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2 5 (1−(1−a)5) (1−(1−a Tr¨agheitsmoment der ganzen Kugel I(1

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(1)

T¨agheitsmoment

Das Tr¨agheitsmoment eines K¨orpers K mit Dichte %(x), x ∈ K, um eine Ach- seg ist

I = Z

dist(x,g)²%(x)dK,

wobei dist die Abstandsfunktion bezeichnet.

K x dist

1 / 4

(2)

Beispiel

Tr¨agheitsmoment einer Hohlkugel K :

1−a≤r ≤1, 0≤ϑ≤π, 0≤ϕ≤2π bei konstanter Dichte %

PSfragreplaements

1 0

a 1

1 a

Symmetrie berechne das Tr¨agheitsmoment um diez-Achseg

2 / 4

(3)

I = Z 2π

Z π

Z 1

1−a

%( rsinϑ

| {z }

dist((x,y,z),g)

)² r²sinϑ

drdϑdϕ

| {z }

= 2π%

5 1−(1−a)⁵ Z π

sin³ϑdϑ

= 2π%

5 1−(1−a)⁵

−cosϑ+1 3cos³ϑ

= 8π%

15 1−(1−a)⁵

Dichte% bei Masse 1 der Hohlkugel ⇐⇒

1 = Z

%= Z 2π

Z π

Z 1

1−a

%r²sinϑdrdϑdϕ= 4π%

3 (1−(1−a)³)

=⇒

I(a) = 2 5

(1−(1−a)⁵) (1−(1−a)³)

3 / 4

(4)

Tr¨agheitsmoment der ganzen Kugel I(1) = 2/5

Grenzwert f¨ura= 0:I(0) = 2/3 (Regel von L’Hˆopital)

4 / 4

Referenzen

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Musterl¨osung: a) 1 z1 = 1 1 +i = 1−i (1 +i)·(1−i) =1 2 − i 2, 1 z2 = 1 1−i = 1 +i (1−i)·(1 +i) =1 2 + i 2, 1 z3 = 1 (1 +i·√ 15

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