert die Partition {A, M \ A}, also _k ⁿ

1

,k

₂

=

n k

1

,n−k

1

= _k ⁿ

1

= _n−k ⁿ

1

für k 1 + k 2 = n. Allgemeiner gilt n

k 1 , k 2 , . . . , k t

= n

k 1

n − k ₁ k 2

n − k ₁ − k ₂ k 3

. . .

k _t k t

= n!

k ₁ !k ₂ ! · · · k _t ! ,

falls k ₁ , k ₂ , . . . , k _t ∈ N 0 mit k ₁ + k ₂ + · · · + k _t = n, und sonst _k ⁿ

1

,k

2

,...,k

t

= 0.

Per Induktion zeigt man aus dem Binomischen Lehrsatz den multinomischen Lehrsatz: In kommutativen Ringen gilt

(x ₁ + x ₂ + · · · + x _t ) ⁿ = X

k

1

,k

2

,...,k

t∈N0

n k 1 , k 2 , . . . , k t

x ^k ₁

¹

x ^k ₂

²

· · · x ^k _t

^t

.

Die Multinomialkoeffizienten _k ⁿ

1

,k

2

,...,k

t

geben auch die Anzahl der Wege in einem t-dimensionalen Gitter von (0, 0, . . . , 0) nach (k ₁ , k ₂ , . . . , k _t ) an, sowie die Anzahl der Zeichenfolgen mit t Buchstaben, die jeweils genau k _i -mal für i = 1, . . . , t vorkommen; vergleiche 2.9 und 2.8.

Wie viele verschiedene Wörter kann man aus dem Wort MISSISSIPPI durch Umordnen der Buchstaben bilden? Antwort:

11 1, 4, 4, 2

= 11!

1! · 4! · 4! · 2! = 11 · 10 · 9 · 7 · 5 = 34 650

3 Abbildungen und Auswahlen

3.1 Definition. Für Mengen A und B sei

B ^A = {f | f : A → B} = {(b _a ) _a∈A : b _a ∈ B}

die Menge aller Abbildungen von A nach B. Wir haben B

^∅

= {∅} und B

^N

ist die Menge aller Folgen in B.

3.2 Satz. Für endliche Mengen A und B gilt B ^A

= |B |

^|A|

. Beweis. Falls a ∈ A existiert, haben wir die Bijektion

B ^A → B ^A\{a} × B : f 7→ (f | _A\{a} , f (a)).

Daher folgt für |A| < ∞ die Behauptung per Induktion wegen B ^A

=

B ^A\{a}

· |B| = |B|

^|A|−1

· |B| = |B|

^|A|

. 2 Aus Abschnitt 1 wiederholen wir:

3.3 Satz. Seien A und B endliche Mengen und f : A → B eine Abbildung.

(a) Ist f injektiv, so gilt |A| ≤ |B| und |A| = |B| ⇐⇒ f bijektiv.

(b) Ist f surjektiv, so gilt |A| ≥ |B| und |A| = |B| ⇐⇒ f bijektiv.

(c) Ist |A| = |B| und f injektiv oder surjektiv, so ist f bijektiv.

Anwendung:

3.4 Satz. Für die Anzahl π(n) aller Primzahlen in {1, . . . , n} gilt π(n) ≥ ln n

ln 4

für alle n ∈ N , insbesondere gibt es unendlich viele Primzahlen.

Beweis (Erdös). Jedes a ∈ {1, . . . , n} lässt sich eindeutig in der Form a = b ² c schreiben mit b, c ∈ N und c ein Produkt von verschiedenen Primzahlen. Für b gibt es höchstens √

n Möglichkeiten, und für c höchstens 2 ^π(n) Möglichkeiten.

Weil die Abbildung a 7→ (b, c) injektiv ist, liefern 1.7 und 3.3(a) die Ungleichung n ≤ √

n · 2 ^π(n) , also n ≤ 4 ^π(n) , also ln n ≤ π(n) ln 4. 2 3.5 Satz. Sind A und B endliche Mengen, dann gibt es genau

|B|

^|A|

= |B|(|B| − 1) · · · (|B| − |A| + 1) = |A|!

|B|

|A|

injektive Abbildungen von A in B. Insbesondere gilt | Sym A| = |A|

^|A|

= |A|!, und dies ist auch die Anzahl der linearen Ordnungsrelationen auf der Menge A.

