7. Übungsblatt
Einführung in die diskrete Mathematik SS 2015
Jens M. Schmidt
Aufgabe 1: Linien und Regionen
Es werden nacheinandern >0 Geraden in die Ebene gezeichnet; keine zwei Geraden dürfen dabei parallel sein. Was ist die maximale Anzahl von Regionen Rn, in die man die Ebene damit teilen kann? Was die minimale?
Aufgabe 2: Rot-blaue Kreise
Die Kanten des vollständigen Graphen Kn auf n Knoten werden beliebig mit rot und blau gefärbt. Zeigen Sie, dass es einen Kreis C gibt, der jeden Knoten genau einmal besucht, und dabei monochromatisch ist oder aus genau zwei konsekutiven monochromatischen Teilen besteht.
Aufgabe 3: Farbige Punkte in 3D
Gegeben ist eine t≥ 1-Färbung der natürlichen Zahlen. Betrachten Sie alle Punkte der Ebene x+y = z im R3, deren drei Koordinaten positiv ganzzahlig sind (z.B.
(1,2,3) oder (4,4,8)). Ein solcher Punkt wird genau dann mit der Farbe i ∈ [t]
gefärbt, wenn seine drei Koordinaten jeweils Farbe i aufweisen; andernfalls ist er farblos. Die Frage ist, ob alle Punkte farblos sein können.
i) Zeigen Sie, dass das Problem durch folgende Antwort gelöst wird:
Für jedes t ≥ 1 existiert ein kleinstes S(t) ∈ N, so dass jede t-Partition von {1,2, . . . , S(t)} eine Klasse mit zwei Zahlen x, y und der Zahlx+y enthält.
ii) Beweisen Sie die Antwort mit Hilfe von n := R2(
t
z }| {
3,3, . . . ,3)− 1 und einer geeigneten Kantenfärbung von Kn+1.
Aufgabe 4: Konvexe Punktmengen
i) Es giltN(5)≤9, d.h. Punktmengen ab 9 Punkten enthalten ein konvexes 5-gon.
Finden Sie eine Punktmenge mit 8 Punkten, die kein konvexes 5-gon enthält.
ii) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass N(n) ≤ R4(5, n) ist. Es wird R3(n, n) <
R4(5, n) vermutet (das ist aber noch nicht bewiesen; ein Beweisversuch dazu entbindet Sie von dieser Aufgabe!). Zeigen Sie, dass sogar N(n) ≤ R3(n, n) gilt, in dem Sie nicht-konvexe 4-Mengen geeignet durch gefärbte 3-Teilmengen ausdrücken.
