4. Übungsblatt
Einführung in die diskrete Mathematik SS 2015
Jens M. Schmidt
Aufgabe 1: Piraten!
i) Rrrrrrrrrrrrrr! Als Piratenkäpt’n Schwarzbart stehen Sie vor schweren takti- schen Entscheidungen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit Ihrer Flotte von 7 Karavellen die 4 verschiedenen nichtsahnenden Handelssschiffe in Ihrer Nähe anzugreifen? Natürlich greifen Sie jedes an! Aus Zeitnot greift jede Karavelle genau einmal an.
ii) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Sie das größte Handelsschiff mit dem ganzen Stolz Ihrer Flotte, der Karavelle Black Pearl angreifen?
iii) Sie haben 100 Goldstücke erbeutet und seilen sich gemeinsam mit drei weiteren Piraten ab, um die Beute aufzuteilen (die insgesamt vier Piraten können auch leer ausgehen). Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
iv) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Sie mindestens die Hälfte für sich bean- spruchen?
v) Wie viele, wenn Sie mindestens 30, Pirat zwei mindestens 20, Pirat drei min- destens 15 und Pirat vier mindestens 10 Goldstücke bekommen?
vi) Wie viele, wenn statt genau 100 höchstens 100 Goldstücke verteilt werden, und Sie höchstens 72, Pirat zwei höchstens 51, Pirat drei höchstens 30 und Pirat vier höchstens 20 Goldstücke bekommt?
Aufgabe 2: Bücher
In einem Bücherregal stehen n Bücher nebeneinander. Wie viele Möglichkeiten gibt es, davon k auszuwählen, so dass keine zwei benachbarten dabei sind?
Aufgabe 3: Heute ein König
Auf wie vielen Wegen kann ein König von der linken unteren Ecke (0,0) eines Schach- brettes zur rechten oberen Ecke (n, m), n ≤ m, ziehen, wenn er in jedem Zug nach rechts, oben oder diagonal nach rechts oben zieht? Vereinfachen Sie so weit wie möglich.
Aufgabe 4: Ungerade und Ungeordnet
Nehmen Sie an, Sie kennen die Anzahl p(n) aller ungeordneten Zahlpartitionen von n (diese muss nicht berechnet werden). Sei pu(n) die Anzahl solcher Partitionen mit ausschließlich ungeraden Summanden und pv(n) die Anzahl solcher Partitionen, in denen alle Summanden verschieden sind. Zeigen Siepu(n) =pv(n).
Tip: Inklusion-Exklusion