Beweis. Das zweite Gleichheitszeichen folgt aus 2.5(f), und die Behauptung ist trivial für |B| < |A|. Andernfalls gibt es zu jeder |A|-Teilmenge X von B eine Bijektion f 0 : A → X und alle Bijektionen von A nach X erhält man eindeutig als g ◦ f 0 für g ∈ Sym X. Wegen | Sym X | = |X|! = |A|! folgt die

Behauptung. 2

3.6 Auswahlen. Auf wie viele Arten kann man k Elemente aus einer n-Men- ge auswählen? Man muss präzisieren, ob die Reihenfolge berücksichtigt wird, und ob wiederholte Auswahlen erlaubt sind, d.h. ob sogenanntes Ziehen mit Zurücklegen vorliegt.

Anzahl Auswahlen k aus n

mathematisches Objekt Reihenfolge wichtig Reihenfolge egal

ohne Zurücklegen n

^k

injektive Abbildungen

n k

k-Teilmengen

mit Zurücklegen

n

^k

Abbildungen

n+k−1 k

=

−n k

Multimengen 2-Zeichenfolgen

3.7 Beispiel. Wir zählen normierte Polynome vom Grad d = k über einem endlichen Körper K mit q = n Elementen, die in Linearfaktoren zerfallen.

Die Linearfaktoren sind von der Form x − a für a ∈ K. Wir müssen also d Linearfaktoren aus q möglichen mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (Kommutativität von K) auswählen. Es geht also um Multi- mengen über einer q-Menge mit Gesamtgewicht d, also gibt es ^q+d−1 _d

solche Polynome und daher q ² − ^q+1 ₂

= ^q ₂

> 0 viele normierte irreduzible Polynome vom Grad 2.

3.8 Abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume. Ein abzählbarer Wahr-

scheinlichkeitsraum ist eine abzählbare nichtleere Menge S zusammen mit

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P : 2 ^S → R

≥0

definiert auf der Po- tenzmenge 2 ^S von S mit

P(S) = 1 und P [

n∈N

A _n

= X

n∈N

P (A _n )

für jede Folge (A _n ) paarweise disjunkter Teilmengen von S [beachte absolute Konvergenz und Vertauschbarkeit]. Die Teilmengen von S heißen Ereignisse und die Elemente von S Elementarereignisse.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ist bestimmt durch ihre Werte auf den Ele- mentarereignissen, denn P(A) = P ( S

a∈A {a}) = P

a∈A P({a}) für A ⊆ S.

Man überlegt sich leicht, dass 0 ≤ P (A) ≤ 1 und P (S \ A) = 1 − P(A) für alle A ⊆ S gilt, und damit P (∅) = 1 − P(S) = 0.

Gilt P({s}) = P({t}) für alle s, t ∈ S, so heißt P Gleichverteilung oder Laplace-Verteilung auf S. Für s ∈ S folgt dann 1 = P

t∈S P({t}) = |S|P({s}) und somit P (A) = P

a∈A P ({a}) = |A|/|S|; insbesondere ist S endlich.

3.9 Beispiele. (a) Durch den Wahrscheinlichkeitsraum S = {1, . . . , 6} mit der Gleichverteilung wird das Würfeln eines Spielwürfels modelliert. Die Er- eignisse Z = {2, 4, 6} (eine durch zwei teilbare Zahl zu würfeln) und D = {3, 6}

(eine durch drei teilbare Zahl zu würfeln) sind unabhängig, denn P (Z ∩ D) = P ({6}) = ¹ ₆ = ¹ ₂ · ¹ ₃ = P (Z)P(D).

(b) Zweimaliges Würfeln modelliert man durch S = {1, . . . , 6} ² und das Er- eignis „Augensumme ist 4“ wird durch A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} beschrieben;

seine Wahrscheinlichkeit ist

^|A|_|S|

= ₃₆ ³ = ₁₂ ¹ . (c) Beim Lotto „6 aus 49“ ist S =

^{1,...,49}

₆

, und es liegt Gleichverteilung vor mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu |S| = ⁴⁹ ₆

= 13 983 816. Das Er- eignis „j ist eine der 6 gezogenen Zahlen“ ist gegeben durch A j =

{j} ∪ B : B ∈

{1,...,49}\{j}

5 und hat daher die Wahrscheinlichkeit

^|A_|S|^j|

= (

⁴⁸₅

)

(

⁴⁹6

) = ₄₉ ⁶ ≈ 0,1224.

(d) Das n-fache Werfen einer gezinkten Münze wird beschrieben durch S = {0, 1} ⁿ und P ({s}) = p ^e (1 − p) ^n−e für festes p ∈ [0, 1], wobei e := P n

i=1 s i

die Anzahl der 1-en in s = (s 1 , s 2 , . . . , s n ) ist. Hier liegt nur für p = 1/2 Gleichverteilung, also eine ungezinkte Münze, vor. Wenn Sie der Münze Ihres Gegenspielers misstrauen, lassen Sie ihn zweimal werfen, und werten Sie (0, 1) als Kopf und (1, 0) als Zahl, und bei den Ausgängen (0, 0) oder (1, 1) lassen Sie die zwei Würfe wiederholen. Es liegt dann eine Gleichverteilung vor, denn P ({(0, 1)}) = p(1 − p) = P ({(1, 0)}). [Dieser Trick wird zur Verbesserung von physikalischen Zufallszahlengeneratoren benutzt.]

