” Nichtlinearen Optimierung“

Fachbereich Mathematik JProf. Dr. Christian Meyer Lucia Panizzi

WS 2009/2010 03.02.2010

11. ¨ Ubungsblatt zur

” Nichtlinearen Optimierung“

Haus ¨ubung

Aufgabe H1 (Differenzierbarkeit der quadratischen Straffunktion) Seic:Rⁿ→R^mstetig differenzierbar. Zeigen, sie dass die Funktion

k(c(x))₊k²=

m

X

i=m

(ci(x))²₊=

m

X

i=1

(max{0, c_i(x)})²

stetig differenzierbar ist.

Aufgabe H2 (Gest¨orte KKT-Bedingungen und station¨are Punkte der Log-Barrierefunktion) Betrachten Sie die KKT-Bedingungen des Optimierungsproblems

(NLPU) minf(x) u.d.N.ci(x)≤0 i= 1, . . . m.

Diese Bedingungen kann man mit einem Parameterτ >0st¨oren, indem statt der Zul¨assigkeits- und Komplementarit¨atsbedingung folgendes fordert:

−c_i(x)>0, λi>0,−c_i(x)λi=τ (i= 1, . . . m).

Wie h¨angen die gest¨orten KKT-Bedingungen mit der Stationarit¨atsbedingung f¨ur die loga- rithmische Barriere-Funktion

B_τ(x) =f(x)−τ

m

X

i=1

ln(−c_i(x))

zusammen?

Hinweis:Verwenden Sie, dass mit der obigen Bedingungλi =−τ /c_i(x)gilt.

Aufgabe H3 (Exakte Penalty-Funktionen) Betrachte das Optimierungsproblem

minx² u.d.N. x−1 = 0, mit der L¨osungx^∗ = 1.

(a) Bestimmen Sieρ >¯ 0, so dass die zugeh¨origel₁−Penalty-FunktionP_l1,ρ(x)f¨ur alle ρ≥ρ¯exakt inx^∗ ist.

(b) Zeigen Sie, dass die quadratische Penalty-FunktionPρ(x)f¨ur ρ = ¯ρ, mit dem in (a) bestimmtenρ, in¯ x^∗nicht exakt ist.

Abgabe der Haus ¨ubungen:Am 10. bzw. 12.02.2010 in der Rechner ¨ubung.