3.10 Erwartungswert und Varianz. Sei (S, P ) ein endlicher Wahrschein-

lichkeitsraum [für S abzählbar unendlich müssten wir unten immer die Existenz

der Reihen voraussetzen]. Eine Abbildung X : S → R heißt Zufallsvariable.

Wir bezeichnen mit

E(X ) := X

s∈S

X(s)P ({w})

den Erwartungswert (oder Durchschnitt) von X und mit V (X) := E((X − E(X )) ² )

die Varianz (oder Streuung) von X . Die Abbildung E ist R -linear, daher gilt V (X ) = E(X ² ) − E(X ) ² ,

denn V (X) = E(X ² − 2XE(X ) + E(X ² )) = E(X ² ) − 2E(X ) ² + E(X ) ² . 3.11 Beispiele. (a) Sei X die Augenzahl beim Würfeln. Dann gilt E(X ) =

1 6

P 6

i=1 i = ^3·7 ₆ = ⁷ ₂ und V (X ) = ¹ ₆ P 6

i=1 (i − ⁷ ₂ ) ² = ^2(25+9+1) _6·4 = ³⁵ ₁₂ ≈ 2,92.

(b) Sei S := S _n = Sym({1, . . . , n}) für n ∈ N und X(s) die Anzahl der Fixpunkte von s ∈ S. Zur Berechnung von E(X) und V (X ) betrachten wir die Zufallsvariablen X i : S → {0, 1} mit

X i (s) =

( 0 falls s(i) 6= i 1 falls s(i) = i

für s ∈ S und i = 1, . . . , n. Es gilt E(X _i ) = ^(n−1)! _n! = _n ¹ und daher E(X ) = E(

n

X

i=1

X i ) =

n

X

i=1

E(X i ) = n · 1 n = 1.

Weiter gilt E(X ² ) = E

ⁿ X

i=1

X _i 2

=

n

X

i,j=1

E(X _i X _j ) =

n

X

i=1

E(X _i ² ) + 2 X

i<j

E(X _i X _j )

und X _i ² = X i , also E(X _i ² ) = E(X i ) = _n ¹ . Für i 6= j ist E(X i X j ) = 1

n!

{s ∈ S : s(i) = i und s(j) = j}

= (n − 2)!

n! = 1

n(n − 1) und zusammen für n ≥ 2

E(X ² ) = n · 1 n + 2

n 2

1

n(n − 1) = 1 + 1 = 2, also

V (X) = E(X ² ) − E(X) ² = 2 − 1 = 1.

Permutationen haben also im Durchschnitt einen Fixpunkt, oder man sagt

auch 1 ± 1 viele Fixpunkte.

4 Inklusion und Exklusion

In diesem kurzen Abschnitt wollen wir ein weiteres Prinzip der Kombinatorik behandeln:

4.1 Satz (Siebformel). Für endliche Mengen A 1 , A 2 , . . . , A n gilt

n

[

i=1

A i

= X

∅6=I⊆{1,...,n}

(−1)

^|I|−1

\

i∈I

A i

.

Alternative Formulierung für endliches M ⊇ A _i mit Abkürzung T

i∈∅ A _i := M :

M \

n

[

i=1

A i

= X

I⊆{1,...,n}

(−1)

^|I|

\

i∈I

A i

.

Beweis. Für n = 1 ist die Aussage klar. Wir führen Induktion über n und nutzen die Induktionsvoraussetzung für A ₂ , . . . , A n und A ₁ ∩ A ₂ , . . . , A ₁ ∩ A n :

|A ₁ ∪

n

[

i=2

A _i | ^1.3(c) = |A ₁ | +

n

[

i=2

A _i

−

n

[

i=2

(A ₁ ∩ A _i )

= |A 1 | + X

∅6=I⊆{2,...,n}

(−1)

^|I|−1

\

i∈I

A i

− X

∅6=I⊆{2,...,n}

(−1)

^|I|−1

\

i∈{1}∪I

A i

.

2 4.2 Bemerkung (Bonferroni-Ungleichungen). Für endliche Mengen A ₁ , A ₂ , . . . , A _n , ungerades u ∈ N und gerades g ∈ N gilt

β g ≤

n

[

i=1

A i

≤ β u mit β m :=

m

X

k=1

(−1) ^k−1 X

I∈ (

^{1,...,n}_k

)

\

i∈I

A i

.

Für u, g ≥ n gilt Gleichheit wegen 4.1. Man erhält z.B.

n

X

i=1

|A _i | − X

i<j

|A _i ∩ A _j | ≤

n

[

i=1

A _i

≤

n

X

i=1

|A _i |.

4.3 Fixpunktfreie Permutationen. Wir wollen die Anzahl d n der Per- mutationen aus S n ohne Fixpunkte (derangements) bestimmen. Für A i :=

{σ ∈ S n : σ(i) = i} haben wir A I := T

i∈I A i ∼ = Sym({1, . . . , n} \ I) für I ⊆ {1, . . . , n}, also |A I | = (n − |I|)! nach 2.1. Mit Satz 4.1 folgt

d n =

S n \

n

[

i=1

A i

= X

I⊆{1,...,n}

(−1)

^|I|

(n − |I|)!

=

n

X

k=0

(−1) ^k n

k

(n − k)! = n!

n

X

k=0

(−1) ^k

k!

Für die Wahrscheinlichkeit d n /n! der Fixpunktfreiheit in S n gilt demnach

n→∞ lim d _n n! =

∞

X

k=0

(−1) ^k

k! = e

⁻¹

≈ 0,37.

Ferner haben wir mit der Restgliedabschätzung des Leibnizkriteriums

|d _n − n!e

⁻¹

| = n!

∞

X

k=n+1

(−1) ^k k!

Leibniz

< n!

(−1) ⁿ⁺¹ (n + 1)!

= 1

n + 1 ≤ 1 2 , also ist d n die nächste bei n!/e liegende ganze Zahl.

4.4 Surjektive Abbildungen. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen ei- ner n-Menge auf eine k-Menge ist gegeben durch P k

l=0 (−1) ^{l k} _l

(k − l) ⁿ = P k

l=0 (−1) ^{k−l k} _l

l ⁿ . Insbesondere gilt n! = P n

l=0 (−1) ^{l n} _l

(n − l) ⁿ und 0 = P k

l=0 (−1) ^{l k} _l

(k − l) ⁿ für n < k; siehe 3.3(b).

Beweis. Sei M = {1, . . . , k}

^{1,...,n}

, also |M | = k ⁿ nach 3.2. Für l ∈ {1, . . . , k}

sei A l = {f ∈ M : l 6∈ im f } = ({1, . . . , k} \ {l})

^{1,...,n}

. Wieder folgt |A l | = (k−1) ⁿ und ebenso | T

l∈I A l | = (k−|I|) ⁿ für I ⊆ {1, . . . , k}. Die Siebformel 4.1 liefert |M \ S k

l=1 A _l | = P

I⊆{1,...,k} (−1)

^|I|

(k − |I|) ⁿ = P k

l=0 (−1) ^{l k} _l

(k − l) ⁿ

für die Menge der surjektiven Abbildungen. 2

4.5 Partitionen und Stirling-Zahlen. Für n, k ∈ N 0 sei S n,k die Anzahl der Partitionen einer n-Menge, die aus k nichtleeren Teilmengen bestehen, also

S _n,k := |{X ⊆ 2

^{1,...,n}

\ {∅} : X ist Partition von {1, . . . , n}, |X | = k}|.

Beachte S 0,0 = 1 und S 0,k := 0 für k ∈ N . Diese Zahlen heißen Stirling- Zahlen 2. Art (die Stirling-Zahlen 1. Art sind die Anzahlen s n,k der Permu- tationen aus S n mit genau k Zyklen einschließlich der Länge 1).

Ist f : {1, . . . , n} → {1, . . . , k} surjektiv, so ist {f

⁻¹

(l) : l ∈ {1, . . . , k}} eine Partition von {1, . . . , n} mit genau k nichtleeren Komponenten. Umgekehrt bestimmt jede solche Partition genau k! solche surjektiven Abbildungen, denn wir betrachten ungeordnete Partitionen.

Nach 4.4 gilt also k!S _n,k = P k

l=0 (−1) ^{l k} _l

(k − l) ⁿ = P k

l=0 (−1) ^{k−l k} _l

l ⁿ .

4.6 Einschub: Endliche Körper. Sei n eine natürliche Zahl, und für z ∈ Z

sei r n (z) ∈ {0, 1, . . . , n − 1} der eindeutig bestimmte Rest bei Division von z

durch n. Damit definieren wir eine Addition und Multiplikation auf Z n =

{0, 1, . . . , n − 1} durch a ⊕ b := r n (a + b) und a b := r n (a · b) und ( Z n , ⊕, )

wird damit zu einem kommutativen Ring, dem Restklassenring modulo n. Es

ist Z n genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist; siehe Algebra WS11,

Satz 10.7.